時間：2023-06-05 09:58:14
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇分數(shù)乘法解決問題，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
【關(guān)鍵詞】分數(shù)；百分數(shù)；解決問題；教學(xué)
分數(shù)、百分數(shù)知識，在日常生活和生產(chǎn)建設(shè)中有著廣泛的應(yīng)用，也是小學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容，而這部分內(nèi)容歷來又是小學(xué)教學(xué)的難點。如何改進并加強分數(shù)、百分數(shù)問題教學(xué)，提高教學(xué)效率，提高學(xué)生的分析能力，使學(xué)生能正確解決分數(shù)、百分數(shù)問題，是我們小學(xué)數(shù)學(xué)老師要直面的問題。
眾所周知，分數(shù)問題與百分數(shù)問題有著緊密的聯(lián)系，教學(xué)中如果我們抓住它們的聯(lián)系，可以使教學(xué)取得事半功倍的效果。在多年的教學(xué)實踐，使我對這一部分內(nèi)容的教學(xué)，有著自己的理解，也積累了一些方法和經(jīng)驗，現(xiàn)在我想就分數(shù)、百分數(shù)解決問題的教學(xué)談一下我的見解。
1重視分數(shù)乘法問題的教學(xué)
分數(shù)乘法中解決問題的分析方法，是分析分數(shù)除法以及百分數(shù)解決問題的重要基礎(chǔ)，由于分數(shù)乘法中的“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”在乘法中屬于一種特殊的數(shù)量關(guān)系，又是分數(shù)問題的主要教學(xué)內(nèi)容，抓好這種特殊數(shù)量關(guān)系的教學(xué)，可以大大提高學(xué)生分析、解決分數(shù)問題的能力，也為百分數(shù)問題的解決打好基礎(chǔ)。為此，我們應(yīng)該做到以下幾點。
1.1抓好分數(shù)乘法意義的教學(xué)，是解決分數(shù)乘法問題的基礎(chǔ)。
分數(shù)乘法問題的解決依據(jù)是分數(shù)乘法的意義。分數(shù)乘法的意義有兩種：一種與整數(shù)乘法的意義相同，即求幾個相同加數(shù)的和的簡便運算，如：
1.2抓住分數(shù)乘法問題的關(guān)鍵句，強化學(xué)生對數(shù)量關(guān)系的分析。
分數(shù)乘法問題中“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”的解決方法是后面解決分數(shù)除法、百分數(shù)問題的基礎(chǔ)，學(xué)生必須掌握它的分析方法及解題技巧。如何才能讓學(xué)生把“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”這類問題的解題技巧掌握好呢？我的做法是：重點讓學(xué)生分析關(guān)鍵句，根據(jù)關(guān)鍵句訓(xùn)練學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系。學(xué)生學(xué)會正確分析一道題的數(shù)量關(guān)系，就能正確列出算式解決問題，而一道分數(shù)問題中的關(guān)鍵句往往是分析本題數(shù)量關(guān)系式的依據(jù)。
綜觀兩個例題的分析方法，不難看出共同點：第一，抓住了關(guān)鍵句進行數(shù)量關(guān)系分析，第二，根據(jù)“分數(shù)乘法的意義”得出等量關(guān)系式，從而解決分數(shù)乘法問題。經(jīng)常進行這樣的訓(xùn)練，學(xué)生就掌握了分數(shù)問題數(shù)量關(guān)系的分析方法，也就能正確解決分數(shù)問題了。
2突出分數(shù)乘法與除法問題分析方法的一致性
分數(shù)除法問題，實質(zhì)上是分數(shù)乘法問題的逆運算，因此，分數(shù)除法問題的分析，可以借助分數(shù)乘法的分析方法。六年級上冊分數(shù)除法問題的教學(xué)，主要解決“已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)”和稍復(fù)雜的分數(shù)除法問題。它們分別與分數(shù)乘法中“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”與稍復(fù)雜的分數(shù)乘法問題有著緊密的內(nèi)在聯(lián)系，它們的數(shù)量關(guān)系相同，都可以同樣的分析方法來解決問題。所以分數(shù)除法問題的分析方法應(yīng)與分數(shù)乘法問題的分析方法保持一致。
3百分數(shù)問題的教學(xué)要聯(lián)系分數(shù)問題的教學(xué)
我們知道百分數(shù)是“表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾”，與分數(shù)中的“表示一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”是一樣的。因此，百分數(shù)同分數(shù)有緊密的聯(lián)系。教學(xué)中我們要緊緊抓住學(xué)生已有的分數(shù)知識，從分數(shù)進入百分數(shù)，這樣學(xué)生的學(xué)習(xí)就有了依據(jù)。
這樣的教學(xué)，注重了知識結(jié)構(gòu)和體系的整理，處理好了局部知識與整體知識的關(guān)系，使學(xué)生的知識得到有機整合，減輕了學(xué)生的學(xué)習(xí)負擔(dān)，大大提高了教學(xué)效率。
教無定法。希望老師們充分發(fā)揮自己的聰明才智，積極探索新課標(biāo)下的教學(xué)改革，多動腦筋，勤于思考，善于總結(jié)反思，探索有利于學(xué)生學(xué)習(xí)的方法，這樣就能不斷提高教學(xué)效率，使自己逐步成為一位教學(xué)上的智者，甚至大師，在教學(xué)崗位上綻放出更耀眼的光芒！
參考文獻
[1]課程教材研究所、小學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心編著，六年級上冊教師教學(xué)用書[M]，人民教育出版社出版，2007
一、緊扣意義，關(guān)注分數(shù)（百分數(shù)）解決問題的本質(zhì)
“分數(shù)的意義”是學(xué)習(xí)分數(shù)、百分數(shù)解決問題的起點，而“分數(shù)乘法的意義，也就是求一個數(shù)的幾分之幾是多少”，則是解決分數(shù)、百分數(shù)乘除法問題的依據(jù)。
蘇教版和人教版在分數(shù)（百分數(shù)）解決問題內(nèi)容編排上，更注重學(xué)生對分數(shù)乘法意義的理解和運用。例如，教學(xué)人教版六年級上冊第17頁例1（題目略），教參第35頁明確指出可以從分數(shù)的意義和分數(shù)乘法的意義兩方面進行教學(xué)，但側(cè)重點應(yīng)該放在分數(shù)乘法的教學(xué)上。從分數(shù)的意義出發(fā)，根據(jù)我國人均耕地面積占世界人均耕地面積的■，可以把世界人均耕地面積看作“單位1”，平均分成5份，取其中的2份，所以列式為2500÷5×2。從分數(shù)乘法的意義出發(fā)，亦就是教材重點教學(xué)的知識，抓住關(guān)鍵的句子“我國人均耕地面積和世界人均耕地面積”這對相比較的量，弄清“世界人均耕地面積”表示“單位1”的量，再進一步弄清要求的量是“單位1”的幾分之幾的問題。也就是求2500的■是多少？列式為2500×■。
沿海版第十一冊第78頁例3：一輛汽車從甲地開往乙地，已行駛了全程的，■還剩下30千米。甲、乙兩地之間的公路長是多少千米？教材明確了兩種常規(guī)教教法，即方程的x－■x=30和分數(shù)除法的30÷（1－■）。第一種教法其實是對分數(shù)乘法意義的深度運用，而第二種其實是對舊教法“相對應(yīng)的量÷對應(yīng)分率=單位1”的運用。
通常教學(xué)上述兩種方法時，我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)后進生往往在這類題目的解法上出錯率特別高，究其原因，與分數(shù)乘法意義對學(xué)生而言較難理解有一定關(guān)系。在此，我們對后進生的教法可以靈活地選擇簡明易懂的方法，即從分數(shù)的意義入手，根據(jù)■可知，一條公路被平均分成了6份，行駛了5份，還剩下1份，這1份剛好是30千米。所以全長6份是30×6=180（千米）就是所求的甲、乙兩地的千米數(shù)。
二、借助線段圖、數(shù)量關(guān)系，開展有效教學(xué)
