時(shí)間：2023-05-30 09:25:16
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇有理數(shù)的加減法，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
有理數(shù)的加減混合運(yùn)算用兩個(gè)課時(shí)進(jìn)行教學(xué).這一課時(shí)的重點(diǎn)是繼續(xù)幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)減法向加法的轉(zhuǎn)化與加減法互化，了解運(yùn)算符號(hào)和性質(zhì)符號(hào)之間的關(guān)系.把任何一個(gè)含有有理數(shù)加、減混合運(yùn)算的算式都看成和式，這一點(diǎn)對(duì)學(xué)生熟練掌握有理數(shù)運(yùn)算非常重要，這是因?yàn)橛欣頂?shù)加、減混合算式都看成和式，就可靈活運(yùn)用加法運(yùn)算律，簡(jiǎn)化計(jì)算。
【關(guān)鍵詞】
有理數(shù)；加減法互化；混合算式
1 教材分析
1.1 教材內(nèi)容：有理數(shù)的加減法第一課時(shí)
1.2 教材的地位和作用
有理數(shù)的加法在整個(gè)知識(shí)系統(tǒng)中的地位和作用是很重要的。有理數(shù)的加法是有理數(shù)運(yùn)算的重要基礎(chǔ)之一，它是整個(gè)初中代數(shù)的一個(gè)基礎(chǔ)，它直接關(guān)系到有理數(shù)運(yùn)算、實(shí)數(shù)運(yùn)算、解方程、研究函數(shù)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)。
2 學(xué)情分析
2.1 知識(shí)基礎(chǔ)
有理數(shù)加法使學(xué)生在學(xué)習(xí)了有理數(shù)的概念的基礎(chǔ)上來學(xué)習(xí)的新的知識(shí)，而學(xué)生在小學(xué)以學(xué)習(xí)了整數(shù)和分?jǐn)?shù)的加減和乘除運(yùn)算，有理數(shù)的運(yùn)算和小學(xué)的運(yùn)算最大的區(qū)別是引入了負(fù)數(shù)，難度加大了很多，因此本節(jié)課注意從生活實(shí)際入手，以便于學(xué)生理解的方式講授新課，從而很好的完成好本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)。
2.2 認(rèn)知水平和能力
七年級(jí)的學(xué)生剛剛升入初中，對(duì)所學(xué)的知識(shí)基礎(chǔ)還處于適應(yīng)階段。學(xué)生在前幾節(jié)課中已經(jīng)學(xué)習(xí)了有理數(shù)、數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值等相關(guān)知識(shí)，在此基礎(chǔ)上探討有理數(shù)的另一知識(shí)領(lǐng)域，即有理數(shù)的運(yùn)算。
3 目標(biāo)分析
3.1 教學(xué)目標(biāo)
一是知識(shí)與技能：使學(xué)生掌握有理數(shù)加法法則，并能運(yùn)用法則進(jìn)行計(jì)算；二是過程與方法：在有理數(shù)加法法則的教學(xué)過程中，注意培養(yǎng)學(xué)生的觀察、比較、歸納及運(yùn)算能力；三是情感態(tài)度價(jià)值觀：通過師生合作，聯(lián)系實(shí)際，激發(fā)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的熱情，感受加法無處不在，無處不有。
3.2 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
一是教學(xué)重點(diǎn)：有理數(shù)加法法則；二是教學(xué)難點(diǎn)：異號(hào)兩數(shù)相加的法則。
4 教法分析
數(shù)學(xué)是一門培養(yǎng)人的思維，發(fā)展人的思維的重要學(xué)科，因此，在教學(xué)中，不僅要使學(xué)生“知其然”而且要使學(xué)生“知其所以然”。我在以師生既為主體，又為客體的原則下，展現(xiàn)獲取知識(shí)和方法的思維過程。基于本節(jié)課的特點(diǎn)，應(yīng)著重采用活動(dòng)探究式的教學(xué)方法。
5 教學(xué)過程
5.1 聯(lián)系實(shí)際、巧妙引入
問題一：“我從學(xué)校出發(fā)沿某條路向東走a米，再繼續(xù)向東走b米，那么兩次我一共向東走了多少米？
問題二：既然a，b均是有理數(shù)，它們可能是正數(shù)，也可能是負(fù)數(shù)或者零.同學(xué)思考一下：a，b的符號(hào)可能有幾種情況？
學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生根據(jù)所學(xué)過的數(shù)的情況，容易想到有以下幾種情況：同為正數(shù)、同為負(fù)數(shù)、一個(gè)正數(shù)一個(gè)負(fù)數(shù)、加數(shù)中有一個(gè)是0。
教師活動(dòng)：下面我們就來研究這幾種情況下有理數(shù)的加法問題.在研究之前，首先提醒同學(xué)注意正確理解“向東走------米”的含義。（用課件演示）為了研究的方便起見，用數(shù)軸來幫助我們，并設(shè)向東為正。
5.2 帶著問題、獨(dú)立思考
一是向東走5米，再向東走3米，兩次一共向東走了多少米？（+5）+（+ 3）=（+ 8）；二是向西走5米，再向西走3米，兩次一共向東走了多少米？（-5）+（-3）= - 8；三是向東走5米，再向西走3米，兩次一共向東走了多少米？（+5）+（-3）= +2；四是向東走3米，再向西走5米，兩次一共向東走了多少米？（+3）+（-5）=-2。
5.3 針對(duì)問題、合作交流
問題三：請(qǐng)你分別把a(bǔ)、b賦予不同情況的有理數(shù)，然后進(jìn)行加法運(yùn)算，你會(huì)有什么樣的結(jié)論？你能發(fā)現(xiàn)有理數(shù)的加法法則嗎？
（1）來觀察a與b：都有哪幾種情況？A、正數(shù)與正數(shù)相加，負(fù)數(shù)與負(fù)數(shù)相加——同號(hào)的兩數(shù)相加；B、正數(shù)與負(fù)數(shù)相加，負(fù)數(shù)與正數(shù)相加——異號(hào)的兩數(shù)相加（絕對(duì)值不等）；C、互為相反數(shù)的兩數(shù)相加；D、正數(shù)與0相加，負(fù)數(shù)與0相加.
