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首頁(yè) 精品范文 定積分公式

定積分公式

時(shí)間:2023-05-30 10:54:35

開篇:寫作不僅是一種記錄,更是一種創(chuàng)造,它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感,將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇定積分公式,希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友,陪伴您不斷探索和進(jìn)步。

定積分公式

第1篇

關(guān)鍵詞: 第一類換元積分公式 復(fù)合函數(shù) 不定積分

不定積分是高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一,直接積分法、換元積分法、分部積分法是計(jì)算不定積分的基本方法,第一類換元積分法(也稱為湊微分法)是最基礎(chǔ)的,也是應(yīng)用最廣泛的積分方法,因此,熟練掌握第一類換元積分法是后繼學(xué)習(xí)第二類換元積分法和分部積分法的基石.筆者就怎樣巧用第一類換元積分公式快速計(jì)算不定積分談?wù)勛约旱恼J(rèn)識(shí)和體會(huì),供初學(xué)者借鑒.

1.深入解析第一類換元積分公式.

設(shè)函數(shù)f(u)具有原函數(shù),u=φ(x)可導(dǎo),則有換元積分公式[1]

?蘩f[?準(zhǔn)(x)]?準(zhǔn)′(x)dx=?蘩f[?準(zhǔn)(x)]d?準(zhǔn)(x)=[?蘩f(u)du]■.

(1)題設(shè)中的條件,函數(shù)f(u)具有原函數(shù),即f(u)可積,其實(shí)f(u)一定是基本積分公式表中某一類型的函數(shù).

(2)由?蘩f[?準(zhǔn)(x)]d?準(zhǔn)(x)可以看出,被積函數(shù)無(wú)論多么復(fù)雜,也只能看做二重復(fù)合函數(shù)的積分.

(3)若不定積分?蘩g(x)dx可以用此公式計(jì)算,則一定可化成?蘩g(x)dx=k?蘩f[?準(zhǔn)(x)]d?準(zhǔn)(x)(k是非零常數(shù))的形式.

2.將基本積分公式表中的變量x全部換成一般的初等函數(shù)?準(zhǔn)(x),得到下列廣義基本積分公式表.下面只列舉一部分.

①?蘩x■dx=■x■+c(u≠-1)?蘩?準(zhǔn)(x)■d?準(zhǔn)(x)=■?準(zhǔn)(x)■+C(u≠-1);

②?蘩■dx=ln|x|+C?蘩■d?準(zhǔn)(x)==ln|?準(zhǔn)(x)|+C;

③?蘩a■dx=■+C?蘩a■d?準(zhǔn)(x)=■+C;

④?蘩e■dx=e■+C?蘩e■d?準(zhǔn)(x)=e■+C;

⑤?蘩cosxdx=sinx+C?蘩cos?準(zhǔn)(x)d?準(zhǔn)(x)=sin?準(zhǔn)(x)+C;

⑥?蘩■dx=arctanx+C?蘩■d?準(zhǔn)(x)=arctam?準(zhǔn)(x)+C;

3.怎樣巧用第一類換元積分公式計(jì)算不定積分?蘩g(x)dx?

(1)分析被積函數(shù)g(x)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),根據(jù)基本積分公式表中被積函數(shù)的類型,確定復(fù)合函數(shù)f[?準(zhǔn)(x)],將g(x)化成g(x)=h(x)f[?準(zhǔn)(x)];

(2)直接計(jì)算d?準(zhǔn)(x)=t(x)dx,比較t(x)和h(x)得到常數(shù)k,k=■,于是得到?蘩g(x)dx=k?蘩f[?準(zhǔn)(x)]d?準(zhǔn)(x);

(3)利用廣義基本積分公式表直接寫出結(jié)果.

注:第(2)步如果將t(x)和h(x)作比較,得到的不是常數(shù)k,而是關(guān)于x的函數(shù),此時(shí)不能直接用第一類換元積分公式計(jì)算,需要對(duì)被積函數(shù)g(x)先做恒等變形,然后作分析.

4.舉例說明.

例1:計(jì)算?蘩xe■dx.

解:被積函數(shù)直接就是h(x)f[?準(zhǔn)(x)]的形式,直接計(jì)算d(x■)=2xdx,比較2x和x得常數(shù)k=■=■,于是有廣義基本積分公式④得:

?蘩xe■dx=■?蘩e■d(x■)=■e■+C.

例2:計(jì)算?蘩(1+2x)■dx.

解:被積函數(shù)直接就是h(x)f[?準(zhǔn)(x)]的形式,h(x)=1,?準(zhǔn)(x)=1+2x,d?準(zhǔn)(x)=2dx,比較得k=■,于是有廣義基本積分公式①得:

?蘩(1+2x)■dx=■?蘩f(1+2x)■d(1+2x)=■?■(1+2x)■+C=■(1+2x)■+C.

例3:計(jì)算?蘩■dx.

解:?蘩■dx=?蘩■■dx,h(x)=■,d(■)=■dx,比較得k=1,于是?蘩■dx=?蘩■d(■)=arcsin■+C.

例4:計(jì)算?蘩cos■xdx.

解:cos■x可以看成u■和u=cosx的復(fù)合,d(cosx)=sinxdx,但是經(jīng)比較k=■不是常數(shù),因此?蘩cos■xdx不能直接用第一類換元積分公式計(jì)算.此時(shí)可用三角公式將被積函數(shù)變形為:cos■x=■.

即?蘩cos■xdx=?蘩■dx=■?蘩dx+?蘩cos■xdx,

而?蘩cos2xdx可巧用公式求解得?蘩cos2xdx=■?蘩cos2xd(2x)=■sin2x+C,

于是?蘩cos■xdx=■x+■sin2x+C.

總之,第一類換元積分法主要是計(jì)算復(fù)合函數(shù)的不定積分,積分運(yùn)算是微分運(yùn)算的逆運(yùn)算,因此,初學(xué)者只要熟練掌握復(fù)合函數(shù)和微分運(yùn)算的基本知識(shí),就可以運(yùn)用本文所給出的方法快速計(jì)算不定積分.

第2篇

for Graduate School

Shi Weiguo

(Ankang University,Ankang 725000,China)

摘要: 對(duì)多元函數(shù)積分學(xué)在歷年數(shù)學(xué)考研中知識(shí)點(diǎn)的回顧及統(tǒng)計(jì)分析,探究其試題來源,通過對(duì)未來試題的預(yù)測(cè),提出備考建議。

Abstract: The article retrospected and statistically analyzed the points about multivariable differential calculus in test for graduate schools, discussed its origin, forecasted and put forward suggestion on preparing for the test.

關(guān)鍵詞: 重積分 曲線積分 曲面積分 考研數(shù)學(xué)

Key words: multiple integral;line integral;surface integral;mathematics for test for graduate school

中圖分類號(hào):G42文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1006-4311(2011)27-0173-01

1考研題的特點(diǎn)比照:(以數(shù)學(xué)一試題為例)

2000年至2011年考研數(shù)學(xué)一的12年試題中,均涉及多元函數(shù)積分學(xué)的試題,具體的試題特點(diǎn)呈現(xiàn)如下:

從上述統(tǒng)計(jì)不難看出,考題熱門話題是利用①重積分、線面積分對(duì)稱性;②格林公式、高斯公式、斯托克斯公式;③重積分的坐標(biāo)變換(極坐標(biāo)變換,柱面坐標(biāo)變換,球面坐標(biāo)變換);④曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的四個(gè)等價(jià)條件的解答題或計(jì)算題。

2試題探源

多元函數(shù)積分學(xué)試題,一般都有它的原形,探索和尋找考題的命題背景,有利于猜透命題人的原始意圖,對(duì)高備考復(fù)習(xí)的針對(duì)性和有效性是有益的。

如:2000數(shù)學(xué)一(六)題:

計(jì)算曲線積分■■,其中L是以點(diǎn)(1,0)為中心,R為半徑的圓周(R>1)的連續(xù)曲線,取逆時(shí)針方向。

2009數(shù)學(xué)一(19)題:

計(jì)算曲面積分I=■■,其中∑是曲面2x2+2y2+z2=4的外側(cè)。

這兩考題為封閉曲線(面)的曲線(面)積分,易想到用格林(高斯)公式,但在原點(diǎn)處被積函數(shù)不連續(xù),不能直接用(格林)高斯公式,一般采用挖洞法來解,通過挖洞,對(duì)復(fù)連通區(qū)域應(yīng)用格林(高斯)公式,從而計(jì)算出結(jié)果,它和[1]P175例4:

計(jì)算■■,其中L為一條無(wú)重點(diǎn),分段光滑且不經(jīng)過原點(diǎn)的連續(xù)曲線,L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針。