教師新授“分數(shù)、百分數(shù)解決問題”的內(nèi)容，要注重引導(dǎo)學(xué)生理解題意，學(xué)會畫線段圖，通過線段圖幫助理解題意，分析數(shù)量關(guān)系，找到解題途徑和解題方法。
通過畫線段圖分析、找出等量關(guān)系，其過程關(guān)鍵是先找出“單位1”的量(即常說的標(biāo)準(zhǔn)量)，從而畫出線段表示“單位1”的量，然后找出“單位1”的幾分之幾的量(即常說的比較量)。再者通過觀察線段圖，分析并寫出數(shù)量關(guān)系式，最后根據(jù)一個數(shù)乘以分數(shù)的意義來計算，問題就迎刃而解了。
人教版教材在處理線段圖、數(shù)量關(guān)系的問題上，更多地依賴前者的作用來開展教學(xué)，如教學(xué)分數(shù)乘法解決問題時重點是讓學(xué)生理解分數(shù)乘法的意義，當(dāng)教學(xué)分數(shù)除法解決問題時才出現(xiàn)數(shù)量關(guān)系式的教學(xué)。其目的是為了達成新課標(biāo)的要求，注重培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠基礎(chǔ)，盡可能將分析數(shù)量關(guān)系留給了學(xué)生自己解決。因此，教師在課堂教學(xué)時，盡可能地教會學(xué)生通過畫線段圖，分析數(shù)量關(guān)系的技能，尤其是后進生。
蘇教版在處理線段圖、數(shù)量關(guān)系的問題上，與人教版類似，更多的是借助線段圖教學(xué)，并給出相關(guān)的提示，幫助學(xué)生自己分析題目的數(shù)量關(guān)系。因蘇教版沒有教學(xué)分數(shù)除法的內(nèi)容，而將其融入到百分數(shù)知識的學(xué)習(xí)中，所以在教學(xué)較難的百分數(shù)解決實際問題時，蘇教版出現(xiàn)了數(shù)量關(guān)系式的教學(xué)。
例如，蘇教版六年級下冊第12頁例6：青云小學(xué)十月份用水440立方米，比九月份節(jié)約20%。九月份用水多少立方米？
教材在給出復(fù)式線段圖的同時，亦相應(yīng)給出數(shù)量關(guān)系式：九月份用水量－十月份比九月份節(jié)約的用水量＝十月份用水量。
一本好的教材有助于課堂教學(xué)和學(xué)生對知識的接受，而當(dāng)今教材不斷改革，小學(xué)教材版本多樣，因此本文將針對“小學(xué)數(shù)學(xué)分數(shù)乘除法”課程，對北師大版和人教版的教學(xué)內(nèi)容進行比較研究。
一、教材簡介及編排特點比較
北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材的研制歷時十余年，經(jīng)過4次修訂，最近的一次是于2001年通過全國中小學(xué)教材審定委員會審定，從2001年秋季期起在全國的17個省22個國家級實驗區(qū)試用。該套教材在深入研究國內(nèi)外數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)上，試圖通過教材的編寫，建立促進學(xué)生發(fā)展、反映未來社會需要、體現(xiàn)素質(zhì)教育精神的小學(xué)數(shù)學(xué)課程體系。
北師大版和人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材都是從我國實際出發(fā)，總結(jié)多套教材編寫的經(jīng)驗與特點，在此基礎(chǔ)上編寫而成，兩版有許多共同之處，如編寫理念、注重學(xué)生的生活經(jīng)驗、確立學(xué)生主體地位、注重學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變、加強解決問題能力的培養(yǎng)等。在分數(shù)乘除法的編排上，兩版教材均將分數(shù)乘法排在分數(shù)除法之前，層層遞進，盤旋上升，使學(xué)生易于理解和接受。
在結(jié)構(gòu)編排上，北師大版和人教版都以單元劃分，每一單元再分為不同的節(jié)。北師大版教材每一節(jié)包括“正文”、“涂一涂”、“算一算”、“試一試”、“做一做”、“討論”、“數(shù)學(xué)故事”、“聯(lián)系”等八個部分；人教版教材每一節(jié)包括“正文”、“做一做”、“算一算”、“練習(xí)”、“解決問題”等五個部分。正文一般會以例題的形式呈現(xiàn)。
二、分數(shù)乘法對比分析
1.總體結(jié)構(gòu)安排不同
北師大版教材的分數(shù)乘法安排在五年級下冊第一章，用時8課時；人教版教材的分數(shù)乘法安排在六年級上冊第二章，用時12課時。其中，北師大版將分數(shù)乘法細分為三部分：“分數(shù)與整數(shù)的乘法”、“整數(shù)與分數(shù)的乘法”、“分數(shù)與分數(shù)的乘法”；而人教版只包括了兩部分：“分數(shù)與整數(shù)的乘法”和“分數(shù)與分數(shù)的乘法”。
2.重視概念和算法相同
雖然兩版教材的分數(shù)乘法的總體結(jié)構(gòu)和課時安排不同，但他們都將概念理解和運算法則的深層含義作為教學(xué)中的重點目標(biāo)，進行了重點強調(diào)。比如說，在“分數(shù)與整數(shù)相乘”這一小節(jié)，兩版教材都引入“倍數(shù)”的概念，將乘法看作反復(fù)相加，從而加深學(xué)生對分數(shù)乘法意義的理解。在“分數(shù)與分數(shù)相乘”這一節(jié)，兩版教材均把分數(shù)乘法理解為“部分的部分”，在第一節(jié)的基礎(chǔ)上拓展分數(shù)乘法的意義，循序漸進，由淺入深。
3.概念引入和計算方法介紹不同
北師大版的教材借用裁紙的小案例引出分數(shù)乘法，并將其總體分為三部分。在分數(shù)與整數(shù)相乘這一部分，部分占總體的問題通過加法和乘法的方法得到解決，隨后配套幾道練習(xí)題，供學(xué)生摸索分數(shù)乘法的運算法則。最后，以兩個小孩討論的形式直接給出分數(shù)與整數(shù)的運算法則：“分子與整數(shù)相乘，分母不變”。在分數(shù)與分數(shù)相乘這一部分，北師大版的教材直接給出運算法則：“分子相乘，分母也相乘”。但該法則的表述易產(chǎn)生歧義，是“分子與分子相乘，分母與分母相乘”還是“分子與分子相乘，分子與分母相乘”呢？該處需要教師的講解來幫助學(xué)生理解。在解決問題部分，北師大版選用更生活化的問題作為應(yīng)用題，例如“衣服打折問題”、“學(xué)校鋪草坪的面積問題”、“部分零用錢用于捐款問題”、“水果分配問題”等，以實際生活為切入點，從學(xué)生熟悉的角度加深理解。
人教版的教材則采用線段累加的方式引入分數(shù)乘法，并將其總體分為兩部分。在分數(shù)乘法部分，提出概念之后，利用例題進行講解，以提問的方式引發(fā)學(xué)生思考并總結(jié)分數(shù)乘法的運算法則，但書中沒有給出具體的運算法則，需要教師歸納。例如，在“分數(shù)與分數(shù)的乘法”例3中給出“1/5×1/4=1/20”，書中直接給出其運算法則：“分數(shù)乘分數(shù)，應(yīng)該分子乘分子，分母乘分母”。如此搭配案例理解運算法則，更有利于學(xué)生直觀的思考和記憶。在解決問題部分，人教版教材偏向于生物和地理的問題，例如：世界范圍內(nèi)的樺樹種類、海象和海獅的壽命、人類心臟每分鐘跳動的次數(shù)、我國人均耕地面積等，以其他學(xué)科為知識背景，有助于拓展學(xué)生的知識面，但在某種程度上不易于小學(xué)生的接受和理解。
三、分數(shù)除法對比分析
1.總計結(jié)構(gòu)安排不同
北師大版教材的分數(shù)除法安排在五年級下冊第三章，用時9課時，與第一章分數(shù)乘法之間穿插了長方體的內(nèi)容。人教版教材的分數(shù)乘法安排在六年級上冊第三章，用時13課時。考慮到難度，兩版教材的分數(shù)除法均比分數(shù)乘法多一課時。
2.重視概念和算法不同
人教版的教材強調(diào)概念的理解，而北師大版的教材將計算方法放在首位。人教版教材采用法則加例題的方式，先明確指出“分數(shù)除法是分數(shù)乘法的逆運算”，隨后利用三個例題，給出倒數(shù)相乘法的計算方法。北師大版在計算方法中敘述得十分詳細，應(yīng)用了大量篇幅。例如，在分數(shù)除法（一）中講解了“一個數(shù)除以整數(shù)”的情況，在分數(shù)除法（二）中講解了“一個數(shù)除以分數(shù)”的情況，并針對具體的情況進行詳細說明，最后總結(jié)出運算法則：“除以一個不為零的數(shù)相當(dāng)于乘以這個數(shù)的倒數(shù)”。
3.概念引入和計算方法介紹不同