（2）再來觀察相加的結(jié)果：符號(hào)怎樣？值怎樣？
同學(xué)們思考怎樣表述你觀察出來的這個(gè)規(guī)律，能用幾句話來歸納概括一下嗎？
（要學(xué)生表達(dá)觀察出來的結(jié)論，此時(shí)表述不完整，不準(zhǔn)確都沒關(guān)系，可以請(qǐng)同學(xué)們補(bǔ)充或修正）最終全班歸納概括出有理數(shù)加法法則：一是同號(hào)的兩個(gè)數(shù)相加，符號(hào)不變，并把兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相加；二是絕對(duì)值不等的異號(hào)的兩個(gè)數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的正負(fù)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值；三是互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的得零；四一個(gè)數(shù)和零相加，仍得這個(gè)數(shù)。
5.4 當(dāng)堂檢測(cè)、評(píng)價(jià)提升
一是計(jì)算：（1）（-10）+（+6）、（2）（+12）+（-4）、（3）（-5）+（-7）、（4）（+6）+（+9）；二是用“>”或“0，b>0，那么a+b ___0；（2）如果a
6 教后反思
在這個(gè)教學(xué)策略的五個(gè)環(huán)節(jié)中，所有環(huán)節(jié)都不需要教師一手包辦，更不需要教師一講到底，這就為教師對(duì)課堂教學(xué)改革和優(yōu)化提供了必要條件，教師可以從課堂教學(xué)管理的過重負(fù)擔(dān)中解脫出來，有更多的時(shí)間從事教學(xué)內(nèi)容的思考和與學(xué)生之間的研討，在課堂中也可以有充裕的時(shí)間關(guān)注學(xué)困生，使得這部分學(xué)生在教師的及時(shí)指點(diǎn)下能夠?qū)W友所稱，和小組內(nèi)其他同學(xué)一樣一起獲得成功；同時(shí)，教師也可以從學(xué)生的解題思路中有所感悟，讓自己對(duì)問題的見解更貼近學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而提高課堂效率。
【參考文獻(xiàn)】
[1]童莉；初中數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)的發(fā)展研究，西南大學(xué)，2008年；
一、有理數(shù)的由來
在小學(xué)里，同學(xué)們學(xué)習(xí)了自然數(shù)、0和分?jǐn)?shù)，現(xiàn)在，又學(xué)習(xí)了負(fù)數(shù)，這些數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。但是，大家知
道有理數(shù)是怎么產(chǎn)生的嗎？
很久以前，人類的祖先群居在森林里、山洞中，身上披的是獸皮和樹葉，吃的是山上的野獸、樹上的野果
和水里的魚，終年靠狩獵為生。那時(shí)候，雖然每天獵取的食物不多，但仍然有一個(gè)記數(shù)的問題。開始，人
們只是以“多”和“少”來區(qū)分。漸漸地，有人想到可以扳著手指頭來數(shù)數(shù)，因?yàn)槟菚r(shí)每天狩獵的結(jié)果也
只是“屈指可數(shù)”的水平。再后來，狩獵的工具改進(jìn)了，水平也提高了，當(dāng)獵物超過10個(gè)以后，“屈指”
已不可數(shù)，于是又想到在一條繩子上打結(jié)來記數(shù)。周代（公元前10世紀(jì)前后）《易經(jīng)·系辭》中記載的“
上古結(jié)繩而治”，指的就是那個(gè)遠(yuǎn)古的時(shí)代。又過了不知多少年代，人們漸漸感到“結(jié)繩’不但麻煩，而
且時(shí)間一長(zhǎng)往往記不清這些“結(jié)”指的是什么了，終于想到要用一些符號(hào)來表示各種不同的東西和各種東
西的數(shù)目，于是出現(xiàn)了最早的數(shù)字。
數(shù)字的出現(xiàn)，給人們的生產(chǎn)和生活帶來了極大的方便。但如何用盡量少的數(shù)字來表示那么多的數(shù)呢？這個(gè)
問題，在中國(guó)人首先創(chuàng)造了十進(jìn)位制記數(shù)法以后，才最終得到圓滿的解決。
打獵時(shí)，有時(shí)兩人合作才能獵獲一只兔子，有時(shí)五人合作一共獵獲兩頭羊。如何分配這些食物呢？起初，
人們只知道“二分一”、”五分二’；后來，才逐漸形成了分?jǐn)?shù)的概念，記錄下來，就是“二分之一”、
“五分之二”……這也是中國(guó)人首創(chuàng)的。《周髀算經(jīng)》中已大量使用分?jǐn)?shù)，《九章算術(shù)》（約公元前100
～50年）給出了相當(dāng)完整的分?jǐn)?shù)理論，比歐洲同類著作大約早1400年。我們現(xiàn)在所說的分?jǐn)?shù)除法把除數(shù)“
顛倒相乘”，就是我國(guó)古代教學(xué)家劉徽（公元前三世紀(jì)）的原話。
人類對(duì)零的認(rèn)識(shí)比較晚。打不到野獸，空手而歸，這是最初對(duì)“零”的印象──空虛、饑餓、一無所有。
后來，又用符號(hào)“”表示空位（有人推測(cè)這是個(gè)空無一物的牲畜欄），慢慢地就演化成現(xiàn)的“0”了。
在小學(xué)教學(xué)中，算式“2-3”給我們的印象是“不夠減”。但學(xué)習(xí)了“有理教”的知識(shí)以后，我們就能解
決這個(gè)問題了。有理數(shù)包括正數(shù)、負(fù)數(shù)和0。正負(fù)效的概念也是從生產(chǎn)實(shí)際的需要中產(chǎn)生的。人們把私有