十分相似,考題可看成是對(duì)此例題的解題思路、方法的掌握,這說明教材中的經(jīng)典題可能是考題的生長(zhǎng)點(diǎn)。又如:應(yīng)用格林公式或加、減弧段的格林公式法,高斯公式或加、減曲面片的高斯公式法幾乎每年都有這種類型的考題,而這種類型的問題在高等數(shù)學(xué)或數(shù)學(xué)分析教材中均有大量的例題或習(xí)題,這說明教材中的重點(diǎn)定理及應(yīng)用重點(diǎn)定理解題的方法往往是必考類型。

數(shù)學(xué)一:2011(12)題,此題考察斯托克斯公式,兩類曲面積分的聯(lián)系,如果你留心的話,就會(huì)發(fā)現(xiàn)此題與十多年前(1997(三(2)),2001(六))的考題類型完全一樣,這表明考題可能源于過去考試真題。

3考題預(yù)測(cè)

多元函數(shù)積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,在數(shù)學(xué)其它分支有著廣泛的應(yīng)用,也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究其它與數(shù)學(xué)有關(guān)課題的基礎(chǔ),在數(shù)學(xué)一中的地位也至關(guān)重要,考分占總分的■左右,考題主要是計(jì)算題與綜合題,試題類型源于教材中的經(jīng)典例題、習(xí)題,歷年數(shù)學(xué)考研真題,重點(diǎn)定理及應(yīng)用重點(diǎn)定理解題的方法所涉及的題型或題型的變形,而綜合題考查的是知識(shí)之間的有機(jī)結(jié)合,故此類題難度一般為中等難度。

多元函數(shù)積分學(xué)試題所考查的類型主要是:①二重積分:交換積分次序,利用二重積分的對(duì)稱性,極坐標(biāo)替換化簡(jiǎn)計(jì)算。②三重積分:利用三重積分的對(duì)稱性,柱面坐標(biāo)替換、球面坐標(biāo)替換化簡(jiǎn)計(jì)算。③曲線積分(主要是第二類曲線積分):利用參數(shù)式計(jì)算,利用格林公式或加、減弧段的格林公式法計(jì)算,利用曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件計(jì)算與此有關(guān)的問題。④曲面積分(主要是第二類曲面積分):利用高斯公式或加、減曲面片的高斯公式法計(jì)算,利用斯托克斯公式及兩類曲面積分的關(guān)系化為第一類曲面積分計(jì)算等。

4備考建議

熟練掌握重積分、線面積分的概念、定理、性質(zhì)、公式及基本計(jì)算方法,這是解題的基礎(chǔ);熟練掌握并靈活應(yīng)用①重積分、線面積分對(duì)稱性;②格林公式、高斯公式;③重積分的坐標(biāo)變換(極坐標(biāo)變換,柱面坐標(biāo)變換,球面坐標(biāo)變換);④曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的四個(gè)等價(jià)條件等知識(shí),及這些知識(shí)常見的題型,使用的技巧,這會(huì)使你快速找到解題思路并解答問題;以歷年數(shù)學(xué)(一)考研真題及各考研研究機(jī)構(gòu)的考研預(yù)測(cè)題作為考前訓(xùn)練題,研究真題并總結(jié)試題規(guī)律,這會(huì)使你在考試時(shí)見到不少熟悉的考題。另外,要注意“冷”題,如2011(12)題,此題考察斯托克斯公式,兩類曲面積分的聯(lián)系,已十年未涉及此類型,故切記,復(fù)習(xí)時(shí)對(duì)大綱有要求但考的較少的“冷”題型,不可放棄。

參考文獻(xiàn):

第3篇

不定積分是高等數(shù)學(xué)---微積分中的重要內(nèi)容之一,本文從不定積分的定義入手,剖析定義,歸納和總結(jié)了不定積分的直接積分法、第一類換元積分法、第二類換元積分法、分部積分法。

【關(guān)鍵詞】

不定積分;高等數(shù)學(xué);積分法

正確理解高等數(shù)學(xué)---微積分中的不定積分的概念,淺談不定積分的幾種求法以便于學(xué)生能靈活應(yīng)用這幾種方法解題,有利于學(xué)生提高學(xué)習(xí)不定積分的興趣, 將為學(xué)好高等數(shù)學(xué)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

1 不定積分的概念

1.1定義

設(shè)是函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)(即:),則的全體原函數(shù)稱為的不定積分,記作,即.

注:⑴上式中的“”稱為積分號(hào),稱為被積函數(shù),稱為被積表達(dá)式,稱為積分變量,稱為積分常數(shù)。

⑵積分號(hào)“”是一種運(yùn)算符號(hào),它表示對(duì)已知函數(shù)求其全部原函數(shù),所以在不定積分的結(jié)果中必須加上任意常數(shù)。

⑶求積分和求導(dǎo)數(shù)互為逆運(yùn)算。

1.2不定積分的性質(zhì)

⑴性質(zhì)1 。

⑵性質(zhì)2 。

注:性質(zhì)2 可推廣到有限個(gè)函數(shù)的和差。

1.3不定積分的幾何意義

在直角坐標(biāo)系中,的任意一個(gè)原函數(shù)的圖形是一條曲線,這條曲線上任意點(diǎn)處的切線的斜率恰為函數(shù)值,稱這條曲線為的一條積分曲線。的不定積分則是一個(gè)曲線族,稱為積分曲線族。

平行于軸的直線與族中每一條曲線的交點(diǎn)處的切線斜率都等于,因此積分曲線族可以由一條積分曲線通過上下平移得到。(圖1)

2 直接積分法

求不定積分時(shí),常常要將被積函數(shù)通過恒等變形并進(jìn)行化簡(jiǎn),轉(zhuǎn)化為基本積分公式中的被積函數(shù)的代數(shù)和的形式,再運(yùn)用基本積分公式直接求出。

例1:求

分析:被積函數(shù)恒等變形,化為基本積分公式中的情形(化為冪函數(shù)),再利用性質(zhì)逐項(xiàng)積分。

例2:求⑴

分析:被積函數(shù)恒等變形(分子的各項(xiàng)除以分母),化為冪函數(shù)的代數(shù)和的形式,再利用性質(zhì)逐項(xiàng)積分。

例3:求

分析:當(dāng)被積函數(shù)是分式有理數(shù)時(shí),常常將它拆成分母較簡(jiǎn)單、易于積分的分式之和。

例4:求

分析:用三角恒等式把被積函數(shù)化為基本積分公式中的情形。

3 第一類換元積分法(即湊微分法)

3.1定理

設(shè)具有原函數(shù),是連續(xù)函數(shù),則。

簡(jiǎn)單證明:

這種先“湊”微分,再作變量代換的方法,稱為第一類換元積分法,也稱為湊微分法;它分為四步:湊微分,換元,積分,代回;關(guān)鍵是第一步湊微分。

3.2在教學(xué)中歸納總結(jié)一些類型為

例5:

熟記常用的微分公式,能夠加快解題速度。

4 第二類換元積分法

4.1定理

函數(shù)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)且,又有原函數(shù),則。

這種方法稱為第二類換元積分法。

注:使用第二類換元積分法的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)剡x擇變換函數(shù)。對(duì)于,要求其導(dǎo)數(shù)連續(xù),,且其反函數(shù)存在。

4.2第二類換元積分法可分為

⑴當(dāng)被積函數(shù)中含有時(shí),可令,消除根號(hào),從而求得積分。這種代換稱為根式代換。

例6:求

⑵被積函數(shù)含有被開方因式為二次根式的情況,一般地,當(dāng)被積函數(shù)含有①,可作代換; ②,可作代換; ③,可作代換;這種代換稱為三角代換。

⑶當(dāng)被積函數(shù)分母中自變量的冪較高于分子中的自變量的冪時(shí),且積分還不能直接用公式積出時(shí),令,這種方法稱倒代換法。

5 分部積分法

(1)設(shè)函數(shù),具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)乘積微分公式有

兩邊積分得,該公式稱為分部積分公式。

在求不定積分前要充分理解不定積分的定義和性質(zhì),不能把在極限計(jì)算和求導(dǎo)計(jì)算中學(xué)過的函數(shù)乘積的極限和求導(dǎo)計(jì)算公式遷移到不定積分計(jì)算中來,否則會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)果,解題時(shí)具體問題具體對(duì)待,靈活選用積分法,所以平時(shí)要多思、多記、多做、多總結(jié)。這樣才能為學(xué)好高等數(shù)學(xué)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ),才能在浩瀚的數(shù)學(xué)知識(shí)海洋中自由的遨游。

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.《高等數(shù)學(xué)》.同濟(jì)第六版.高等教育出版社.2007-4-1.