從除法的意義來說，分數(shù)除法與整數(shù)除法意義相同，都定義為乘法的逆運算。人教版教材先介紹了整數(shù)除法，采用分數(shù)與整數(shù)對比的方式，在整數(shù)除法的基礎(chǔ)上介紹分數(shù)除法。例如，首先，例1提出整數(shù)乘法的案例：“每盒水果糖重100g，3盒有多重？”以引入整數(shù)乘法，隨之將其改編為整數(shù)除法：“3盒水果糖重300g，每盒有多重？”聯(lián)系緊密，對比鮮明。然后，例2通過折紙實驗，在學(xué)生“折一折”、“涂一涂”的過程中發(fā)現(xiàn)、總結(jié)出分數(shù)除法的計算方法：“把一個數(shù)平均分成幾份，就是求這個數(shù)的幾分之一”。而這部分的內(nèi)容，北師大版跳過了整數(shù)除法，直接引入分數(shù)除法，不僅沒有揭示出分數(shù)除法和整數(shù)除法的意義相同，而且在理解分數(shù)除法上給學(xué)生造成了很大的困難。在實際教學(xué)過程中，需要教師補充整數(shù)除法的案例引入，引導(dǎo)學(xué)生理解。
四、總結(jié)
兩版教材的小學(xué)數(shù)學(xué)分數(shù)乘除法部分均滿足國家的教材編寫要求，在編排方式、結(jié)構(gòu)安排、課程內(nèi)容等方面既有相同之處，也有不同之處，各有優(yōu)劣。北師大版教材強調(diào)理解計算法則和運用簡便算法，很好地結(jié)合了純理論問題和實際應(yīng)用，明確地給出了分數(shù)與整數(shù)、分數(shù)與分數(shù)的運算法則，以及兩種約分方法。北師大版注重基礎(chǔ)知識的鞏固，以步驟單一的簡單計算題為主，生活化的案例豐富且生動，盡可能讓學(xué)生在生活中感受到分數(shù)的運用，呈現(xiàn)分數(shù)在現(xiàn)實生活中的使用價值。在版面設(shè)計上北師大版細致生動、素材豐富，穿插了大量的圖片，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣。
人教版教材更注重對教材的理解，在課時安排上分數(shù)乘法和分數(shù)除法兩部分均比北師大版多4個課時。人教版內(nèi)容編排清晰，講解由淺入深，多習(xí)題，且習(xí)題較北師大版更難，步驟多，但并未直接給出運算法則。實際應(yīng)用問題的結(jié)合不像北師大版極富生活化，而是與地理和生物知識相關(guān)的案例。人教版注重新舊知識的連接，注重對學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，注重數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)意義，而非僅僅掌握習(xí)題計算。
一、訓(xùn)練是基礎(chǔ)，尋求數(shù)學(xué)能力的形成
訓(xùn)練是練習(xí)課的主要特點，也是達成練習(xí)課教學(xué)目的的重要手段。訓(xùn)練的目的是為了鞏固和深化學(xué)生對問題的已有認識，是為了提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。教學(xué)中，應(yīng)該明確練習(xí)的目的、遴選練習(xí)的內(nèi)容、把握練習(xí)的方法，使練習(xí)教學(xué)成為促進學(xué)生數(shù)學(xué)能力形成和發(fā)展的推手。
1.練好基礎(chǔ)，重視能力的培養(yǎng)
對“基礎(chǔ)”的重視歷來是數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)。通常情況下，不論是“雙基”的落實，還是“四基”的關(guān)注，都是學(xué)生數(shù)學(xué)能力的直接體現(xiàn)，同時也都需要通過練習(xí)的形式和過程方能真正達成，所以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力是練習(xí)課首要的教學(xué)目標(biāo)。例如，分數(shù)乘法意義的教學(xué)，是學(xué)生判斷和解決分數(shù)問題的基礎(chǔ)。其內(nèi)容包括兩部分：分數(shù)乘整數(shù)的意義和分數(shù)乘分數(shù)的意義，即求幾個相同分數(shù)的和是多少、一個分數(shù)的幾倍是多少和一個分數(shù)的幾分之幾都可以用乘法計算。只有夯實這一基礎(chǔ)，才能為后面的問題解決減小難度和提供支撐。比如針對分數(shù)乘整數(shù)的意義，這樣的對比練習(xí)不可或缺：（1）只列式不計算：①7個升是多少升？②3公頃的是多少公頃？③1分鐘的是多少秒？（2）列式計算：①小華每天喝升牛奶，他一星期喝多少升牛奶？②一塊菜地420平方米，其中種青菜，青菜占地多少平方米？意義的教學(xué)需要為解決問題服務(wù)。顯而易見，第（1）組問題，通過列式讓學(xué)生進一步明確求幾個分數(shù)的和是多少與一個數(shù)的幾分之幾是多少都可以用乘法計算。解決第（2）組問題時，需要學(xué)生說出列式的依據(jù)。這樣練習(xí)，由“文字”到“問題”，一脈相承，將意義和簡單問題進行必要的比照，既幫助學(xué)生強化了對分數(shù)乘法的意義的認識，又有助于學(xué)生提高分析問題的能力。
2.練出變化，關(guān)注思維的歷練
數(shù)學(xué)是思維的體操。練習(xí)課不是習(xí)題的機械練習(xí)，不是問題的枯燥重復(fù)，而是認識的提高和思維的歷練。與新授課相似，練習(xí)課也注重問題呈現(xiàn)方式的變化和內(nèi)容設(shè)計的多樣，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維在豐富的練習(xí)中得到應(yīng)有的鍛煉和發(fā)展。不然，為練習(xí)而練習(xí)，教學(xué)一方面容易停留在淺顯的層面，另一方面也無益于學(xué)生良好學(xué)習(xí)體驗的獲得。例如，關(guān)于用圖示表示分數(shù)乘法算式的意義，教材中編排了這樣的習(xí)題（圖1）。
二、習(xí)得是核心，尋求數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升
訓(xùn)練僅是練習(xí)課的常用手段，但絕不是練習(xí)課的最終目標(biāo)。練習(xí)課同任何一節(jié)數(shù)學(xué)課一樣，都是為了學(xué)生知識的“習(xí)得” 和能力的發(fā)展。讓學(xué)生在練習(xí)中獲得更多樣的認識和發(fā)現(xiàn)、更深刻的體驗和感受以及豐富的知識和方法，是練習(xí)課教學(xué)的核心要務(wù)和至高目標(biāo)。練習(xí)課真正的教學(xué)價值在于學(xué)生知識體系的系統(tǒng)建構(gòu)、經(jīng)驗認識的豐富升華和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的切實提升。
1.習(xí)得聯(lián)系，體現(xiàn)結(jié)構(gòu)的建立
知識之間是有聯(lián)系的，這些聯(lián)系是知識結(jié)構(gòu)的組成。練習(xí)教學(xué)中，很多問題都存在一定的聯(lián)系。因此練習(xí)教學(xué)要把握教學(xué)契機，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識之間的前后聯(lián)系，自主建構(gòu)主體的知識結(jié)構(gòu)和體系，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的意識和能力。拿“分數(shù)乘法”的練習(xí)來說，由于這部分內(nèi)容總體上說，學(xué)生需要掌握的知識大致有三c：意義、計算和應(yīng)用，而且這三個知識點是存有內(nèi)在關(guān)聯(lián)的，練習(xí)時呈現(xiàn)給學(xué)生的習(xí)題就不能單一更不能照本宣科，而需要系統(tǒng)呈現(xiàn)，需要凸顯內(nèi)在的關(guān)聯(lián)，問題也要有明顯的層次。仍以為例，練習(xí)開始時要有說算式意義的練習(xí)，接著要有用圖示來表示意義的環(huán)節(jié)，然后要有諸如“米的是多少？”等問題，最后還要在簡單實際問題的應(yīng)用中予以鞏固。這樣練習(xí)，讓學(xué)生經(jīng)歷了從算式到圖示、從直觀到抽象和從意義到問題的過程，有利于學(xué)生對分數(shù)乘分數(shù)這一知識結(jié)構(gòu)進行自主建構(gòu)，也有利于學(xué)生分析和解決問題能力的培養(yǎng)和提高。
2.習(xí)得方法，展現(xiàn)素養(yǎng)的提升
關(guān)鍵詞：解決問題；策略；小學(xué)生
解決問題的策略是在解決問題過程中逐步形成和積累的，它要求解題者具有相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識和豐富的解題經(jīng)驗。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》明確提出，學(xué)生面對實際問題時，要能夠主動嘗試著從數(shù)學(xué)的角度運用所學(xué)知識和方法尋求解決問題的策略。那么，小學(xué)生在解決問題的過程中有哪些常用的策略呢？筆者結(jié)合《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書》和自己的教學(xué)實踐小結(jié)如下，以饗讀者。