財(cái)產(chǎn)記為正，欠債記為負(fù)；收入記為正，支出記為負(fù)；運(yùn)進(jìn)記為正，運(yùn)出記為負(fù)；超出記為正，不足記為
負(fù)……人們從這些具有相反意義的量中抽象出了正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念。正數(shù)和負(fù)數(shù)既相互對(duì)立，又相互依存
。我們的祖先不僅最早認(rèn)識(shí)到負(fù)數(shù)的存在，而且總結(jié)出正負(fù)數(shù)的加減運(yùn)算法則，這在當(dāng)時(shí)也是一件具有世
界意義的重大創(chuàng)造。
二、中學(xué)有理數(shù)的加減是小學(xué)加減計(jì)算的提升
進(jìn)入中學(xué)以后，隨著正、負(fù)數(shù)的引入，有理數(shù)加減運(yùn)算的學(xué)習(xí)以及代數(shù)和形式的出現(xiàn)（即去掉括號(hào)的和）
，使學(xué)生頭腦中原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)發(fā)生了根本的改變。我們可以清楚地發(fā)現(xiàn)在這部分教學(xué)內(nèi)容中，成功地解
決了小學(xué)數(shù)學(xué)無法解決的三個(gè)問題：
1．解決了小數(shù)不能減大數(shù)的問題。第一次實(shí)現(xiàn)了減法運(yùn)算的暢通無阻，即不僅大數(shù)可以減小數(shù)，小數(shù)也
可以減大數(shù)。也就是說，減法運(yùn)算在有理數(shù)范圍內(nèi)總是能夠進(jìn)行的。
2．實(shí)現(xiàn)了運(yùn)算符號(hào)與性質(zhì)符號(hào)的完全統(tǒng)一。即“＋”號(hào)、“－”號(hào)，既表示是加法和減法的運(yùn)算符號(hào)，
又表示該有理數(shù)是正數(shù)或負(fù)數(shù)的性質(zhì)符號(hào)。
這種統(tǒng)一，實(shí)質(zhì)上是加、減法互相轉(zhuǎn)化的結(jié)果，用式子表示是：a－b=a＋（－b）=－b＋a。原來算
式中的“減號(hào)”變成了性質(zhì)符號(hào)“負(fù)號(hào)”，原來的性質(zhì)符號(hào)“正號(hào)”，則變成了運(yùn)算符號(hào)“加號(hào)”。這種
統(tǒng)一，使得減法可以用加法計(jì)算，加法也可以用減法計(jì)算，給計(jì)算帶來了較大的方便。
3．完成了“同級(jí)”運(yùn)算向“同種”運(yùn)算的轉(zhuǎn)化。即把同屬于第一級(jí)運(yùn)算的加、減法，通過代數(shù)和的形式
轉(zhuǎn)化成屬于同一種運(yùn)算的加法。這樣，打破了小學(xué)數(shù)學(xué)中那種“從左向右，依次計(jì)算”的規(guī)定，取而代之
的是利用加法的運(yùn)算規(guī)律，怎樣簡(jiǎn)便就怎樣計(jì)算，使運(yùn)算有了更多的“自由度”，更有利于簡(jiǎn)算。
（1）有理數(shù)加、減運(yùn)算是小學(xué)加、減運(yùn)算的延伸和發(fā)展。小學(xué)加、減法的意義、計(jì)算方法及定律，在有
理數(shù)范圍內(nèi)仍完全適用，有理數(shù)加減法是小學(xué)有關(guān)運(yùn)算的更高一級(jí)的發(fā)展。
（2）在加、減混合計(jì)算中，通過求幾個(gè)有理數(shù)的和，將加減混合運(yùn)算轉(zhuǎn)化成純加法運(yùn)算，不再考慮算術(shù)
計(jì)算規(guī)定的運(yùn)算順序，可按照最合理、簡(jiǎn)便的方法靈活計(jì)算。
在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中通過歸納、整理，在適當(dāng)時(shí)機(jī)給學(xué)生介紹知識(shí)間的聯(lián)系、發(fā)展和變化過程，介紹數(shù)學(xué)知
識(shí)的和諧、簡(jiǎn)捷美，既有利于知識(shí)的遷移，又促進(jìn)了中、小學(xué)知識(shí)的接軌，深化了學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解
一、讓記錄成為評(píng)價(jià)依據(jù)
初中數(shù)學(xué)是較為抽象和復(fù)雜的科學(xué)，是人類認(rèn)知和改造世界的基礎(chǔ)性學(xué)科之一，因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，必然會(huì)因?yàn)椴煌瑪?shù)學(xué)知識(shí)的刺激，出現(xiàn)不同的學(xué)習(xí)表現(xiàn)，應(yīng)當(dāng)將這一系列的即時(shí)性信息進(jìn)行重新篩選，并將有用的評(píng)價(jià)信息記錄到每一個(gè)學(xué)生的個(gè)人檔案記錄本中，以幫助初中數(shù)學(xué)教師做出最好的評(píng)價(jià)。例如，學(xué)習(xí)人教版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)《有理數(shù)的減法（二）》時(shí)，教師在關(guān)注學(xué)生是否能夠運(yùn)用正確的運(yùn)算順序進(jìn)行有理數(shù)減法運(yùn)算，是否能夠?qū)W會(huì)將有理數(shù)的加減法統(tǒng)一為加法，以及是否能夠懂得運(yùn)用一定的運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算時(shí)，并不是將這些關(guān)注和了解到的結(jié)果留在眼神里，封存在腦海中，而是要將這些評(píng)價(jià)信息進(jìn)行有效的記錄，以考評(píng)學(xué)生的學(xué)習(xí)表現(xiàn)以及發(fā)展情況。