第4篇

【關(guān)鍵詞】高斯公式 封閉曲面 曲面法向量 曲面的側(cè) 方向余弦

高斯公式:設(shè)Ω是一空間中的有界閉域,其邊界面分片光滑,函數(shù)、、在Ω上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有 其中是Ω的正向邊界曲面,當(dāng)是簡(jiǎn)單封閉區(qū)間外側(cè)時(shí)為正(內(nèi)側(cè)為負(fù))。

1.封閉曲面存在直接計(jì)算。如果空間有向曲面S是封閉的,那么,直接運(yùn)用高斯公式計(jì)算。

例1、計(jì)算曲面積分,其中∑為柱面及平面、所圍成的空間閉區(qū)域Ω的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)。

解:因

,,

利用高斯公式把所給曲面積分化為三重積分,再利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分

得:

2.構(gòu)造封閉曲面再計(jì)算。如果空間有向曲面S不是封閉的,那么需添加輔助的有向曲面S0,使S與S0構(gòu)成定向的封閉曲面,再運(yùn)用高斯公式進(jìn)行計(jì)算。

注:添補(bǔ)的輔助曲面S0的法線矢量的方向應(yīng)選為使封閉曲面S+S0的法線方向或者都向外,或者都向內(nèi)。

例2、計(jì)算,∑為曲面,夾在z=1及z=2的下側(cè)部分。

解:構(gòu)造輔助平面∑1:z=2取上側(cè),∑2:z=1取下側(cè)。

則由高斯公式得

在∑1:z=2,dz=0,則8

在∑2:z=1,dz=0,則

所以原式

例3、設(shè)S是以xoy平面上橢圓L:為邊界曲線的任意光滑凸曲面的上側(cè),且位于xoy平面的上方,求。

解:根據(jù)高斯公式構(gòu)造有向輔助曲面

顯然,S0在xoy平面上的投影區(qū)域Dxy就是本身,且,引入廣義極坐標(biāo),,則,且有

然后,利用高斯公式,計(jì)算封閉曲面S+S0上的曲面積分

于是,所求的曲面積分

3.封閉曲面存在的特殊情形。如果所給的有向曲面是封閉的,但是不滿足高斯公式所要求的函數(shù)、、在S所包圍的有界閉區(qū)域V上連續(xù),且具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的條件,那么,可以先把S的方程代入該曲面積分,若后者曲面積分已滿足高斯公式條件,則用高斯公式把它化為三重積分計(jì)算。

例4、設(shè)曲面S為夾于z=0與z=1之間部分,其法線向內(nèi),求第二類曲面積分

解:把曲面S的方程代入積分I,得

現(xiàn)構(gòu)造輔助平面,取上側(cè),易求得0

構(gòu)造輔助平面,取下側(cè),得:= ==

由高斯公式得

其中,因V分別關(guān)于面yoz,xoz對(duì)稱,故=0,=0

則所求的積分。

如果封閉空間曲面S的方程代入某曲面積分后。在S所圍的區(qū)域V內(nèi)仍然存在某些點(diǎn)或子區(qū)域使其不滿足高斯公式條件,而在其它地方P,Q,R都連續(xù),且具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),又有,則構(gòu)造一個(gè)有規(guī)則的封閉曲面使其偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)的那些點(diǎn)或區(qū)域包含在S0內(nèi)部,且S0的法矢量與S的法矢量一致,于是在S上的曲面積分等于在S0上的曲面積分,即有

例5、計(jì)算積分,其中∑是橢球面的外側(cè)。

解:作以原點(diǎn)為球心,()為半徑的球面∑1:,使其位于橢球面內(nèi),則有

(令,此時(shí)∑1的方向余弦,,由兩類曲面積分的聯(lián)系,有)

則=4π

4.運(yùn)用高斯公式時(shí)有關(guān)曲面?zhèn)鹊膯栴}。運(yùn)用高斯公式計(jì)算曲面積分的時(shí)候,曲面的有向性是至關(guān)重要的,而往往封閉曲面?zhèn)鹊呐袛嗾`與否也決定了解題過程是否正確。

注:(1)當(dāng)曲面光滑且具有雙側(cè)時(shí),有向曲面?zhèn)取吧蟼?cè)、前側(cè)、右側(cè)”取“”,“下側(cè)、后側(cè)、左側(cè)”取“-”

(2)高斯公式中的“Ω”是整個(gè)邊界閉區(qū)域的外側(cè)

例6、計(jì)算曲面積分,∑:,其法向量與OZ軸正向夾角為銳角。

解:取輔助平面,使曲面構(gòu)成封閉曲面

:,方向向下

(注:此封閉曲面是整個(gè)閉域的內(nèi)側(cè),運(yùn)用高斯公式時(shí)添“-”號(hào),有向曲面方向向下,計(jì)算積分時(shí)也應(yīng)添“-”號(hào))

參考文獻(xiàn)

1 劍、李大侃.高等數(shù)學(xué)專題梳理與解讀[M].同濟(jì)大學(xué)出版社,2008

2 王式安、蔡燧林、胡金德、程杞元.考研數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)全書[M].對(duì)外經(jīng)貿(mào)大學(xué)出版社,2008

3 馬菊霞、吳云天.高等數(shù)學(xué)[M].國(guó)防工業(yè)出版社,2007

第5篇

[關(guān)鍵詞]積分 復(fù)化牛頓-科特斯積分 誤差

[中圖分類號(hào)] G642 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437(2013)18-0152-02

一、引言

我們知道利用插值多項(xiàng)式來構(gòu)造數(shù)值求積公式是最常用的一種方法,為了便于計(jì)算與應(yīng)用,常將積分區(qū)間n等分,其中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)作為求積節(jié)點(diǎn),這樣構(gòu)造出來的插值型求積公式就稱為牛頓-科特斯(Newton-Cotes)求積公式,這里的n稱為牛頓-科特斯公式的階數(shù)。當(dāng)n=1時(shí),該公式即為梯形求積公式;當(dāng)n=2時(shí),為辛普森求積公式;當(dāng)n=3時(shí),為3/8辛普森求積公式;當(dāng)n=4時(shí),為布爾求積公式。

由文[1]我們知道,當(dāng) n≤7 時(shí),牛頓-布爾公式是穩(wěn)定的。而當(dāng) n≥8 時(shí),出現(xiàn)負(fù)數(shù),穩(wěn)定性得不到保證。而且當(dāng)n較大時(shí),由于Runge現(xiàn)象,收斂性也無(wú)法保證。[2]故一般不采用高階的牛頓-科特斯求積公式。為了提高精度我們通常把積分區(qū)間分成若干子區(qū)間,然后在每個(gè)子區(qū)間上應(yīng)用低階牛頓-科特斯求積公式求積分,即為復(fù)化求積法。[3]

本文借助Matlab[4][5]符號(hào)計(jì)算系統(tǒng),首先討論不同的方法(即階數(shù)的不同)對(duì)積分的精度與速度的影響,其次,討論復(fù)化的子區(qū)間段數(shù)對(duì)積分誤差的影響。

二、復(fù)化的牛頓科特斯求積算法實(shí)現(xiàn)

在積分區(qū)間[a,b]上取n+1個(gè)等距節(jié)點(diǎn)xk=a+kn(k=0,1,…,n),其中h= ,利用n次拉格朗日插值函數(shù)代替被積函數(shù)即得牛頓-科特斯求積公式:

f(x)dx≈(b-a) Ck(n)f(xk)

其中Ck(n)= t(t-1)…[t-(k-1)]×[t-(k+1)]…t(t-n)dt

為科特斯系數(shù)。表1列舉了階數(shù)n

表1 在n

這樣,我們較為容易給出復(fù)化的牛頓科特斯公式的算法步驟:

(1) 給定子區(qū)間數(shù)N及牛頓科特斯公式的階數(shù)n.