一、畫圖
畫圖是解決問題時經(jīng)常使用的方法，這種方法能直觀地顯示題意，有條理地表示數(shù)量，便于發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的關(guān)系，從而形成解題的思路。如四年級下冊第十一單元《解決問題的策略》例題：梅山小學(xué)有一塊長方形花圃，長8米。在修建校園時，花圃的長增加了3米，這樣花圃的面積就增加了18平方米。原來花圃的面積是多少平方米？學(xué)生用畫直觀示意圖、線段圖等方法整理相關(guān)信息，并借助所畫的圖分析實際問題中的數(shù)量關(guān)系，確定解決問題的正確思路。
二、枚舉
它通過逐個羅列事情發(fā)生的各種可能，并用某種形式進行整理，從而得到問題的答案。因生活中有許多實際問題，列式計算往往比較困難，而聯(lián)系生活經(jīng)驗，用枚舉的方法能比較容易地得到解決。如五年級上冊第六單元《解決問題的策略》例1：王大叔用18根1米長的柵欄圍成一個長方形羊圈，有多少種不同的圍法？學(xué)生在解決問題的過程中，通過不遺漏、不重復(fù)的列舉找到符合要求的所有答案。
三、倒推
即“倒過去想”，就是從事情的結(jié)果倒過去想它在開始的時候是怎樣的。如五年級下冊第九單元《解決問題的策略》例1：甲乙兩杯果汁共400毫升，甲杯倒入乙杯40毫升，現(xiàn)在兩杯果汁同樣多，原來兩杯果汁各有多少毫升？為了能更充分地利用條件，更好地解決問題，就可以運用倒推策略。
四、替換
“替”即替代，“換”則更換，它是用一種相等的數(shù)值、數(shù)量、關(guān)系、方法、思路去替代更換另外一種相等的數(shù)值、數(shù)量、關(guān)系、方法、思路，使復(fù)雜的問題變得簡單。如六年級上冊第七單元《解決問題的策略》例1：小明把720毫升果汁倒入6個小杯和1個大杯，正好都倒?jié)M。小杯的容量是大杯的1/3。小杯和大杯的容量各是多少毫升？學(xué)生通過文字敘述能讀懂題意，但不會利用其中的數(shù)量關(guān)系思考。例題畫出6個小杯和1個大杯，學(xué)生就能在圖畫里看到，如果把1個大杯換成3個小杯，就相當(dāng)于果汁倒入了9個小杯；如果把6個小杯換成2個大杯，就相當(dāng)于果汁倒入了3個大杯。這就是利用“小杯的容量是大杯的1/3”這個數(shù)量關(guān)系進行的替換活動，把較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單的問題。
五、轉(zhuǎn)化
轉(zhuǎn)化是解決問題時經(jīng)常采用的方法，能把較復(fù)雜的問題變成較簡單的問題，把新穎的問題變成已經(jīng)解決的問題。如六年級下冊第六單元《解決問題的策略》例2：學(xué)校美術(shù)組有35人，其中男生人數(shù)是女生的2/3。女生有多少人？如果把“男生人數(shù)是女生的2/3”轉(zhuǎn)化成“女生人數(shù)是美術(shù)組總?cè)藬?shù)的幾分之幾”，就可以直接用乘法計算，讓學(xué)生在“已知美術(shù)組的人數(shù)，求女生人數(shù)”這個問題情境中體會這樣轉(zhuǎn)化是解決問題的策略。同樣，推導(dǎo)三角形面積公式時，把三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形，推導(dǎo)圓面積公式時，把圓轉(zhuǎn)化成長方形。計算小數(shù)乘法時，把小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法，計算分數(shù)除法時，把分數(shù)除法轉(zhuǎn)化成分數(shù)乘法。
1.缺少堅實基礎(chǔ)
（百）分數(shù)的意義、運算意義都是分數(shù)解決問題教學(xué)中的基礎(chǔ)，是學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系中基礎(chǔ)的基礎(chǔ)。從一些練習(xí)題中明顯看出，有近1/4的學(xué)生不能正確理解和掌握分數(shù)乘法的運算意義。類似“把5米長的繩子平均分成8段，每段長（ ），每段占全長的（ ），每段是5米的（ ）”這樣的題目，學(xué)生常做常錯，其根本原因是學(xué)生對（百）分數(shù)意義、分數(shù)乘法的意義沒有完全掌握，又怎么能應(yīng)用它去解決實際問題呢？“冰凍三尺，非一日之寒”，意義教學(xué)的不落實正是分數(shù)解決問題教學(xué)的“病根”所在。
2.數(shù)量關(guān)系模糊
重視數(shù)量關(guān)系訓(xùn)練是傳統(tǒng)應(yīng)用題教學(xué)的重要經(jīng)驗之一，而新課程改革后課堂教學(xué)重視創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實問題情境，課程標(biāo)準(zhǔn)中不再明確要求學(xué)生掌握問題中的基本數(shù)量關(guān)系，弱化了數(shù)量關(guān)系的教學(xué)。教師也明顯感覺到由于數(shù)量關(guān)系的弱化，越到高年級，學(xué)生兩極分化現(xiàn)象越明顯。如學(xué)生對于某題中的數(shù)量關(guān)系“3/10克的鈣質(zhì)=一個成年人一天所需鈣質(zhì)×3/8”并不理解，僅僅依靠對題中某些詞語的臆斷而確定計算方法，很容易受到題征詞、數(shù)據(jù)特點的干擾。這雖是書中的原題，零分率卻達到了驚人的61.21%。再如，類似“有8/9噸的大豆，能榨出1/6千克的豆油。問每千克大豆能榨出多少千克的豆油？每千克豆油需要多少千克的大豆才能榨出來”這樣的題目，很多學(xué)生會手足無措、盲目嘗試。假如將題中的分數(shù)換成整數(shù)，又有許多學(xué)生會解題了。這些都說明學(xué)生腦中沒有清晰的數(shù)量關(guān)系，不能在獲取信息后根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系正確選擇解題方法，往往根據(jù)已有的知識和生活經(jīng)驗解題。
二、分數(shù)解決問題的教學(xué)建議
針對分數(shù)解決問題教學(xué)中存在的問題，筆者結(jié)合自身的教學(xué)經(jīng)驗，提出相應(yīng)的教學(xué)建議與諸位商榷，希望能引起共鳴。
1.關(guān)注“前生”——多一些未雨綢繆，少一些亡羊補牢
這些“意義”教學(xué)的課，看似簡單，甚至不用教，學(xué)生“都會做”，因此往往得不到教師應(yīng)有的重視。但恰恰是這些容易被忽略的課，卻是分數(shù)解決問題教學(xué)的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。所以，解決問題教學(xué)的成敗在一定程度上取決于“種子課”的教學(xué)。只有在“種子課”的教學(xué)上未雨綢繆，才能避免分數(shù)解決問題教學(xué)時的亡羊補牢。
（1）結(jié)合情境，加深對（百）分數(shù)意義的理解
“分數(shù)的意義”“百分數(shù)的意義”教學(xué)，讓學(xué)生記住概念是比較簡單的，但真正理解其意義卻不是易事。如教學(xué)“分數(shù)的意義”一課，即使學(xué)生能記住“把單位1平均分成若干份，這樣的一份或幾份都可以用分數(shù)來表示”這句話，字面意思也理解了，但也未必能理解分數(shù)在具體情境中所表示的意義。因此，教師應(yīng)多創(chuàng)設(shè)情境，設(shè)計多樣化的練習(xí)，結(jié)合實際生活、具體事例、具體語境，加深學(xué)生對分數(shù)的意義、單位“1”的理解。不妨設(shè)計如下的練習(xí)：請說出下列各題中（百）分數(shù)表示的意義，并填表。
①一條路，已經(jīng)修了3/10米，距離中點還有800米。這條路長多少米？
②保險公司有女職工120人，其中男職工是女職工人數(shù)的1/2，這個保險公司有男職工多少人？
③某工程隊，第一天修600米，第二天修全長的1/5，第三天修了3/5米。
④一種油菜子的出油率為35%。
⑤學(xué)校圖書室原有圖書1400冊，今年圖書冊數(shù)增加了12%。現(xiàn)在圖書室有多少冊圖書？
⑥爸爸要給小麥?zhǔn)┺r(nóng)藥，按藥液上的說明，藥液必須稀釋成5%的藥水后，才能使用。
提供的信息可以是完整的問題，也可以是解決問題所需要的條件，但并不是讓學(xué)生去解決這些問題，而是讓學(xué)生提前接觸多余條件、缺少條件、缺少問題的信息，初步感受相關(guān)條件、無關(guān)條件，增強學(xué)生的讀題、辨題能力，深入理解分數(shù)、百分數(shù)、比在生活情境、具體語境中所表示的具體意義。
（2）動手操作，經(jīng)歷從情境抽象出運算意義的過程