如，教師為了考驗(yàn)學(xué)生對(duì)有理數(shù)混合運(yùn)算順序的掌握情況，在導(dǎo)入環(huán)節(jié)先設(shè)置了兩道題目，即“123-456+23-24.8-+98”與“（-23）-（-4）+（-1）+（+6）”，其中一道是學(xué)生小學(xué)階段學(xué)過的，而另外一道則是本課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，讓學(xué)生在對(duì)比中領(lǐng)會(huì)運(yùn)算順序。教師在關(guān)注學(xué)生的思考過程以及回答情況時(shí)，應(yīng)當(dāng)記錄下學(xué)生對(duì)舊知的理解程度、對(duì)運(yùn)算順序的認(rèn)知情況、是否能夠明白加減法“從左到右”的運(yùn)算順序規(guī)律；通過關(guān)注學(xué)生對(duì)后一道題的回答情況，記錄學(xué)生的預(yù)習(xí)水平和程度；以及學(xué)生對(duì)教師采取的此種教學(xué)方式的心理認(rèn)同度以及學(xué)習(xí)配合度等。
二、讓即時(shí)成為評(píng)價(jià)方式
筆者調(diào)查發(fā)現(xiàn)，過程性評(píng)價(jià)并不是一種階段性或終結(jié)性的評(píng)價(jià)，而是在關(guān)注和記錄學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)表現(xiàn)時(shí)，根據(jù)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)參照的系數(shù)，實(shí)施各種即興或即時(shí)的評(píng)價(jià)，如一句鼓勵(lì)的話語就如雨后春筍，帶給學(xué)生無限希望和動(dòng)力，又如一個(gè)及時(shí)的獎(jiǎng)勵(lì)便能給予學(xué)生無限肯定，發(fā)揮過程性評(píng)價(jià)的真正作用。
例如，教學(xué)人教版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)《近似數(shù)和有效數(shù)字》，教師的評(píng)價(jià)應(yīng)當(dāng)始終貫穿在教學(xué)過程的始終，如在導(dǎo)入時(shí)：師：請(qǐng)同學(xué)們看看大屏幕，利用已知知識(shí)或經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行回答或預(yù)測(cè)。我們學(xué)校共有幾名學(xué)生，我們班有幾個(gè)男生，幾個(gè)女生？我們的教室大約是多少平方米？一只成年大象的體重約為多少斤？從我們學(xué)校到天安門的路程大約是多少？對(duì)于這種近似數(shù)的估計(jì)，由于每一個(gè)學(xué)生的觀點(diǎn)和見識(shí)不一樣，回答必然存在差異，所以，整個(gè)課堂都充滿熱烈的氣氛。如有的學(xué)生回答大象的體重大約為200斤時(shí)，很明顯，這個(gè)估計(jì)并不符合實(shí)際，但教師的即時(shí)點(diǎn)評(píng)不可一票否決，可以通過對(duì)單位的講解以及引入學(xué)生常見的且與大象重量相當(dāng)?shù)膶?shí)物，給予學(xué)生一次補(bǔ)充的機(jī)會(huì)。
又如當(dāng)師生共同對(duì)這幾道練習(xí)題進(jìn)行練習(xí)后，教師開始引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入對(duì)這些題目的探索和發(fā)現(xiàn)，要求學(xué)生觀察并對(duì)比，看自己能發(fā)現(xiàn)什么。教師此時(shí)的即時(shí)點(diǎn)評(píng)應(yīng)當(dāng)充分尊重每一個(gè)學(xué)生的想法，如有的學(xué)生說出肯定數(shù)與近似數(shù)的區(qū)別時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)不遺余力地加以鼓勵(lì)。
三、總結(jié)
總之，過程性評(píng)價(jià)最為重要的任務(wù)便是及時(shí)關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)表現(xiàn)，幫助學(xué)生找出可進(jìn)步的空間，促進(jìn)學(xué)生不斷改進(jìn)自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式、學(xué)習(xí)思維和學(xué)習(xí)心理，從而滿足每一個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)個(gè)性的獨(dú)到表征，初中數(shù)學(xué)教學(xué)評(píng)價(jià)應(yīng)當(dāng)更多地關(guān)注和傾向于這種科學(xué)性的評(píng)價(jià)方式。
作者：張玲 單位：江蘇省南通市如東縣長(zhǎng)沙鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維；小學(xué)數(shù)學(xué)；應(yīng)用
小學(xué)數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)實(shí)而言，上述的理念還不能說已經(jīng)得到了很好的貫徹，而造成這一現(xiàn)象的一個(gè)重要原因就是以下的認(rèn)識(shí)：小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容過于簡(jiǎn)單，因而不可能很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn)。以下將依據(jù)國(guó)際上的相關(guān)研究對(duì)這一觀點(diǎn)作出具體分析，希望能促進(jìn)這一方向上的深入研究，從而能夠?qū)τ趯?shí)際教學(xué)活動(dòng)發(fā)揮積極的導(dǎo)向作用。