(2) 將區(qū)間[a,b]分成N個(gè)子區(qū)間,h= 且xk=a+kh(k=0,1…,N);

(3) 由給定的n求出牛頓科特斯系數(shù);

(4) 在每個(gè)子區(qū)間[xk,xk+1]中,利用n次牛頓科特斯公式求出積分結(jié)果 ;

(5) 將每個(gè)子區(qū)間的積分結(jié)果求和即得近似的積分結(jié)果。

將上述算法用流程圖表示,如圖1所示。

圖1 復(fù)化的牛頓科-特斯求積算法

三、對(duì)比分析

影響牛頓科特斯公式的誤差的有兩方面因素:階數(shù)及復(fù)化時(shí)子區(qū)間個(gè)數(shù)。為研究二者對(duì)誤差的影響,選取三類積分進(jìn)行比較研究:(1) e-xsin xdx(2) dx(3) dx。誤差采用積分結(jié)果與真值的差的絕對(duì)值。

(一)牛頓科特斯公式的階數(shù)對(duì)誤差的影響

考慮一般的牛頓科特斯公式的階數(shù)對(duì)誤差的影響,由于階數(shù)大于7穩(wěn)定性得不到保證,故取階數(shù)n=1,...7,得出表2。

表2不同階數(shù)的牛頓科特斯積分計(jì)算

觀察表1中的誤差行,發(fā)現(xiàn)誤差呈遞減趨勢(shì),故易知階數(shù)越高誤差越小;由表1中各耗時(shí)行可以看出隨著階數(shù)增加,耗時(shí)增加。因此當(dāng)牛頓科特斯公式階數(shù)增加時(shí),誤差減小,同時(shí)耗時(shí)增加。

特別地觀察不同階數(shù)下的誤差階,注意到當(dāng)階數(shù)小于4時(shí),誤差相對(duì)較大;階數(shù)大于4時(shí),誤差相對(duì)較小,但隨著階數(shù)的增加,誤差減小速度變慢。

觀察三個(gè)函數(shù)當(dāng)階數(shù)高于4時(shí)的誤差值發(fā)現(xiàn),階數(shù)取4、5時(shí)誤差基本接近,階數(shù)取6,7時(shí)誤差基本接近;考慮到耗時(shí)隨階數(shù)數(shù)的增加而增加,故牛頓科特斯公式的階數(shù)取4(即使用布爾求積公式)能得到比較理想的結(jié)果。

綜上,在使用牛頓科特斯公式時(shí),建議使用階數(shù)為4。

(二) 子區(qū)間個(gè)數(shù)對(duì)誤差的影響

由3.2我們知道,牛頓科特斯公式的階數(shù)取4(使用布爾求積公式)較為理想,故在研究復(fù)化子區(qū)間個(gè)數(shù)對(duì)誤差的影響時(shí),取階數(shù)為4。我們將區(qū)間段數(shù)分別取1、11、21、……、151,利用布爾求積公式計(jì)算復(fù)化的牛頓-科特斯求積結(jié)果及誤差,結(jié)果顯示為圖2。

圖2 誤差隨子區(qū)間個(gè)數(shù)變化曲線

由上圖可以看出,隨著子區(qū)間個(gè)數(shù)的增加,誤差越來越小,然而當(dāng)子區(qū)間個(gè)數(shù)達(dá)到90后,誤差的減小速度減慢,這表明用復(fù)化的方法降低牛頓科特斯算法的誤差時(shí),當(dāng)達(dá)到一定精度后再想使誤差減小付出的代價(jià)較大,即運(yùn)算量很大且耗時(shí)增加,不適宜再使用牛頓科特斯法。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 《現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)手冊(cè)》編委會(huì)編.現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)手冊(cè).計(jì)算與數(shù)值分析卷[M].北京:清華大學(xué)出版社,2005.

[2] 黃云清等編著.數(shù)值計(jì)算方法[M].北京:科學(xué)出版社,2009.

[3] (美)里德(Leader,J.J.)張威等譯.數(shù)值分析與科學(xué)計(jì)算[M].北京:清華大學(xué)出版社,2008.

第6篇

關(guān)鍵詞:三角函數(shù);有理式積分;萬(wàn)能公式;留數(shù)定理

三角函數(shù)有理式積分的求解是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)典型的積分計(jì)算問題,往往利用萬(wàn)能公式、組合積分法以及換元法等進(jìn)行求值。這些定積分還可以運(yùn)用復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)定理進(jìn)行計(jì)算,特別是對(duì)那些原函數(shù)不易求得的積分,是一個(gè)非常有效的方法。已有許多文獻(xiàn)總結(jié)求解三角函數(shù)有理式的思路方法[1-8],大部分利用實(shí)積分中的萬(wàn)能公式求解。本文為了比較分析三角函數(shù)有理式積分在數(shù)學(xué)分析和復(fù)變函數(shù)中的兩種計(jì)算方法,在學(xué)習(xí)中進(jìn)行總結(jié),整理知識(shí)點(diǎn),選取了一個(gè)典型積分 為例,探究并比較兩種方法的區(qū)別與聯(lián)系,對(duì)比了兩種不同的解題思路。

一、預(yù)備知識(shí)

定義1[9] 設(shè)函數(shù) 定義在 ,而在 的任一左鄰域內(nèi) 無(wú)界(此時(shí) 為 的瑕點(diǎn)),若 在任意 上可積,我們稱積分形式 為 在 上的瑕積分。

定理1[10] 設(shè) 在周線或復(fù)周線 所圍的區(qū)域 內(nèi),除 外解析,在閉區(qū)域 上除 外連續(xù),則(“大范圍”積分)

利用復(fù)變函數(shù)中留數(shù)定理計(jì)算三角函數(shù)有理式積分

下面討論利用留數(shù)定理計(jì)算上述積分,對(duì)比計(jì)算方法與上節(jié)中方法的異同。

四.結(jié)論

本文主要討論了計(jì)算三角函數(shù)有理式積分不同的兩種方法:分別用萬(wàn)能公式換元求解和留數(shù)定理兩種不同的解題思路。通過對(duì)比分析,我們可以知道,利用萬(wàn)能公式計(jì)算三角函數(shù)積分時(shí),優(yōu)點(diǎn)在于思路清晰簡(jiǎn)單,但仍有不足之處,計(jì)算量較大,不易獲得原函數(shù),但如果利用復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)定理,則可以更加有效地計(jì)算出很難獲得原函數(shù)的三角函數(shù)積分,運(yùn)用較為廣泛,通過總結(jié)我們可以得出兩種方法各有利弊,在今后求解三角函數(shù)積分的過程中,要根據(jù)三角函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)來確定合適的方法,從而進(jìn)行有效的計(jì)算。

參考文獻(xiàn):

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[2] 段生貴.三角函數(shù)有理式的積分方法[J].河北地質(zhì)學(xué)院學(xué)報(bào),1995,18(5):438-441.

[3] 陳培.一類“三角函數(shù)有理式”積分算法的討論[J].中國(guó)科技信息,2011(10):40-41.

[4] 王仙彩.換元法在計(jì)算三角函數(shù)有理積分中的應(yīng)用[J].高等函授學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2007,20(2):23-25.

[5] 姚紅梅.三角函數(shù)有理式的積分的解題方法[J].高等函授學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2010,23(3):63-64.

[6] 廖輝.廖平.一類三角函數(shù)定積分的一個(gè)注記[J].綿陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào),2012,31(8):14-17.

[7] 王振輝.張波.三角函數(shù)有理式的一些積分技巧[J].科技信息,2009(34):4-4.

[8] 陳小強(qiáng).對(duì)有理函數(shù)積分法的探討[J].新疆職業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2002,10(3):45-46.

第7篇

關(guān)鍵詞:橫截面積;礦井巷道;復(fù)化梯形公式

DOI:10.16640/ki.37-1222/t.2017.13.210

煤炭工業(yè)是國(guó)民經(jīng)濟(jì)中的基礎(chǔ),它為經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)提供原料和能源。煤炭工業(yè)生產(chǎn)的順利進(jìn)行,一定程度上取決于煤炭工業(yè)基本建設(shè)及開拓延伸工作能否及時(shí)、持續(xù)地提供生產(chǎn)煤炭的場(chǎng)地。為了將煤從地下采出,需從地表開始,開鑿一系列的井筒、硐室及巷道以便到達(dá)煤層,這便是礦山基本建設(shè)的主體工程。其中涉及到大量的巷道斷面的設(shè)計(jì),包括巷道尺寸和橫截面積的計(jì)算。設(shè)計(jì)的巷道斷面直接作為井下巷道施工的依據(jù),也是進(jìn)行巷道工程概預(yù)算的依據(jù)。我國(guó)煤礦井下使用的巷道斷面形狀,按其構(gòu)成的輪廓線可分為圓形類、拱形類、矩形類和梯形類共四大類,在此選擇底板水平、兩幫垂直、頂板為弧形的半圓拱斷面進(jìn)行數(shù)學(xué)建模并求其橫截面積。

1 問題分析及模型

礦井巷道分為梯形巷道,三心拱巷道,半圓拱巷道等,本案例選擇半圓拱巷道模型并求解其面積。

但實(shí)際使用這種方法往往有困y,因?yàn)榇罅康谋环e函數(shù),找不到用初等函數(shù)表示的原函數(shù),此時(shí)Newton-Leibniz公式不能直接運(yùn)用,需要用其他有效的數(shù)值積分方法求解。在此,運(yùn)用數(shù)值積分方法中的復(fù)化梯形求積公式進(jìn)行求解。