掌握分數(shù)乘除法的計算方法并不困難，如分數(shù)乘分數(shù)就是分子乘分子、分母乘分母，絕大部分學(xué)生都會計算。但缺少了從具體情境中抽象出運算意義的經(jīng)歷，學(xué)生是無法真正理解運算意義的，知其然卻未必知其所以然。因此，“分數(shù)乘除法意義”的教學(xué)應(yīng)當(dāng)結(jié)合具體情境，讓學(xué)生進行必要的操作。如在教學(xué)“分數(shù)乘法的意義”時，教師出示以下練習(xí)：一輛汽車從甲地開往乙地，一小時能行駛?cè)痰?/5，5/6小時能行駛?cè)痰膸追种畮祝浚梢岳脤W(xué)具袋中提供的學(xué)習(xí)材料，邊操作邊說算理）
（1）借助情境，積累基本數(shù)量關(guān)系
不管是畫線段圖、列數(shù)量關(guān)系式，還是找對應(yīng)關(guān)系，都是將生活情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題進而理解數(shù)量關(guān)系的手段，目的都是結(jié)合情境，借助各種方法理解信息中分數(shù)的意義和數(shù)量關(guān)系，再從中抽象出數(shù)量關(guān)系并應(yīng)用數(shù)量關(guān)系解決實際問題。
教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生樹立積累基本數(shù)量關(guān)系的意識，培養(yǎng)他們從題中抽象出數(shù)量關(guān)系并自覺地應(yīng)用數(shù)量關(guān)系進行反思和檢驗的習(xí)慣，使學(xué)生逐漸積累基本數(shù)量關(guān)系，建構(gòu)解題模型，成為自己認知結(jié)構(gòu)中的一部分，進而掌握問題的分析思路、解題方法。
（2）整理歸納，簡化基本數(shù)量關(guān)系
這樣就溝通了“求一個數(shù)的幾倍”和“求一個數(shù)的幾分之幾”之間的聯(lián)系。分數(shù)、整數(shù)、小數(shù)、比等只是“形”上的不同，其“質(zhì)”都是相同的，數(shù)量關(guān)系是相通的。這樣就使學(xué)生感到新知不新，增強學(xué)習(xí)的信心。
一、提前鋪路，打好基礎(chǔ)
在教學(xué)分數(shù)的意義時，學(xué)生看圖后做練習(xí)：____
是_____的。
梨子
蘋果
若問梨子是蘋果的幾分之幾，則蘋果為單位“1”。把單位“1”平均分成4份，每份是，梨子有這樣的3份，所以梨子是蘋果的。若問蘋果是梨子的幾分之幾，則梨子為單位“1”，把單位“1”平均分成3份，每份是，蘋果有這樣的4份，所以蘋果是梨子的。
由此可以知道，所謂單位“1”，就是比較的標(biāo)準(zhǔn)。問甲是乙的幾分之幾，則乙是比較的標(biāo)準(zhǔn)；問乙是甲的幾分之幾，則甲是比較的標(biāo)準(zhǔn)。比較的標(biāo)準(zhǔn)不同，得到的分數(shù)也不同。這樣，學(xué)生既學(xué)會了怎樣確定單位“1”，也理解了單位“1”的意義，為用分數(shù)除法解決問題的學(xué)習(xí)打好了基礎(chǔ)。
二、重點突破“已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)”的問題
“已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)”是用分數(shù)除法解決問題的基礎(chǔ)題型，學(xué)生必須透徹理解，熟練掌握。而這個問題又與分數(shù)乘法中“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”的問題密切相關(guān)。為此我設(shè)計了以下練習(xí)題：
1.汽車每小時行駛120公里，照這樣的速度，3小時行駛多少公里？小時行駛多少公里？
分析：根據(jù)“路程=速度×?xí)r間”的數(shù)量關(guān)系，第一問的算式是：120×3，其意義是：求120的3倍是多少。
第二問的數(shù)量關(guān)系與上題相同，算式應(yīng)該是：120×。根據(jù)這個實際問題，這個算式的意義是求120的是多少。由此還可知道，這個分數(shù)乘法的計算方法是 于是得出結(jié)論：求一個數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法。
這樣從實際問題著手并與整數(shù)作類比，學(xué)生能很好地理解整數(shù)乘分數(shù)的意義。這樣安排符合兒童的數(shù)學(xué)現(xiàn)實和認知能力。
2.什么數(shù)的是27？即（ ）×=27。
學(xué)生可用x代替（ ）列方程，利用因數(shù)與積的關(guān)系得：x=27。由此得出結(jié)論：已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)，用除法。這樣，學(xué)生就弄清了其中的算理。
三、精心設(shè)計，合作學(xué)習(xí)
在全面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，再提供練習(xí)幫助學(xué)生加深理解，熟練算法。
1.一根新粉筆的是50毫米， ？
學(xué)生很自然地提問：這根新粉筆長多少毫米？
學(xué)生首先畫線段圖。先獨立畫，再小組交流。之后展示各組的圖，討論、修改后得到線段圖（如右），再根據(jù)線段圖解答。學(xué)生先獨立思考，四人小組討論后匯報。
這是一道基本題。學(xué)生通過畫線段圖理解了數(shù)量關(guān)系，為順利解答打下良好的基礎(chǔ)。
2.看線段圖（如右）編題。
這個問題是上一問題的逆，但是難度更大。教師一般只讓學(xué)生利用線段圖解題，很少讓學(xué)生根據(jù)線段圖編題，但這種練習(xí)能讓學(xué)生更透徹地理解數(shù)量關(guān)系。
四、分層練習(xí)，拓展提高
在掌握基礎(chǔ)題型的解法后，再進行分層次的提高練習(xí)。
1.修一條路，已經(jīng)修了600米，正好是未修部分的，這條路全長多少米？
這道題的不同之處是，已修部分不是整條路的，而是未修部分的。學(xué)生不能照搬前面的解法，要根據(jù)具體情況確定單位“1”。
2.一本書，小英已經(jīng)看了全書的，還剩36頁沒有看。這本書有多少頁？
這道題需要先求出36頁占全書的幾分之幾，再用除法求全書的頁數(shù)。
3.商店運來牛肉罐頭1000箱，還運來一些水果罐頭。已知牛肉罐頭比水果罐頭多，問：運來水果罐頭多少箱？
這道題是牛肉罐頭與水果罐頭相比，所以水果罐頭為單位“1”，牛肉罐頭則為。于是問題變成：已知水果罐頭的是1000箱，求水果罐頭是多少箱。從而歸結(jié)為基本問題“已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)”。
4.在通常條件下，冰的質(zhì)量比體積相等的水的質(zhì)量少，現(xiàn)有一塊冰重9千克，一桶水的體積和這塊冰的體積相等，這桶水有多重？
這道題的數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，但是分析的方法是相同的。因為是冰與水比，所以水的質(zhì)量為單位“1”，則冰的質(zhì)量為。于是問題變成：已知水的質(zhì)量的是9千克，求水的質(zhì)量。這又歸結(jié)為分數(shù)除法的基本問題了。
蘇教版六年級（上冊）數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)中指出：“初步理解分數(shù)乘、除法的意義，掌握分數(shù)乘、除法的計算方法，能應(yīng)用分數(shù)乘法和加、減法則解決實際問題，能夠合乎邏輯地進行思考，并能清晰地表達自己的思考過程，進一步培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)。感受數(shù)學(xué)的價值，感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，不斷增強學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的自覺性。”分數(shù)應(yīng)用題在整個六年級上學(xué)期中，占數(shù)學(xué)內(nèi)容的36.9，是教材中的數(shù)學(xué)難點之一。之所以難，原因大致有三條：一是這些問題中的數(shù)量關(guān)系相對抽象，而且與學(xué)生已有的認知經(jīng)驗差異較大；二是對解決問題方法的要求過于機械；三是內(nèi)容較多，難點過于集中。我認為，從如下幾方面入手一定能在教學(xué)中解決這一難點。
一. 區(qū)別清楚什么是“幾分之幾”，什么是具體的量