一、數(shù)學(xué)化：數(shù)學(xué)思維的基本形式
事實(shí)上，即使就最為初等的數(shù)學(xué)內(nèi)容而言，我們也可清楚地看到數(shù)學(xué)的抽象特點(diǎn)，而這就已包括了由“日常數(shù)學(xué)”向“學(xué)校數(shù)學(xué)”的重要過渡。
如在幾何題材的教學(xué)中，無論是教師或?qū)W生都清楚地知道，我們的研究對(duì)象并非教師手中的那個(gè)木制三角尺，也不是在黑板上或紙上所畫的那個(gè)具體的三角形，而是更為一般的三角形的概念，這事實(shí)上就已包括了由現(xiàn)實(shí)原型向相應(yīng)的“數(shù)學(xué)模式”的過渡。再例如，正整數(shù)加減法顯然具有多種不同的現(xiàn)實(shí)原型，如加法所對(duì)應(yīng)的既可能是兩個(gè)量的聚合，也可能是同一個(gè)量的增加性變化，同樣地，減法所對(duì)應(yīng)的既可能是兩個(gè)量的比較，也可能是同一個(gè)量的減少性變化，而這事實(shí)上就包括了由特殊到一般的重要過渡。
總的來說，這就應(yīng)當(dāng)被看成“數(shù)學(xué)化”這一思維方式的完整表述，即其不僅直接涉及如何由現(xiàn)實(shí)原型抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念或問題，而且也包括了對(duì)于數(shù)量關(guān)系的純數(shù)學(xué)研究，以及由數(shù)學(xué)知識(shí)向現(xiàn)實(shí)生活的“復(fù)歸”。
二、凝聚：算術(shù)思維的基本形式
由以下關(guān)于算術(shù)思維基本形式的分析可以看出，思維的分析相對(duì)于具體知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)而言并非某種外加的成分，而是有著重要的指導(dǎo)意義。
具體地說，這正是現(xiàn)代關(guān)于數(shù)學(xué)思維研究的一項(xiàng)重要成果，即指明了所謂的“凝聚”，也即由“過程”向“對(duì)象”的轉(zhuǎn)化構(gòu)成了算術(shù)以及代數(shù)思維的基本形式，這也就是說，在數(shù)學(xué)特別是算術(shù)和代數(shù)中有不少概念在最初是作為一個(gè)過程得到引進(jìn)的，但最終卻又轉(zhuǎn)化成了一個(gè)對(duì)象──對(duì)此我們不僅可以具體地研究它們的性質(zhì)，也可以此為直接對(duì)象去施行進(jìn)一步的運(yùn)算。
如加減法在最初都是作為一種過程得到引進(jìn)的，即代表了這樣的“輸入―輸出”過程：由兩個(gè)加數(shù)我們就可求得相應(yīng)的和；然而，隨著學(xué)習(xí)的深入，這些運(yùn)算又逐漸獲得了新的意義：它們已不再僅僅被看成一個(gè)過程，而且也被認(rèn)為是一個(gè)特定的數(shù)學(xué)對(duì)象，我們可具體地去指明它們所具有的各種性質(zhì)，如交換律、結(jié)合律等，從而，就其心理表征而言，就已經(jīng)歷了一個(gè)“凝聚”的過程，即由一個(gè)包含多個(gè)步驟的運(yùn)作過程凝聚成了單一的數(shù)學(xué)對(duì)象。再如，有很多教師認(rèn)為，分?jǐn)?shù)應(yīng)當(dāng)定義為“兩個(gè)整數(shù)相除的值”而不是“兩個(gè)整數(shù)的比”，這事實(shí)上也可被看成包括了由過程向?qū)ο蟮霓D(zhuǎn)變，這就是說，就分?jǐn)?shù)的掌握而言我們不應(yīng)停留于整數(shù)的除法這樣一種運(yùn)算，而應(yīng)將其直接看成一種數(shù)，我們可以此為對(duì)象去實(shí)施加減乘除等運(yùn)算。綜上可見，在算術(shù)的教學(xué)中我們應(yīng)自覺地應(yīng)用和體現(xiàn)“凝聚”這樣一種思維方式。
三、互補(bǔ)與整合：數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要特征
以上關(guān)于“過程―對(duì)象性思維”的論述顯然已從一個(gè)側(cè)面表明了互補(bǔ)與整合這一思維形式對(duì)于數(shù)學(xué)的特殊重要性。以下再以有理數(shù)的學(xué)習(xí)為例對(duì)此作出進(jìn)一步的說明。
首先，我們應(yīng)注意同一概念的不同解釋間的互補(bǔ)與整合。
具體地說，與加減法一樣，有理數(shù)的概念也存在多種不同的解釋，如部分與整體的關(guān)系，商，算子或函數(shù)，度量，等等；但是，正如人們所已普遍認(rèn)識(shí)到了的，就有理數(shù)的理解而言，關(guān)鍵又在于不應(yīng)停留于某種特定的解釋，更不能將各種解釋看成互不相關(guān)、彼此獨(dú)立的；而應(yīng)對(duì)有理數(shù)的各種解釋很好地加以整合，也即應(yīng)當(dāng)將所有這些解釋都看成同一概念的不同側(cè)面，并能根據(jù)情況與需要在這些解釋之間靈活地作出必要的轉(zhuǎn)換。
其次，我們應(yīng)注意不同表述形式之間的相互補(bǔ)充與相互作用。