2 復(fù)化梯形求積公式原理

在使用牛頓-柯特斯公式時(shí),通過提高階的途徑并不總能取得滿意的效果,為了改善求積公式的精度,一種行之有效的方法是復(fù)化求積。將積分區(qū)間分割為n等份,步長(zhǎng),各節(jié)點(diǎn)為。所謂復(fù)化求積公式,就是先用低階的求積公式求得每個(gè)子段上的積分值,然后用作為積的近似值。在子區(qū)間上使用Newton-Cotes公式,將分割為等份,步長(zhǎng)為,節(jié)點(diǎn)為記為 ,在上作的階Newton-Cotes求積公式

3 算法的Matlab實(shí)現(xiàn)

3.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

半圓拱巷道截面積求法可用數(shù)值積分中復(fù)化梯形求積公式

求得。用上述的的公式來計(jì)算半圓拱巷道截面積,(其中,矩形長(zhǎng),矩形寬);同時(shí)公式(1)中的積分區(qū)間,然后將積分區(qū)間進(jìn)行等分,用表示二分次數(shù),即區(qū)間等分?jǐn)?shù),得到個(gè)小區(qū)間,,每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為,其中。并且按

進(jìn)行計(jì)算。

3.2 Matlab程序代碼

function FHQJ

k=2;

m=4;

a=0; % a,b 為區(qū)間

b=2;

epsilon=1e-3; % 精確度

fun=@(x.)sqrt(-x.^2+k*x)+m;

n =1;

h=(b-a)/2;

y0=h*(feval(fun,a)+feval(fun,b));

yiter=y0;

while 1

step =2^(n-1);

f=sum(feval(fun,a+(1:2:2*step-1)*h));

y=y0/2+h*f;

if abs(y-y0)

break;

end

h=h/2;

y0=y;

yiter=[yiter,y0];

n=n+1;

end

yiter

disp(y);

Error=double(int('sqrt(-x^2+2*x)+4','x',0,2)-y); %%與真值誤差

disp(Error);

4 計(jì)算結(jié)果及分析

4.1 計(jì)算結(jié)果

本案例設(shè)定誤差不超過10-3,在Matlab下運(yùn)行程序后的結(jié)果如下(k表示二分次數(shù)):

當(dāng)運(yùn)行到k=8, 即時(shí)就能滿足與真實(shí)值誤差不超過10-3,此時(shí)誤差為0.0011。

4.2 結(jié)果分析

復(fù)化梯形求積公式能夠較準(zhǔn)確的得到實(shí)驗(yàn)結(jié)果yiter=9.5696,用在較少的計(jì)算量便能夠達(dá)到預(yù)定精度,得到準(zhǔn)確值與近似值的絕對(duì)誤差Error=0.0011,較好的完成了巷道面積的計(jì)算問題。

5 總 結(jié)

本文建立了礦井巷道截面積的計(jì)算模型,根據(jù)半圓拱形截面積函數(shù),運(yùn)用復(fù)化梯形求積公式進(jìn)行計(jì)算,并編制基于Matlab的計(jì)算程序。根據(jù)復(fù)化梯形求積公式的原理將所求函數(shù)的積分區(qū)間分為若干個(gè)小的積分區(qū)間,先求出每個(gè)小積分區(qū)間上的積分近似值,然后再將這些近似值加起來就是我們所要求的橫截面積的近似值,函數(shù)區(qū)間所分的小區(qū)間的個(gè)數(shù)越多,計(jì)算結(jié)果就越精確,其原因就是所分的區(qū)間數(shù)越多,計(jì)算時(shí)每個(gè)小區(qū)所帶來的誤差就越小,對(duì)其求和所帶來的總的誤差也就越小,所以最后的結(jié)果精度就越高。本文算例結(jié)果表明該方法具有較高精度、操作簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn),且便于程序化。

參考文獻(xiàn):

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[3]林柏泉,崔恒信.礦井瓦斯防治理論與技術(shù)[M].徐州:中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社,1998.

[4]煤礦瓦斯治理與應(yīng)用總體方案[Z].北京:國(guó)家安全生產(chǎn)監(jiān)督管理總局,2005.

[5]汪卉琴,劉目樓.數(shù)值分析[M].北京:冶金工業(yè)出版社,2004.

[6]李慶揚(yáng),王能超,易大義.數(shù)值分析[M].武漢:華中科技大學(xué)出版社,2006.

[7]肖偉,劉忠,曾新勇等.Matlab程序設(shè)計(jì)與應(yīng)用[M].北京:清華大學(xué)出版社,2005.

第8篇

不定積分在高職階段的解題方法大概可以分為以下幾種:直接積分法、第一類換元積分法、第二類換元積分法,分部積分法等。

1、直接積分法

利用不定積分以及原函數(shù)的定義:f(x)的所有原函數(shù)稱為f(x)的不定積分。也就是說,只要能知道哪個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù),不定積分也就求出來了。例如:求∫ dx。

因?yàn)橹繿rctanx的導(dǎo)數(shù)等于 ,只要在后面加上任意常數(shù)C就可以得到被積函數(shù)的全體原函數(shù),所以∫ dx=arctanx+C。這里必須注意一點(diǎn),用這種方法求積分一定要求出被積函數(shù)所有的原函數(shù),而并不是在某一個(gè)原函數(shù)后直接加上任意一個(gè)常數(shù)C就代表所有原函數(shù)。例如:求∫ dx。考慮到(Inx)'= ,如果簡(jiǎn)單的認(rèn)為∫ dx=Inx+C就錯(cuò)了,因?yàn)镮n(-x)'= •(-1)= ,因此In(-x)也是 的一個(gè)原函數(shù),而In(-x)是Inx加上任意常數(shù)所得不到的,所以∫ dx=Inx+C。有的教材上說檢驗(yàn)一個(gè)不定積分結(jié)果求的是否正確只要對(duì)結(jié)果求導(dǎo)就行,如果求導(dǎo)以后得到的是被積函數(shù),則正確。其實(shí)這種說法并不嚴(yán)格,上述例子就是一個(gè)反例。因此,并不能說對(duì)結(jié)果求導(dǎo)就能驗(yàn)證一定正確,只能夠說如果對(duì)結(jié)果求導(dǎo)得到被積函數(shù)并不一定正確,而如果得不到被積函數(shù)卻一定是錯(cuò)誤的。對(duì)結(jié)果求導(dǎo)這種方法不能來驗(yàn)證正確,只能判斷是否錯(cuò)誤。

2、第一類換元積分法

第一類換元積分法又稱為“湊微分”法。顧名思義,關(guān)鍵在于一個(gè)“湊”字,如果能想到如何“湊”,則題目會(huì)迎刃而解,若想不到方法,則會(huì)無(wú)法動(dòng)手。下面看一個(gè)例子:

求∫ dx。

本題如果不用“湊微分”的方法,幾乎是無(wú)法解出來的,即使是知道用“湊微分”的方法,但不知道該如何去“湊”,仍然無(wú)濟(jì)于事。使用此方法必須對(duì)常用的“湊微分”公式非常熟悉。就此題而言,由于被積函數(shù)分母中有x2項(xiàng),而分子中有x項(xiàng),聯(lián)想到“湊微分”公式中xdx= d(x2),會(huì)出現(xiàn)x2項(xiàng),所以可以考慮此思路。但此題與一般的“湊微分”又有所不同,由于分子和分母都是多項(xiàng)式,如果要“湊微分”必須分子或者分母整體“湊”,對(duì)被積函數(shù)的分子參照分母進(jìn)行“湊微分”:因(x2+x+1)=(2x+1)dx,所以原式可以寫成:∫ dx= ∫ dx= ∫ =∫ = In(x2+x+1)+ arctan +C

從上例中可以看出,用“湊微分”法必須要對(duì)“湊微分”公式非常熟悉。

3、第二類換元積分法

第二類換元積分法又分為根號(hào)換元法和三角換元法兩類,對(duì)于被積函數(shù)中有根號(hào)而又無(wú)法用“湊微分”法解決的題目,可以考慮用根號(hào)換元,例如:若被積函數(shù)含有 ,5 等等,這類題目可以令根號(hào)下的因式為t,再用其他積分方法來解決。而三角換元?jiǎng)t是利用sin2x+cos2x=1或者1+tan2x=sec2x這兩個(gè)三角恒等式來變化。例如被積函數(shù)中含有 , 等的積分都能利用上述兩三角恒等式來進(jìn)行換元。此類題目最后計(jì)算結(jié)果往往都較為復(fù)雜,使用此種換元法要牢記最后結(jié)果中要將變量用換回來。