分數(shù)既能表示兩個數(shù)之間的關(guān)系（幾分之幾），又能表示具體的量。在教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)：分數(shù)后面不帶單位名稱的是表示兩個數(shù)之間的關(guān)系，即“幾分之幾”；分數(shù)后面有單位名稱的表示具體的量。如：練習(xí)十第6題，（1）食堂有3/4噸煤，用去一部份后還剩2/5，還剩多少噸？（2）食堂有3/4噸煤，用去2/5噸，還剩多少噸？（1）中的“2/5”沒有單位名稱，是指還剩的煤是食堂原有煤的2/5，求還剩多少噸是用“3/4×2/5”。（2）中的2/5后面有單位名稱“噸”，是指用去的具體的量，求還剩多少噸，是用“3/4-2/5”。學(xué)生分清楚了什么是“幾分之幾”，什么是具體的量對解決分數(shù)應(yīng)用題有很大的幫助。
二.找準(zhǔn)單位“1”的量，是解決分數(shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵
解決這一關(guān)鍵，我認為要做好以下三點。
1. 抓住應(yīng)用題中帶有“幾分之幾”的這句話，只看“幾分之幾”前面的內(nèi)容，不看“幾分之幾”后面。
2. 在帶有幾分之幾的這句話中，找出“比”、“是”、“占”、“相當(dāng)于”這些詞，這些詞的后面所表述的量是單位“1”的量，“的”的前面是單位“1”的量。
如果沒有這些判斷詞，就要追問一下，是誰的幾分之幾？這些單位“1”的量就自然而然地顯示出來了。
3. 單位“1”的量找到了，解決分數(shù)應(yīng)用題就水到渠成了。如果單位“1”的量是已知的，直接用乘法計算，即：單位“1”的量×幾分之幾=與幾分之幾相對應(yīng)的量。如果單位“1”的量是未知的，就用方程解，設(shè)單位“1”的量為x，關(guān)系式同上。如：練習(xí)十二第7題，（1）冬冬家買來一袋面粉，重25千克。吃了3/5，吃了多少千克？（2）冬冬家買來一袋面粉，吃了15千克，正好是這袋面粉的3/5，這袋面粉重多少千克？（1）中“吃了3/5”，追問一下，吃了誰的3/5？學(xué)生會說，是吃了一袋面粉的3/5，這樣，學(xué)生就抓住判斷詞“的”字，找出了一袋面粉的千克數(shù)是單位“1”的量，是已知的，就捂出了解題方法，一袋面粉的千克數(shù)×3/5=吃了的千克數(shù)。（2）中“正好是這袋面粉的3/5”，同樣學(xué)生就找到了這袋面粉的千克數(shù)是單位“1”的量，是未知的，必須用方程解。同樣是一袋面粉的千克十×3/5=吃了的千克數(shù)。設(shè)這袋面粉的重為x千克，x×3/5=15，就求到了這袋面粉的千克數(shù)。
三.在理解分數(shù)意義的基礎(chǔ)之上進行再加工
如“男生人數(shù)是女生的2/3”是把誰平均分成了3份，誰占了其中的2份，求出每份數(shù)是多少，這樣問題就迎刃而解了。一方面有利于學(xué)生聯(lián)系分數(shù)乘、除法的運算意義理解相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，并在解決問題的過程中逐步深化對分數(shù)乘、除法運算意義的理解；另一方面，也有利于學(xué)生把在此前積累的分析問題、解決問題的經(jīng)驗進行有效遷移，從而使解決恩體的思路更加順暢。
四.加強辨析，提高分析理解能力
運用以上三點做法，加強對不同類型題目的辨析，使學(xué)生不斷提高分析理解能力。如：
1.男生有24人，是女生的2/3，女生有多少人？
2.男生有24人，女生人數(shù)是男生的2/3，女生有多少人？
3.男生有24人，比女生人數(shù)多1/3，女生有多少人？
一、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法
思想數(shù)形結(jié)合思想就是小學(xué)數(shù)學(xué)中的一個重要思想。數(shù)與形是數(shù)學(xué)教學(xué)研究對象的兩個側(cè)面，把數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來去分析問題、解決問題，就是數(shù)形結(jié)合思想。“數(shù)形結(jié)合”可以借助簡單的圖形、符號和文字所作的示意圖，促進學(xué)生形象思維和抽象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展，溝通數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，從復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系中凸顯最本質(zhì)的特征。它是小學(xué)數(shù)學(xué)教材編排的重要原則，也是小學(xué)數(shù)學(xué)教材的一個重要特點，更是解決問題時常用的方法。華羅庚先生說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休。”下面就談一談我在教學(xué)中“數(shù)形結(jié)合思想方法”的滲透與應(yīng)用。
1、運用圖形，理解概念。
在講乘法的意義“求幾個相同加數(shù)的和用乘法計算”時，學(xué)生剛剛接觸乘法，怎樣讓學(xué)生更好更快地理解“幾個相同加數(shù)的和”呢?我就借助于直觀圖形，第一個盤子里5個蘋果，第二個盤子里5個蘋果……一共出示了四個盤子。在此基礎(chǔ)上學(xué)生很快理解了乘法的意義，并體會到乘法比加法更簡便。我又出示了一組圖形：一個盤子里6個蘋果，其他三個盤子里5個蘋果，問學(xué)生：能用乘法表示嗎?為什么?在借助圖形對比的基礎(chǔ)上讓學(xué)生理解了什么是“幾個相同加數(shù)”，從而更好地理解了乘法的意義。
2、借助線段圖解決問題。
線段圖是解決問題的有效手段，我在教學(xué)中注重讓學(xué)生自己借助線段圖這個“形”來解決數(shù)學(xué)問題。例如：三年級植樹54棵，比四年級少15棵，四年級植樹多少棵?這道題我先讓學(xué)生自己做，學(xué)生有的用加法，有的用減法，學(xué)生爭論不休，各持己見，這時，我讓學(xué)生畫一畫線段圖，二年級的學(xué)生有的還不會畫，我就在一旁指導(dǎo)，培養(yǎng)他們畫圖的能力，讓他們自己得出結(jié)論，應(yīng)該用加法，因為四年級植樹比三年級多。
二、符號化數(shù)學(xué)思想方法
數(shù)學(xué)的一個突出特點是符號加邏輯。而符號化思想是數(shù)學(xué)信息的載體，能大大簡化運算或推理過程，加快思維的速度，提高學(xué)習(xí)效率。因此在教學(xué)中，要盡量把實際問題用數(shù)學(xué)符號來表達，還要充分把握每個數(shù)學(xué)符號所蘊含的豐富內(nèi)涵和實際意義。例如《現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)》中關(guān)于“1”的認識，先讓學(xué)生從1架飛機、1棵樹、1個女孩等具體事物中，概括出數(shù)字符號“1”，從具體的量到抽象的數(shù)。然后再從抽象的數(shù)學(xué)符號“1”到具體量，讓學(xué)生列舉表示“1”的具體事物，1把椅、1頂帽子、1件衣服………。
又如，教學(xué)“小于和大于”一課，從左右相等的積木的左端拿一個積木到右端。這時右邊的積木塊數(shù)增多，“＝”右邊開口張大；左邊積木數(shù)減少，“＝”左邊的開口縮小，邊說邊用左手的食指、中指擺成一個小于號，使學(xué)生認識小于號。再用同樣的方法認識“大于號”。直觀形象地引導(dǎo)學(xué)生掌握表示大小關(guān)第的符號，從中滲透符號化數(shù)學(xué)思想方法。
三、對應(yīng)思想
對應(yīng)是人們對兩個集合因素之間的聯(lián)系的一種思想方法。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透對應(yīng)思想，有助于提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。在教學(xué)“求平均數(shù)”應(yīng)用陋時，我注意到這類題雖然有“總數(shù)量÷總份數(shù)=平均數(shù)”這一關(guān)系式可循，但總有一部份學(xué)生對這三者的關(guān)系不大理解，往往會出現(xiàn)用甲的總數(shù)量去除以乙的總份數(shù)這樣的情況。因此，我要求學(xué)生一定要弄清楚某數(shù)與某數(shù)在性質(zhì)、位置上是相當(dāng)?shù)模簿褪亲屗麄兌嘤谩皩?yīng)”的觀點宋分析問題。例如，有一道題的內(nèi)容是：“有兩片水稻田，第一片4.5畝，每畝收稻谷400千克，第二片5畝，每畝收稻谷410千克，這兩塊地平均每畝收稻谷多少千克?”這時學(xué)生在列式時會出(400+410)÷2的情況，他們錯誤地認為只要把兩塊地的畝產(chǎn)量平均分成兩份就可以了。這時我告訴他們要求兩塊地的平均畝產(chǎn)量，就必須用兩塊地的總產(chǎn)量除以兩塊地的總畝數(shù)，即：
兩塊地總產(chǎn)量÷兩塊地總畝數(shù)=兩塊地的平均畝產(chǎn)量。學(xué)生很快就掌握了方法，解起類似的問題來就得心應(yīng)手了