這也正是新一輪數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)重要特征，即突出強(qiáng)調(diào)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐、主動(dòng)探索與合作交流。由于實(shí)踐活動(dòng)構(gòu)成了數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)活動(dòng)的重要基礎(chǔ)，合作交流顯然應(yīng)被看成學(xué)習(xí)活動(dòng)社會(huì)性質(zhì)的直接體現(xiàn)和必然要求，因此，從這樣的角度去分析，上述的主張就是完全合理的；然而，需要強(qiáng)調(diào)的是，除去對(duì)于各種學(xué)習(xí)方式與表述形式的直接肯定以外，我們應(yīng)更加重視在不同學(xué)習(xí)方式或表述形式之間所存在的重要聯(lián)系與必要互補(bǔ)。再次，我們應(yīng)清楚地看到解題方法的多樣性及其互補(bǔ)關(guān)系。當(dāng)然，在大力提倡解題策略多樣化的同時(shí)，我們還應(yīng)明確肯定思維優(yōu)化的必要性，這就是說，我們不應(yīng)停留于對(duì)于不同方法在數(shù)量上的片面追求，而應(yīng)通過多種方法的比較幫助學(xué)生學(xué)會(huì)鑒別什么是較好的方法，包括如何依據(jù)不同的情況靈活地去應(yīng)用各種不同的方法。
一、滲透正逆運(yùn)算演法，培養(yǎng)思維的逆轉(zhuǎn)性
如“減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)”，“一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)，等于被除數(shù)乘以除數(shù)的倒數(shù)”，這一類運(yùn)算的共同點(diǎn)是以正運(yùn)算來推演其逆運(yùn)算，乘方運(yùn)算與開方運(yùn)算，它們彼此相互依存，共同反映變化運(yùn)動(dòng)中的數(shù)量關(guān)系，用分?jǐn)?shù)指數(shù)，又把開方與乘方統(tǒng)一起來了。教學(xué)實(shí)踐告訴我們：學(xué)生對(duì)開放運(yùn)算的困難主要在于形成可逆心理過程，可逆思維能力弱，對(duì)逆運(yùn)算的認(rèn)識(shí)就表現(xiàn)緩慢、遲鈍。解決的方法就是化歸，用正運(yùn)算的思維聯(lián)結(jié)幫助學(xué)生建立逆運(yùn)算的思維聯(lián)結(jié)。
例1：“平方根”的教學(xué)。在敘述數(shù)的開放運(yùn)算時(shí)，就強(qiáng)調(diào)“運(yùn)用平方運(yùn)算求一個(gè)數(shù)的平方根”和“用平方根運(yùn)算檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是不是另一個(gè)數(shù)的平方根”。通過課后的習(xí)題，示范運(yùn)用平方運(yùn)算求一個(gè)數(shù)平方根的方法，從而使學(xué)生形成正逆向思維聯(lián)結(jié)，掌握開方運(yùn)算，培養(yǎng)思維的逆轉(zhuǎn)性。
二、滲透遞推變形法，培養(yǎng)思維的辯證性
初中數(shù)學(xué)，常常根據(jù)數(shù)學(xué)原理、性質(zhì)、公式、法則進(jìn)行恒等變形或等式變形，把復(fù)雜的形式逐次遞推為簡(jiǎn)單的常規(guī)形式，這種遞推變形是化歸思想的體現(xiàn)，主要分為恒等遞推（計(jì)算、化簡(jiǎn)）和等式遞推（解方程、解方程組）兩類。
首先筆者在教有理數(shù)時(shí)孕育遞推變形法，使學(xué)生理解通過絕對(duì)值概念，可將有理數(shù)大小轉(zhuǎn)化為算術(shù)數(shù)比較大小，有理數(shù)四則運(yùn)算轉(zhuǎn)化為算術(shù)數(shù)四則運(yùn)算。教整式加減法繼續(xù)孕育化歸思想，使學(xué)生懂得整式加減法的實(shí)質(zhì)是通過同類型概念轉(zhuǎn)化為有理數(shù)加減。通過這兩次孕育，學(xué)生能初步體會(huì)到化歸的基本思想：將新知識(shí)轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)。
在教“一元一次方程和它的解法”時(shí)，進(jìn)一步孕育化歸思想，使學(xué)生明確最簡(jiǎn)方程 是解一元一次方程的化歸目標(biāo)，解方程的過程是：首先尋找所給方程與目標(biāo)的差異，然后設(shè)法消去差異，直至達(dá)到化歸目標(biāo)──最簡(jiǎn)方程，化歸的具體方法是去分母、去括號(hào)、移向、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1等。在教“一次方程組的解法”時(shí)，除了使學(xué)生明確化歸對(duì)象、化歸目標(biāo)、化歸方法外，還應(yīng)理解一元一次方程在解一元一次方程時(shí)是化歸對(duì)象，而在討論解方程組時(shí)卻成了化歸目標(biāo)，初步認(rèn)識(shí)到化歸目標(biāo)是根據(jù)問題的要求而確定的，具有相對(duì)性。
例2：比較兩個(gè)有理數(shù)相加與小學(xué)數(shù)學(xué)里兩個(gè)數(shù)（非負(fù)有理數(shù)）相加有什么聯(lián)系與區(qū)別。
啟發(fā)學(xué)生思考，鞏固化歸意識(shí)，注意計(jì)算兩個(gè)有理數(shù)相加的和時(shí)，要先根據(jù)算式選擇相應(yīng)的法則，具體計(jì)算時(shí)又要分兩個(gè)步驟：①確定“和”的符號(hào)；②計(jì)算“和”的絕對(duì)值。