4、分部積分法

分部積分法是根據(jù)兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)的公式推倒而來,公式為:∫udv=uv-∫vdu。用分部積分法解題時(shí),公式中的u和v并不是隨意選取的,而要遵照以下兩個(gè)原則:

(1)v要容易求出;(2)∫vdu要比∫udv更容易求出。而在實(shí)際的使用過程中,分部積分法通常都是和換元積分法結(jié)合起來使用的。

上面介紹了不定積分的多種求法,只有熟悉了這些基本的求法,才能夠比較熟練的求出其他技巧性更強(qiáng)的積分。另外,需要指出的是:由于初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),因而其原函數(shù)一定存在,但是原函數(shù)并不一定就是初等函數(shù),例如 , , 等,他們的原函數(shù)都不是初等函數(shù),因此不能用上述的幾種求積分的方法來求它們的不定積分。

參考文獻(xiàn):

[1]吳紀(jì)姚 漆毅 .高等數(shù)學(xué)(工專).北京:北京大學(xué)出版社,2006年

(作者單位:江西南昌贛江職業(yè)技術(shù)學(xué)院)

第9篇

【關(guān)鍵詞】教學(xué)設(shè)計(jì);微視頻;高等數(shù)學(xué)

一、緒 論

互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展特別是移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的發(fā)展無(wú)時(shí)無(wú)刻不影響我們的生活方式、生活習(xí)慣、思維方式等方方面面.在教育方面,對(duì)教育理念、教學(xué)方法、教學(xué)模式等的影響巨大,由教育部教育管理信息中心、百度文庫(kù)和北京師范大學(xué)聯(lián)合的《2015中國(guó)互聯(lián)網(wǎng)學(xué)習(xí)白皮書》的結(jié)果顯示,互聯(lián)網(wǎng)教育產(chǎn)品用戶主要集中在19至24歲、25至34歲兩個(gè)年齡段.19至24歲階段多是大學(xué)生,從中可以看出我們的高等教育必須適應(yīng)互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展和學(xué)生的行為習(xí)慣,利用互聯(lián)網(wǎng)和科技帶來的效率優(yōu)勢(shì),提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率[1].

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)教育中的一門基礎(chǔ)學(xué)科,是絕大多數(shù)大學(xué)生必須掌握的一門基礎(chǔ)課,是學(xué)生綜合素質(zhì)的重要組成部分.高等數(shù)學(xué)有其固有的特點(diǎn):高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性和廣泛的應(yīng)用性.抽象性和計(jì)算性是數(shù)學(xué)最基本、最顯著的特點(diǎn),有了高度抽象和統(tǒng)一,我們才能深入地揭示其本質(zhì)規(guī)律,才能使之得到更廣泛的應(yīng)用.嚴(yán)密的邏輯性是指在數(shù)學(xué)理論的歸納和整理中,無(wú)論是概念的表述,還是判斷和推理,都要運(yùn)用邏輯的規(guī)則,遵循思維的規(guī)律.所以說,數(shù)學(xué)也是一種思想方法,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程就是思維訓(xùn)練的過程[2].因此,在教學(xué)中,如何讓學(xué)生在掌握知識(shí)和計(jì)算的過程中,更好地體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法,從而提高他們的綜合能力,對(duì)于高等數(shù)學(xué)的教育是一個(gè)很值得思考的問題,這需要我們?cè)诮虒W(xué)設(shè)計(jì)上下功夫,利用科技,特別是信息技術(shù),把高度抽象的數(shù)學(xué)理論以比較“形象化”的技術(shù)手段進(jìn)行展示,在此過程中把數(shù)學(xué)思想和方法展示給學(xué)生.同時(shí),注意到當(dāng)代大學(xué)生的學(xué)情特點(diǎn),他們思維活躍,但是有時(shí)思維方式比較形象化,對(duì)抽象的事物掌握規(guī)律比較困難;特別喜歡移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng),甚至一天不用手機(jī),他們已經(jīng)不能忍受;他們對(duì)新鮮的事物抱有足夠的好奇.

綜合學(xué)情和已有的技術(shù)儲(chǔ)備,利用微課和翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)理念和模式,我們可以在某種程度上利用信息技術(shù)合理設(shè)計(jì)教學(xué)視頻,把高等數(shù)學(xué)教學(xué)中抽象概念包含的數(shù)序思想更好地展示出來,從而提高學(xué)生們學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣,激發(fā)他們學(xué)習(xí)的動(dòng)力.

我們以高等數(shù)學(xué)中“牛頓-萊布尼茨公式及其證明”這一小節(jié)以微視頻來進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì),讓學(xué)生體會(huì)動(dòng)態(tài)的微積分的定義、變上限積分的定義、牛頓-萊布尼茨公式的證明.從中體會(huì)“以直代曲”的線性化方法、數(shù)形結(jié)合方法.進(jìn)而更好地理解不定積分和定積分之間的聯(lián)系.

二、基于微頻的教學(xué)設(shè)計(jì)

微視頻通常值指的是時(shí)長(zhǎng)不超過20分鐘的視頻短片,特別適合在移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)上播放和傳播.本小節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)要利用MATLAB計(jì)算軟件、幾何畫板軟件來制作微視頻.具體教學(xué)設(shè)計(jì)如下:

牛頓-萊布尼茨公式及其證明教學(xué)設(shè)計(jì)方案

使用的教材為同濟(jì)的《高等數(shù)學(xué)》上冊(cè),第六版.

一、教材的地位與作用

牛頓-萊布尼茨公式不僅為定積分計(jì)算提供一個(gè)有效地方法,而且在理論上把定積分與不定積分聯(lián)系起來,是微積分學(xué)中最重要的公式.

二、學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)分析

在牛頓-萊布尼茨公式學(xué)習(xí)以前,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)、微分、原函數(shù)、不定積分、定積分的概念和性質(zhì)的相關(guān)知識(shí).

二、教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能:熟練掌握牛頓-萊布尼茨公式,培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、抽象、概括的能力,體會(huì)知識(shí)間的聯(lián)系.

2.過程與方法:根據(jù)大學(xué)生的心理素質(zhì),利用啟發(fā)式教學(xué),始終從問題出發(fā),層層設(shè)疑,引導(dǎo)學(xué)生在不斷思考中獲取知識(shí).

3.情感與態(tài)度:提高觀察、分析、抽象、概括的能力,體會(huì)數(shù)學(xué)解決問題的方法和過程,進(jìn)一步滲透類比、轉(zhuǎn)化的思維方法,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.

三、教學(xué)重點(diǎn)

掌握牛頓-萊布尼茨公式.

四、教學(xué)難點(diǎn)

理解牛頓-萊布尼茨公式的證明過程,體會(huì)其背后的數(shù)學(xué)思想和方法.

五、教學(xué)過程

1.復(fù)習(xí)舊知識(shí),以微積分的定義的動(dòng)態(tài)視頻展示引入課題――創(chuàng)設(shè)情境.

首先,利用Matlab軟件設(shè)計(jì)一個(gè)程序完成對(duì)定積分定義的動(dòng)態(tài)展示,即定積分中的分割-近似求和-取極限的過程動(dòng)態(tài)地展示出來.以在區(qū)間[0,1]上的定積分為例,把每一次分割所對(duì)應(yīng)的所有的小矩形的圖形通過Matlab畫出來,然后拼接成動(dòng)畫,做成視頻[3].實(shí)現(xiàn)上述過程,中間過程的一個(gè)靜態(tài)展示如下:

隨著分割的加細(xì),所有小矩形的圖形逐漸穩(wěn)定,即它們的面積和趨向穩(wěn)定,這個(gè)極限值就是在區(qū)間[0,1]上的定積分.

定積分定義的動(dòng)態(tài)視頻展示,可以讓學(xué)生更好地理解定積分的思想.同時(shí),體會(huì)到按照定義來求解定積分是不容易的,即使是非常簡(jiǎn)單的函數(shù).從而引出牛頓-來不尼茨公式――高效的計(jì)算定積分的方法,且使得定積分成為一種科學(xué)的方法.

2.得到猜想――驗(yàn)證猜想

我們要利用數(shù)學(xué)常用的解決問題的方法:猜測(cè)結(jié)論――驗(yàn)證結(jié)論,得到一般的規(guī)律[4].利用這種方式給出牛頓萊布尼茨公式.