四、化歸思想方法
一、巧妙假設(shè)，形象記憶
“比的意義”這一內(nèi)容，掌握比、除法、分數(shù)三者的關(guān)系是本節(jié)的難點，教材給出的關(guān)系如下：比的前項∶比的后項=被除數(shù)÷除數(shù)=■，即：比的前項相當(dāng)于被除數(shù)或分子，比的后項相當(dāng)于除數(shù)或分母。這樣講解，學(xué)生在課堂上能記住，但獨立做題時不是把比的前項當(dāng)成了分母，就是把除數(shù)當(dāng)做了分子。就算老師反復(fù)講解，學(xué)生依舊如是。最后，筆者聯(lián)系實際，想到了這樣一個事例：夏天去飯店吃東西時，總想坐到二樓有空調(diào)和電視的包間，而飯店生意很好，要趕早才能坐到二樓的包間，不然就被人占了。這就和“比、除法、分數(shù)”三者之間的關(guān)系聯(lián)系上了，“比的前項”先來，先來的上二樓，變成了“分子”；“比的后項”起晚了，二樓坐滿了，只好去一樓大廳，于是變成了“分母”。“被除數(shù)”跑在前面，上了二樓，變成了“分子”；除數(shù)跑得慢，二樓沒位置了，只好坐在一樓大廳里了，成了“分母”。
這樣，學(xué)生仿佛讀到了一則意味深長的寓言故事，輕松地將知識熟記在心，在今后的習(xí)題中再沒出現(xiàn)混淆三者關(guān)系的情況。
二、精簡語言，干練操作
在學(xué)習(xí)乘法運算定律時，練得最多、考得最多的是乘法分配律，而學(xué)生們最不能理解的也是乘法分配律，即：兩個數(shù)的和（或差）與一個數(shù)相乘，等于把這兩個數(shù)分別同這個數(shù)相乘，再把兩個積相加（或相減），用字母表示為：（a±b）×c=a×c±b×c。如果直接記憶，既拗口又枯燥無味。學(xué)生往往花了精力，也很難運用到實際計算中，即使用到了，也經(jīng)常出錯。經(jīng)過多次比較，我找到了另外一種表述的方法，幫助學(xué)生快速準(zhǔn)確地記憶，即在遇到形如a×c±b×c的式子要進行簡算時，只要記住：不同的數(shù)字（或字母）寫在括號的里面，相同的數(shù)字（或字母）寫在括號的外面，運算符號跟著數(shù)字（或字母）跑。
這樣，學(xué)生遇到類似的題目時，就可以準(zhǔn)確快速地運用乘法分配律。當(dāng)學(xué)生能靈活運用時，教師再幫助學(xué)生分析這些內(nèi)容是怎樣的關(guān)系，為什么有這樣的關(guān)系，讓學(xué)生知其然，更知其所以然。
三、巧用運算符號，輕松解決問題
解決問題是小學(xué)數(shù)學(xué)的“雪山”，學(xué)生難逾越又非過不可。教師往往按自己的理解直接列出關(guān)系式，學(xué)生看得都如墜五里云霧。比如，在“分數(shù)除法解決問題”這一節(jié)中，教師一般要學(xué)生記住“求單位‘1’，用除法”這一計算規(guī)則。但究竟誰是單位“1”，除法式子怎么列便說不清了。這時，可以讓學(xué)生先找到關(guān)鍵句，再將關(guān)鍵句中的關(guān)鍵字用運算符號代替，順利列出關(guān)系式，從而解決問題。
例 學(xué)校有科普讀物320本，占全部圖書的■，圖書館共有多少本書？
①找關(guān)鍵句
學(xué)校有科普讀物320本，占全部圖書的■，即：科普讀物占全部圖書的■。
②關(guān)鍵字用運算符號代替：“占”“=”，“的”“×”
即：科普讀物=全部圖書×■。
③代入數(shù)字，列式
即：320=（ ）×■320÷■=（ ），括號內(nèi)為題中所求。
在此基礎(chǔ)上向?qū)W生解說：應(yīng)用題中“占”“是”“比”“相當(dāng)于”“正好是”……都可以用“=”代替，而“=”后面就是單位“1”，所以說“求單位‘1’，用除法”。
一、同學(xué)段計算方法、法則的整體性
小學(xué)階段有很多方法法則是相通的，比如：除法的商不變規(guī)律、分數(shù)的基本性質(zhì)、比的基本性質(zhì)。這三者出現(xiàn)在不同年級，但本質(zhì)是一樣的，相互間的聯(lián)系非常緊密，在學(xué)習(xí)分數(shù)的基本性質(zhì)時可借助除法的商不變規(guī)律引入，同樣學(xué)習(xí)比的基本性質(zhì)時也可借助它與前兩者的聯(lián)系揭示出自身的規(guī)律。三者學(xué)完后應(yīng)揭示它們之間的聯(lián)系，學(xué)會相互轉(zhuǎn)化，融會貫通。
分數(shù)乘法應(yīng)用題和整數(shù)乘法應(yīng)用題出現(xiàn)的時段相差很大，以至于很多教師把這兩者割裂開來，看成兩個截然不同的知識，其實這兩者聯(lián)系也很緊密，解題思路基本一致。比如：15千克的3倍是多少？和15千克的1/3是多少？都可看作倍數(shù)問題用乘法計算，區(qū)別是前者的倍數(shù)是整數(shù)，后者的倍數(shù)不到一倍而已。在教學(xué)分數(shù)乘法應(yīng)用題時可從倍數(shù)應(yīng)用題入手，最后小結(jié)：求一個數(shù)的幾分之幾是多少和求一個數(shù)的幾倍是多少是一樣的，用乘法計算。
很多學(xué)生對理解“小學(xué)美術(shù)組人數(shù)比書法組多3/5”這樣的關(guān)系句感到困難，其實這樣的數(shù)量關(guān)系和“小學(xué)美術(shù)組人數(shù)比書法組多2倍”是一樣的，學(xué)生理解了后者，對前者的理解就輕松多了。這樣兩者體現(xiàn)了整體性，有助于學(xué)生知識結(jié)構(gòu)的完善。
二、一題目不同解答方法的整體性
在現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中提倡用不同的方法來解決問題，以體現(xiàn)思維的求異性和靈活性，教師更看重的是方法的多樣，而往往忽視不同方法之間的整體統(tǒng)一。例如：34加16的進位加法教學(xué)片斷：
執(zhí)教者在教學(xué)過程中依次出現(xiàn)小棒圖、計算器圖（如下），逐個引導(dǎo)學(xué)生算出得數(shù)，最后教學(xué)列豎式（如下），結(jié)束片段進入下一環(huán)節(jié)。
這三幅圖聯(lián)系非常緊密，第一幅圖右邊的單個小棒相加和第二幅圖中個位上珠子相加與第三幅圖豎式里個位相加是一致的，同理第一幅圖左邊的每捆小棒相加和第二幅圖中十位上珠子相加與第三幅圖豎式里十位相加也是一致的，進位的原理也是一樣。教師在執(zhí)教時應(yīng)指出這三幅圖之間的聯(lián)系，讓學(xué)生體會整體性思想，感悟數(shù)學(xué)知識的來龍去脈。
三、不同題目間解答方法的整體性
在蘇教版教材中，很多題目間看似不同，其實是有緊密聯(lián)系的，找出共同之處，形成整體，對提高學(xué)生解決問題的能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)有很大幫助。
蘇教版十二冊“解決問題的策略”有這樣幾題：
計算1/2+1/4+1/8+1/16。
有16支足球隊參加比賽，比賽以單場淘汰制進行。數(shù)一數(shù)，一共要進行多少場比賽后才能產(chǎn)生冠軍？如果不畫圖，有更簡便的計算方法嗎？如果有64支球隊參加比賽，產(chǎn)生冠軍要多少場？
對前一題，學(xué)生大多能在教師的引導(dǎo)下利用數(shù)形結(jié)合的思想找到簡便方法：1-1/16，對后一題很多教師也能引導(dǎo)學(xué)生得出：8+4+2+1=16-1。但很多教師沒有引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)這兩題的共同點，沒能從整體出發(fā)思考，顯得零碎，不成體系。教師應(yīng)在這兩題間設(shè)置過渡題：計算1/3+1/6+1/12+
摘要：“解決問題”是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的重要途徑，是小學(xué)階段教學(xué)的重點和難點，解決問題能力是小學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志。文章主要從課堂教學(xué)實際出發(fā)，就當(dāng)前解決問題教學(xué)中凸顯的問題進行了分析。
關(guān)鍵詞 ：解決問題；數(shù)學(xué)教學(xué)；策略思考
中圖分類號：G623.5 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1671-0568（2014）12-0054-02
解決問題處于小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的中心位置，是數(shù)學(xué)教育改革的重點，貫穿于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的整個過程，是綜合培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，提高解題能力的重要途徑。在近期的一些聽課和教研活動中，筆者發(fā)現(xiàn)部分教師由于受到傳統(tǒng)教學(xué)方式的影響，或者因為對解決問題教學(xué)的理解不到位，導(dǎo)致在教學(xué)中出現(xiàn)了一些不合理的現(xiàn)象，影響了課堂教學(xué)的質(zhì)量。