這個(gè)比較的過程隱含了如下的思想方法：在擴(kuò)充以后的新數(shù)集里研究問題所得到的結(jié)論，應(yīng)與原數(shù)集中相應(yīng)的結(jié)論不矛盾。這種“因襲”的原則同樣體現(xiàn)在“有理數(shù)運(yùn)算律”之中，在后續(xù)指數(shù)概念的擴(kuò)展過程中，研究?jī)绲倪\(yùn)算法則時(shí)也有類似的情形。
三、滲透數(shù)學(xué)代換法，培養(yǎng)思維的創(chuàng)新性
數(shù)量代換是重要數(shù)學(xué)方法之一，也是化歸的一種手段，解題時(shí)，把其中的某個(gè)部分看作整體，或設(shè)立輔助元，經(jīng)代換、化歸為常規(guī)問題。數(shù)量代換的化歸方法有常量代換和變量代換兩種形式。例如，把整個(gè)工程看作“1”，求解應(yīng)用題；通過全等三角形的代換證明平面幾何題等等都采用了常量代換的方法。變量代換法就是教材中的換元法，初中數(shù)學(xué)專門介紹了換元法解方程。其實(shí)在此之前的代入法解方程組正是變量代換的孕育。
在教“一元二次方程”一節(jié)時(shí)，繼續(xù)用化歸思想指導(dǎo)解方程，在一元一次方程的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)一元二次方程時(shí)重點(diǎn)是如何化歸，掌握了“消元”、“降次”的化歸方法。教師可以利用一節(jié)課來專門訓(xùn)練化歸的思想方法，鞏固化歸方法，明確化歸的的對(duì)象、化歸的目標(biāo)、化歸的手段。讓學(xué)生明白新知識(shí)總可以通過一定的方法轉(zhuǎn)化為就知識(shí)，同時(shí)要強(qiáng)調(diào)化歸目標(biāo)具有相對(duì)性和層次性，應(yīng)因題制宜。
由于在課堂上提供了思維發(fā)展的背景材料，點(diǎn)明了化歸目標(biāo)，展示了化歸脈絡(luò)，誘發(fā)了實(shí)現(xiàn)化歸的欲望，從而激起學(xué)生思維的創(chuàng)新性。
四、滲透圖形分解法，培養(yǎng)思維的形象性
圖形分解是解幾何題常用的化歸方法。如三角形中位線定理就是通過分割原圖的一小塊三角形添補(bǔ)成平行四邊形而得到證明。
學(xué)生初步形成了化歸思想后，化歸思想的滲透并未結(jié)束，我們進(jìn)一步應(yīng)用化歸思想指導(dǎo)幾何學(xué)習(xí)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到這些變化無窮的平面圖形是有一些最簡(jiǎn)單、最基本的圖形組合而成的。要解決一個(gè)幾何問題，只要在復(fù)雜圖形中，辨析或構(gòu)造出基本圖形，從而應(yīng)用基本圖形的性質(zhì)，就可以使問題得以解決。
平面幾何中，三角形是最重要的基本圖形，四邊形或多邊形通過添加對(duì)角線可以化歸為若干個(gè)三角形來研究，這樣三角形到多邊形，內(nèi)在聯(lián)系更加明朗，體現(xiàn)了由簡(jiǎn)到繁，由特殊到一般的教學(xué)原則，這種化歸未知為已知的思想方法，具有普遍意義，掌握了它，就能居高臨下自覺指導(dǎo)思維活動(dòng)的展開。數(shù)學(xué)雖以抽象性著稱，但在此數(shù)學(xué)思維中的形象思維舉足輕重。
五、幾點(diǎn)體會(huì)
【關(guān)鍵詞】 分層教學(xué)；初中數(shù)學(xué)；因材施教
在現(xiàn)在的教學(xué)中，普遍存在著這樣一個(gè)問題：隨著學(xué)生學(xué)習(xí)的不斷深入，學(xué)生的個(gè)體差異越來越大，這不單單體現(xiàn)在學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)上，還有學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、心里接受能力、潛能的發(fā)展力上. 教學(xué)要做到真正的面向所有的學(xué)生，讓學(xué)生能夠均衡的發(fā)展，就必須根據(jù)學(xué)生的不同的特點(diǎn)對(duì)學(xué)生進(jìn)行分層教學(xué)，讓學(xué)生的差距不至于越來越大. 在這種情況下，我根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)分層教學(xué)提出了一些教學(xué)設(shè)想，并進(jìn)行了實(shí)踐.
一、尊重個(gè)體差異，科學(xué)進(jìn)行分層
布盧姆提出的掌握學(xué)習(xí)理論指出，在教學(xué)的過程中，只要能夠提供給學(xué)生恰當(dāng)?shù)牟牧吓c合適的實(shí)踐與幫助，這樣，每名學(xué)生都能夠掌握要學(xué)習(xí)的知識(shí). 布盧姆的這一理論正是分層教學(xué)理論的理論依據(jù). 而在中國(guó)古代，大教育家孔子很早就提出“因材施教”的理論，這個(gè)同樣印證了分層教學(xué)理論的原理，所以在教學(xué)的過程中，要結(jié)合每名學(xué)生的個(gè)性特點(diǎn)、學(xué)習(xí)狀況，進(jìn)行有差別地教學(xué). 根據(jù)上述理論，我們應(yīng)該在分層教學(xué)的過程中注重學(xué)生的個(gè)性差異，對(duì)不同層級(jí)的學(xué)生進(jìn)行科學(xué)的分層，正所謂“知其心，然后方能輔起失也. ”比如，在我所任教的班級(jí)中，就先按照學(xué)生平常上課的表現(xiàn)與多次測(cè)試的成績(jī)，進(jìn)行綜合的評(píng)價(jià)，然后進(jìn)行分組，因?yàn)橐淮蔚膶W(xué)習(xí)成績(jī)并不能代表一名學(xué)生的最終成績(jī)，唯有多次的比較才能看出學(xué)生真正的學(xué)習(xí)水平. 再者，有些學(xué)生在課堂上表現(xiàn)非常優(yōu)秀，對(duì)知識(shí)的掌握非常迅速，但是考試成績(jī)不夠理想，這就要綜合考慮其因素，再進(jìn)行分組.