通過上述視頻的動(dòng)態(tài)演示,當(dāng)把[0,1]區(qū)間分割成500份,最終的圖形如下:

如何證明該猜想是一個(gè)難點(diǎn),我們采用數(shù)形結(jié)合,并利用幾何畫板把它用微視頻的方式展示出來,同時(shí)也把變上限積分的幾何意義展示出來.具體做法如下:

初始畫面如下,揭示定積分的幾何意義為曲邊梯形的面積.從而只需證明陰影部分的面積和紅色線段長(zhǎng)度相等.

這需要一個(gè)橋梁和工具:變上限積分.因此要讓陰影部分動(dòng)起來.視頻的中間一個(gè)過程如下圖.

隨著點(diǎn)向左端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)陰影部分的面積不斷變小,通過該過程讓學(xué)生體會(huì)變上限積分函數(shù)的特點(diǎn).接著要把變上限積分函數(shù)的圖像在坐標(biāo)系中畫出來,且曲線的出現(xiàn)的過程與陰影部分的面積的變化過程同步.視頻的一個(gè)中間的靜態(tài)展示如下圖.

從而使得定積分的值――曲邊梯形的面積轉(zhuǎn)化為變上限積分函數(shù)在區(qū)間上的增量.再通過比較圖像的位置關(guān)系,我們可以得到陰影部分的面積在區(qū)間上的增量等于線段長(zhǎng)度在區(qū)間上的增量.通過移動(dòng)曲線即可得到,移動(dòng)的過程的一個(gè)靜態(tài)展示如下圖.

3.得到定理――總結(jié)反思,提煉精華

完成定理證明后,加以練習(xí),并對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行總結(jié),讓同學(xué)們體會(huì):

(1)定積分的定義

分割-近似求和-取極限的思想,以及以直代曲思想.

(2)數(shù)學(xué)解決問題的一般途徑

合理的猜測(cè)后進(jìn)行嚴(yán)格的論證從而得到一般的規(guī)律是數(shù)學(xué)解決問題的常用方法.清晰的直覺和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐瑯又匾?

(3)數(shù)形結(jié)合的思想

定積分的幾何意義和變上限積分函數(shù)的圖形展示.

(4)不定積分和定積分之間的關(guān)系:牛頓-萊布尼茨公式給出了求函數(shù)定積分的一般方法,把求定積分的問題轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)原函數(shù)的問題,這就使得作為積分和數(shù)列的極限的定積分與作為微分逆運(yùn)算的不定積分緊密地聯(lián)系在一起,正是這樣的聯(lián)系才使得微積分有非常廣泛的理論和應(yīng)用價(jià)值[4].

六、教學(xué)方式

采用學(xué)生事先預(yù)習(xí),n堂上與學(xué)生共同討論的方式來進(jìn)行教學(xué),多媒體、板書等相結(jié)合.

三、總 結(jié)

隨著互聯(lián)網(wǎng)開放教育的深入發(fā)展,年青一代學(xué)生對(duì)互聯(lián)網(wǎng)的依賴及他們的行為方式的改變,我們需要利用各種信息技術(shù)把數(shù)學(xué)中的概念形象地展示出來.專業(yè)的數(shù)學(xué)軟件和課件制作軟件是我們必須靈活利用的,如Matlab、幾何畫板等.并制作成視頻,放在網(wǎng)上或者發(fā)給學(xué)生,充分利用微視頻的優(yōu)點(diǎn)和學(xué)生的行為習(xí)慣,幫助學(xué)生自學(xué)、預(yù)習(xí)、復(fù)習(xí),提高他們的學(xué)習(xí)效率,讓他們感覺到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是輕松的,且有成就感.從而激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)力.

我們以“牛頓-萊布尼茨公式及其證明”這一教學(xué)內(nèi)容為例,把通過Matlab和幾何畫板軟件設(shè)計(jì)的動(dòng)畫視頻作為教學(xué)設(shè)計(jì)的中間環(huán)節(jié).通過這樣的設(shè)計(jì)把比較抽象的概念,通過數(shù)形結(jié)合動(dòng)態(tài)地展示出來.有助于學(xué)生理解公式背后的數(shù)學(xué)思想和方法,有助于培養(yǎng)學(xué)生綜合數(shù)學(xué)修養(yǎng).

【參考文獻(xiàn)】

[1]楊經(jīng)曉,互聯(lián)網(wǎng)數(shù)學(xué)開放教育發(fā)展近況[J].數(shù)學(xué)文化,2013,4(1):61-68.

[2]http:///linkurl=8X4aDMNjbXID3rZTQau2RhpS9U3cp2UN_wI8dquy4yuhKVa1Sa8zUm_c7baoyo2aKoIJcnCJ_u2yDFF7fqrZV0Oa4CrTrh0qhLbbdXpneta.

第10篇

學(xué)到微積分部分時(shí),我把牛頓和萊布尼茲及追隨者們的生平故事,他們發(fā)現(xiàn)及發(fā)展微積分理論的過程,他們?cè)跀?shù)學(xué)及其他領(lǐng)域內(nèi)所做的研究工作與貢獻(xiàn),還有關(guān)于微積分發(fā)明優(yōu)先權(quán)問題的爭(zhēng)論,各個(gè)微積分符號(hào)的含義、公式的由來,微積分理論在各學(xué)科中的廣泛應(yīng)用等穿插在各部分內(nèi)容中給學(xué)生分散講授.下面是我的一節(jié)實(shí)驗(yàn)課:定積分的概念.

定積分的概念非常抽象,很難理解,并且得出概念的方式也與以往有所不同,定積分的計(jì)算及其他一些內(nèi)容是本書的難點(diǎn).如果這一節(jié)講不好,會(huì)給以后的學(xué)習(xí)帶來困惑.俗話說“良好的開端是成功的一半”,為了開好這個(gè)頭,我下了很大的工夫,提前查資料,找尋與本節(jié)課有關(guān)的內(nèi)容.本節(jié)課我是這樣設(shè)置的:

大家都喜歡吃蘋果嗎?

同學(xué)們都笑了,不知道老師葫蘆里又要賣什么藥,但還是說“喜歡”.

我笑著說:“我也特別喜歡吃.”我又問:“那你們知道與蘋果有關(guān)的非常有名的定理是哪一個(gè)?又是誰(shuí)發(fā)明的?”

同學(xué)們異口同聲地說:“萬(wàn)有引力定律,牛頓發(fā)明的.”這時(shí)同學(xué)們有些陰陽(yáng)怪氣了,是啊,大家都是從小聽牛頓的故事長(zhǎng)大的,我現(xiàn)在問,他們以為我把他們當(dāng)小孩了.

我又問:“是啊,同學(xué)們都非常熟悉牛頓的兩大成就,萬(wàn)有引力定律和光的分析,但他還有一個(gè)更大的成就,你們不知道吧?”

這時(shí)同學(xué)們的胃口被我吊起來了,我頓了一下說:“那就是計(jì)算定積分的基本公式——微積分基本公式.那什么是定積分?微積分的基本公式又是怎么樣的?又如何運(yùn)用它計(jì)算定積分?這是我們本章所要研究的內(nèi)容.”我接著講到:

定積分的概念起源于求平面圖形的面積和其他一些實(shí)際問題,定積分的思想在古代數(shù)學(xué)家的工作中就已經(jīng)有了萌芽,很早以前在許多人的工作中已經(jīng)形成,但結(jié)果都是孤立的和零散的,直到牛頓—萊布尼茲公式,也就是我們剛剛提到的微積分基本公式建立以后,計(jì)算問題得以解決,定積分才迅速發(fā)展起來并得以廣泛應(yīng)用.因此牛頓和萊布尼茲被稱為定積分的奠基人.牛頓和萊布尼茲都是數(shù)學(xué)史上最偉大的科學(xué)家,特別是牛頓被譽(yù)為近代科學(xué)家的開創(chuàng)者,在科學(xué)史上做出了巨大的貢獻(xiàn),他的三大成就——光的分析、萬(wàn)有引力定律和微積分,對(duì)現(xiàn)代科學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ),世人給了他很高的評(píng)價(jià).曾有一句話是這樣說的:“自然和自然規(guī)則在黑暗中躲藏,主說,讓人類有牛頓!于是一切被光照亮.”而牛頓卻非常謙虛,有人問他成功的秘訣,他說:“如果說我有點(diǎn)成就,沒有其他秘訣,唯有勤奮而已.”他又說:“假如我看得遠(yuǎn)點(diǎn),那是我站在巨人的肩膀上.”這些話生動(dòng)地道出牛頓取得巨大成就的奧秘所在,那就是在前人研究的基礎(chǔ)上,以現(xiàn)身的精神,勤奮地創(chuàng)造科學(xué)的新天地.雖然我們不能人人成為偉人,不能人人成為科學(xué)家,但我們要學(xué)習(xí)偉人的這種精神,在學(xué)習(xí)上孜孜以求,去發(fā)現(xiàn)科學(xué)、學(xué)習(xí)科學(xué)并應(yīng)用科學(xué).