一、教師對解決問題教學(xué)的認識不到位，簡單地把解決問題等同于應(yīng)用題
在實際教學(xué)過程中，部分教師認為解決問題就是應(yīng)用題，他們會覺得例題中的內(nèi)容太“散”，所以通常會把題目寫成文字應(yīng)用題，再進行教學(xué)。例如，在教學(xué)三年級上冊“有余數(shù)除法”時，教師在出示了情境圖后，只是簡單地提問了學(xué)生情境圖中的內(nèi)容，然后就直接把例題以文字的形式呈現(xiàn)在學(xué)生面前，“有23盤花，每組擺5盤，最多可以擺幾組？還多出幾盤？”這樣的教學(xué)違背了例題的本意，完全忽略了學(xué)生對解決問題的認知過程，結(jié)果部分學(xué)生在解題的時候顯得無從下手。
在教學(xué)解決問題的過程中，教師應(yīng)該充分地讓學(xué)生通過自己的觀察、思考，解決自己發(fā)現(xiàn)的問題，并找出問題與條件之間的聯(lián)系和解決問題的方法。單純文字層面上的說明，對于剛剛學(xué)習(xí)“有余數(shù)除法”的三年級學(xué)生來說是有一定難度的。所以，教師應(yīng)該結(jié)合生活情境，圖文并茂地把實際問題呈現(xiàn)出來，同時讓學(xué)生通過“分一分”、“擺一擺”的動手操作，使學(xué)生充分理解問題，掌握解決問題的方法與策略，為以后的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。
二、解決問題的教學(xué)手段單一，解題策略缺乏多樣性
在解決問題的教學(xué)中，教師為能夠更好地把問題說清楚，把問題的各個方面都展示給學(xué)生，通常會進行大量的說明和提示。這樣的教學(xué)可能會使學(xué)生容易理解，但卻剝奪了學(xué)生獨立思考，自覺發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、找出解決問題的策略的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中缺乏有效的交流、合作，完全處于被動位置，沒有突出自身的主體地位。例如，在教學(xué)五年級上冊32頁“解決問題（一）”的教學(xué)中，教師對例題進行了詳細的說明，通過關(guān)系式、示意圖清楚地把解題思路一一呈現(xiàn)出來，學(xué)生也順利地把例題解答了出來。但是在完成課本“做一做”的練習(xí)中，部分學(xué)生卻出現(xiàn)了嚴(yán)重的錯誤，把應(yīng)該先用乘法求總數(shù)再用除法求平均數(shù)的題目也直接用了連除進行計算了事。原因是整個教學(xué)過程中基本是由教師包辦完成了例題的學(xué)習(xí)，學(xué)生沒有充分地進行探究和交流，思考不夠深入，同時受到例題是連除計算的影響，出現(xiàn)這樣的錯誤也就不足為奇了。
受教材的影響，部分教師認為學(xué)生只需要掌握課本中提供的方法就可以了，而沒有必要再學(xué)習(xí)其它方法，這種想法是與教材的編寫意圖和解決問題教學(xué)的目的相悖的，也不利于對學(xué)生的培養(yǎng)。解決問題就是要讓學(xué)生通過一系列的學(xué)習(xí)過程，找出適合自己的、容易的、合理的策略，使學(xué)生真正體會數(shù)學(xué)思維在實際中的運用，會用數(shù)學(xué)思維去解決問題。例如，在教學(xué)六年級上冊“解決問題（分數(shù)除法一）”的過程中，教師只突出了例題中用方程的解法，甚至在評課時也有教師提出簡單方程解法思路，只需要教會學(xué)生用方程解題就可以了。其實我們可以發(fā)現(xiàn)例題1是求“單位1的量”的一步計算題，學(xué)生完全可以通過之前學(xué)習(xí)的分數(shù)乘法中求“對應(yīng)量”的關(guān)系式推導(dǎo)出求“單位1的量”的關(guān)系式：“對應(yīng)量”÷“對應(yīng)分率”＝“單位1的量”，這樣的計算過程簡單、思路十分清晰。通過分析教材可知，例題中用方程的解法就是對分數(shù)乘法的一個承接，然后對分數(shù)除法的一個引入，并非是規(guī)定了某種方法更好。
從以上兩個案例可以看出，要真正體現(xiàn)解決問題教學(xué)的地位和作用，教師在教學(xué)中一定要大膽放手，讓學(xué)生通過自主探究、合作交流、動手操作等有效的教學(xué)手段，使學(xué)生全程參與到解決問題的每一個環(huán)節(jié)，找出解決問題的各種策略，并從中選出最優(yōu)的策略進行解題，使策略來自學(xué)生解決問題的需要，從而加深學(xué)生對解決問題策略的理解。
三、在解決問題的教學(xué)過程中對問題的反思浮于形式
解決問題的過程主要有四個環(huán)節(jié)：①收集信息，②分析問題，③尋求策略，④反思問題。但在教學(xué)過程中，部分教師往往只落實了前面三個環(huán)節(jié)，卻忽視了“反思問題”這個關(guān)鍵的教學(xué)環(huán)節(jié)。每次聽課，到了還有兩三分鐘就要下課的時候，教師都會設(shè)計“談收獲”這個環(huán)節(jié)，而絕大部分學(xué)生都只是例行公事地回答，例如，“我學(xué)會了求圓的面積”“我知道了用除法求平均數(shù)”……用一句簡簡單單的話就概括了整節(jié)課的學(xué)習(xí)。這樣的反思流于形式，沒有讓學(xué)生完整地去體驗解決問題的全過程，不利于培養(yǎng)其良好的思維習(xí)慣。
因此，教師應(yīng)該有目的地引導(dǎo)學(xué)生回顧整個解決問題的過程，反思“收集信息時如何找出了隱含的條件”、“學(xué)習(xí)過程中遇到了什么困難”、“運用了哪些策略，是否合理、是否簡捷？”、“其他同學(xué)用什么策略分析問題，對我有什么啟發(fā)”等問題，讓學(xué)生回味解題時用到的知識和方法，積累解決問題的經(jīng)驗，通過比較不同解法各自的特點，反思哪一種解題策略更合理、更簡單，從而真正提煉出解題策略的核心，突出思維的關(guān)鍵，并延伸到解決其他問題上，同時也使學(xué)生獲得成功的情感體驗。
四、解決問題過程中忽視了數(shù)學(xué)模型的建立
數(shù)學(xué)模型是學(xué)生解決問題的有效工具，是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運用數(shù)學(xué)的語言和方法，簡化問題的一種強有力的數(shù)學(xué)手段。通過數(shù)學(xué)建模解決問題，可以提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，增強數(shù)學(xué)思維能力。
在聽課的過程中，筆者發(fā)現(xiàn)教師能夠十分清晰地闡述題目中各個量的關(guān)系，并通過關(guān)系式把它們聯(lián)系起來，為數(shù)學(xué)建模打下了很好的基礎(chǔ)，但往往到了這一步教學(xué)就沒有繼續(xù)深化、拓展了。同樣以六年級“解決問題（分數(shù)除法一）”的教學(xué)為例，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)分數(shù)乘法的關(guān)系得到了關(guān)系式“小明的體重×1/2＝小明體內(nèi)水分的質(zhì)量”，然后就按照教材的思路列出方程解決問題，接著就是練習(xí)鞏固。這樣的教學(xué)對關(guān)系式的利用僅僅是停留在表面，既然學(xué)生已經(jīng)掌握了分數(shù)乘法，那么分數(shù)除法就只是出現(xiàn)在方程計算當(dāng)中的“x＝28÷1/2”嗎？筆者認為，在得出關(guān)系式后，應(yīng)該讓學(xué)生根據(jù)已有的經(jīng)驗，通過探究、交流推導(dǎo)出“小明體內(nèi)水分的質(zhì)量÷1/2＝小明的體重”，然后教師再展示學(xué)生的做法（方程和算術(shù)），并加以肯定，讓學(xué)生選擇適合自己的方法去解決問題。在鞏固了新知以后，教師應(yīng)再回到例題的關(guān)系式當(dāng)中，讓學(xué)生去總結(jié)每個量所代表的意義，進而推導(dǎo)出求“單位1的量”的關(guān)系式“對應(yīng)量÷對應(yīng)分率＝單位1的量”，部分能力較強的學(xué)生應(yīng)該還可以推導(dǎo)出“對應(yīng)量÷單位1的量＝對應(yīng)分率”。這樣有意識地開展數(shù)學(xué)建模的教學(xué)，學(xué)生就不會簡單地把問題和類型相聯(lián)系，而是思考情境中的問題與數(shù)學(xué)意義的聯(lián)系，經(jīng)過思考與再創(chuàng)造的過程，獲得實質(zhì)性的模型建構(gòu)，真正形成解決問題策略的過程。