同學(xué)們被科學(xué)家的精神感動(dòng)了,我順勢(shì)一轉(zhuǎn),那么課本是如何從兩個(gè)實(shí)例出發(fā),引出定積分的概念?定積分的概念又是怎樣的?如何應(yīng)用它來解決實(shí)際問題?我們一起來研究一下:

第11篇

1、知識(shí)范圍

(1)不定積分、原函數(shù)與不定積分的定義、原函數(shù)存在定理不定積分的性質(zhì)

(2)基本積分公式

(3)換元積分法、第一換元法(湊微分法)、第二換元法

(4)分部積分法

(5)一些簡(jiǎn)單有理函數(shù)的積分

2、要求

(1)理解原函數(shù)與不定積分的概念及其關(guān)系,掌握不定積分的性質(zhì),了解原函數(shù)存在定理。

(2)熟練掌握不定積分的基本公式。

(3)熟練掌握不定積分第一換元法,掌握第二換元法(限于三角代換與簡(jiǎn)單的根式代換)。

第12篇

關(guān)鍵詞: 不定積分計(jì)算 困難 分析 常用方法

不定積分是大學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)于計(jì)算問題的一個(gè)重要內(nèi)容,是定積分、重積分、線面積分計(jì)算、微分方程求解的基礎(chǔ)。因此,熟練掌握不定積分的計(jì)算方法與技巧,對(duì)于學(xué)好高等數(shù)學(xué)是十分必要的,然而它的計(jì)算卻存在著一定的難度。

一、不定積分計(jì)算的困難及分析

不定積分計(jì)算的困難首先是由其概念本身帶來的,因?yàn)閺那髮?dǎo)的逆運(yùn)算引進(jìn),造成了它的計(jì)算是非構(gòu)造性的一類運(yùn)算,它與求導(dǎo)相比有著顯著的不同,求導(dǎo)有一定的公式可套,但求不定積分并非如此。

不定積分計(jì)算的困難還在于錯(cuò)誤的思考方法,對(duì)于學(xué)生來說,解題往往通過“猜”的方式,猜原函數(shù),這顯然相當(dāng)?shù)睦щy;在老師方面,不定積分的教學(xué)也是一個(gè)難點(diǎn),老師的任務(wù)是理出方法,教會(huì)學(xué)生如何理解方法,而不是憑感覺。現(xiàn)實(shí)存在的問題有兩個(gè):一是當(dāng)在指定讓學(xué)生用哪種方法解決時(shí),學(xué)生可以做到,但如果把方法混在一起,學(xué)生往往不知道用哪種方法;二是在當(dāng)時(shí)學(xué)生會(huì)解決的題目,時(shí)間久了,學(xué)生就忘記了。原因都在于學(xué)生沒有真正理解透各種方法的本質(zhì)特點(diǎn),面對(duì)問題時(shí),不知道怎么根據(jù)其特征選擇適當(dāng)?shù)姆椒ā?/p>

二、不定積分計(jì)算的方法思考

在介紹積分方法時(shí),老師首先應(yīng)提醒學(xué)生注意被積函數(shù)的多樣性,而不同類型的被積函數(shù)就需要不同的積分方法來解決,對(duì)于一個(gè)給定的f(x),要求f(x)dx,這是一個(gè)未知的問題,從宏觀上說我們要將未知的問題轉(zhuǎn)化為已學(xué)知識(shí)來討論。那么就存在兩個(gè)問題:已知的是什么?怎么轉(zhuǎn)化過去?

課本根據(jù)求導(dǎo)與不定積分的關(guān)系由基本求導(dǎo)公式給出了積分基本公式,它們可以作為已知的知識(shí),那么不能直接由積分公式解決的問題,就要通過幾種轉(zhuǎn)化方法轉(zhuǎn)化到現(xiàn)有的公式上,轉(zhuǎn)化的依據(jù)要根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)和轉(zhuǎn)化方法的特點(diǎn)。常用方法有以下幾種。

1.基本變形。這個(gè)方法是由不定積分的性質(zhì)線性引出的,只要做恒等變形就可以將要求的不定積分轉(zhuǎn)化到基本積分公式中去,它的特點(diǎn)就是多個(gè)變單個(gè)。

2.湊微分法。顧名思義,關(guān)鍵在于一個(gè)“湊”字,如果能想到如何“湊”,則題目會(huì)迎刃而解,若想不到方法,則會(huì)無(wú)處入手。因此,歸納并熟記常用的湊微分公式是十分必要的。

老師在講解這個(gè)方法的時(shí)候可以先通過幾個(gè)簡(jiǎn)單的湊微分的例子引出湊微分這個(gè)方法,以形象地觀察出湊微分法的本質(zhì)、特點(diǎn),書上給出的定理是比較抽象的,在對(duì)其證明中,可以采取比較通俗的方式,如:要驗(yàn)證f[φ(x)]?φ′(x)dx=f(u)du=F(u)+C=F[φ(x)]+C是否成立,只要驗(yàn)證(F[φ(x)]+C)′=f[φ(x)]?φ′(x)是否成立。

如果成立,則證明了該定理,也證明了前幾個(gè)例子的做法是正確的。再結(jié)合例子和定理歸納出湊微分法的特點(diǎn)就是“變?cè)賲f(xié)同”。

有些例題要“湊”多次,老師可以舉相關(guān)例題讓學(xué)生充分體會(huì)湊微元法的本質(zhì)特點(diǎn)是變?cè)賲f(xié)同中的“再”,總的來說湊微元法就是一個(gè)“變?cè)賲f(xié)同”的過程。

3.變量代換法。從被積函數(shù)中會(huì)發(fā)現(xiàn)一些難以處理的因式,使用湊微元怎么也協(xié)同不了,在講解這個(gè)方法的時(shí)候可以先舉幾個(gè)這樣的例子,告訴學(xué)生思考這個(gè)問題的方法,多列幾個(gè)學(xué)生就會(huì)知道想辦法去掉難以處理的因式,當(dāng)然是有多種代換方法的。在學(xué)生接受了這種思路后再給出定理,證明手段類似湊微元的證明。

例1:求.

思路一:被積函數(shù)中既有x,又含有x,所以我們想辦法通過變?cè)紖f(xié)同到x上,然后再觀察,再協(xié)同。

解一:===

=d=d

=arctan+C

思路二:考慮被積函數(shù)中含有根號(hào),想辦法去掉根號(hào),使用三角代換很容易將其算出。

觀察這兩種方法的各自特點(diǎn),第一種思路它比較難想到,但計(jì)算起來比較簡(jiǎn)單,第二種方法它雖然操作起來相對(duì)麻煩一些,但指向性非常明確。三角換元法一般是把被積函數(shù)中含有的,,,分別用x=asint,x=atant,x=asect做變換去掉根式,沒有太多的技巧,但是有些含有這樣根式的不定積分不需要采取變量代換的方法,例如xdx,dx,被積函數(shù)中含有了比較難處理的因式,而變量代換就是起到一個(gè)去掉難處理的因式的作用,但在有些題目中只要用湊微元做就可以了,提醒學(xué)生不要犯教條。

4.分部積分。其基本公式為udv=uv-vdu,此方法用于求udv不易,而求vdu較易的題目。在運(yùn)用分部積分法關(guān)鍵是u與dv的選取,掌握此方法的一個(gè)關(guān)鍵在于你要對(duì)哪個(gè)求導(dǎo),du是一個(gè)局部求導(dǎo),求導(dǎo)之后要方便運(yùn)算才有意義。

例2:求xedx.

分析:被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)e與三角函數(shù)x的乘積,用分部積分有兩種方案:xedx=edx=ex-xdexde,第一種方案是對(duì)e局部求導(dǎo),而我們知道對(duì)它求導(dǎo)還是本身,所以解決不了根本問題,所以學(xué)生在做題的時(shí)候要思考到底對(duì)誰(shuí)局部求導(dǎo)能達(dá)到目的,這題中對(duì)x局部求導(dǎo)就可以去掉這個(gè)因式,所以選擇第二種方案。

這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)要求我們要對(duì)各類積分法進(jìn)行總結(jié)比較,分析各類積分方法的特征,達(dá)到掌握并熟練運(yùn)用的目的。

參考文獻(xiàn):

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M].高等教育出版社,1990.

[2]仉志余.大學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用教程(上冊(cè))[M].北京大學(xué)出版社,2006.8.

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