二、鉆研教材大綱，確認(rèn)分層目標(biāo)
分層教學(xué)的前提，就是分層次備課，分層次上課，包括課堂提問，分層次布置作業(yè). 所以鉆研教材是實(shí)施分層次教學(xué)的第一步，認(rèn)真分析教學(xué)大綱，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的不同，確認(rèn)分層的目標(biāo)，能夠做到這點(diǎn)，就能夠滿足各層級(jí)的學(xué)生對(duì)知識(shí)的需求，讓理解能力強(qiáng)的同學(xué)吸收更多的知識(shí)，而理解能力偏弱的學(xué)生也能夠消化知識(shí)，不至于忽略任何一方. 在分層教學(xué)的時(shí)候，注重結(jié)合學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，根據(jù)學(xué)生的現(xiàn)有水平與潛在水平設(shè)定教學(xué)內(nèi)容. 例如，在學(xué)習(xí)蘇科版八年級(jí)下冊(cè)的“反比例函數(shù)”的時(shí)候，我根據(jù)教材的內(nèi)容設(shè)計(jì)了一個(gè)教學(xué)方案，根據(jù)不同層級(jí)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與接受能力，我將教材內(nèi)容分為三個(gè)等級(jí). 首先，學(xué)習(xí)能力強(qiáng)、接受力強(qiáng)的為A組，中等的為B組，偏差的為C組. A組的學(xué)生需要了解正比例函數(shù)與反比例函數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系，并且能夠完成較為復(fù)雜的反比例函數(shù)練習(xí). B組的學(xué)生能夠通過練習(xí)區(qū)分正比例函數(shù)與反比例函數(shù)之間的區(qū)別即可；而C組的學(xué)生只需要能夠運(yùn)用反比例函數(shù)解決實(shí)際的運(yùn)用問題. 將三組的等級(jí)區(qū)分開來，讓不同層級(jí)的學(xué)生均衡發(fā)展，但是也不至于將他們之間的距離越拉越遠(yuǎn).
三、結(jié)合教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)作業(yè)
由于教學(xué)目標(biāo)需要分層，所以在教學(xué)設(shè)計(jì)的時(shí)候，要考慮預(yù)習(xí)作業(yè)的設(shè)計(jì)，同樣要讓預(yù)習(xí)作業(yè)滿足三個(gè)層級(jí)學(xué)生的不同需求. 比如，在學(xué)習(xí)有理數(shù)的加減法的時(shí)候，我設(shè)計(jì)如下的預(yù)習(xí)作業(yè)：1. 根據(jù)加減法法則計(jì)算下列習(xí)題：（1）（-7） - （+5） + （+3） - （-9） = -7（ ）5（ ）3（ ）9；（2）就下列給的三組數(shù)，驗(yàn)證等式：a - （b - c + d） = a - b + c - d是否成立. （3）計(jì)算題① -1 - 23.33-（+76.76）；② 1-2 × 2 × 2 × 2； （4）生活實(shí)際運(yùn)用，某水利勘察隊(duì)，第一天向上游走5 千米，第二天又向上游走5千米，第三天向下游走4 千米，第四天又向下游走4.5千米，這時(shí)勘察隊(duì)在出發(fā)點(diǎn)的什么位置？相距多少千米？并且思考，你在做題的過程中，發(fā)現(xiàn)了什么技巧了嗎？
這些習(xí)題經(jīng)過設(shè)計(jì)之后，有了一定的難易度，符合各個(gè)層級(jí)的學(xué)生要求，教師能夠通過這些習(xí)題更進(jìn)一步地了解學(xué)生的學(xué)習(xí)能力與潛能，各個(gè)層級(jí)的學(xué)生也能夠真正地做到預(yù)習(xí)，為新知識(shí)的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ). 同時(shí)也留給了學(xué)生思考的空間，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與好奇心.
四、采取不同的教學(xué)方式進(jìn)行教學(xué)與評(píng)價(jià)
在教學(xué)的過程中，上課與評(píng)價(jià)是教學(xué)中的主要環(huán)節(jié). 尤其是上課，基本上整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)都是圍繞著“上課”而展開的，而及時(shí)地作出教學(xué)評(píng)價(jià)，則是對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)情況的及時(shí)反饋，讓學(xué)生及時(shí)的查漏補(bǔ)缺. 所以教師在課堂教學(xué)的過程中，要進(jìn)行分層教學(xué)，讓各個(gè)層級(jí)的學(xué)生都能夠投入到教學(xué)當(dāng)中. 比如在上面一個(gè)對(duì)有理數(shù)加減法的預(yù)習(xí)題的設(shè)計(jì)中，我就進(jìn)行了如下的設(shè)計(jì)：第一，利用上課前的兩分鐘，運(yùn)用多媒體展示題目，讓學(xué)生進(jìn)行一個(gè)隨堂小測(cè)試，而這些題目同樣是難易有所不同，并且只是變動(dòng)了個(gè)別的數(shù)字. 第二，按照互幫互助小組的學(xué)習(xí)模式，將各個(gè)層級(jí)的學(xué)生進(jìn)行搭配分組，然后小組內(nèi)部進(jìn)行學(xué)習(xí)，最后由小組內(nèi)部B層級(jí)的學(xué)生進(jìn)行歸納與總結(jié)計(jì)算方法，這樣就能看出學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握，如果B組的成員基本上都能理解，這說明基本上百分之八十左右的學(xué)生都能夠理解本章節(jié)的學(xué)習(xí)內(nèi)容. 第三，老師總結(jié)在加減法運(yùn)算結(jié)果中出現(xiàn)的“+”“-”“0”的情況，然后利用多媒體，給出新的練習(xí)題，這樣的情況下進(jìn)一步為學(xué)生鞏固知識(shí). 在練習(xí)的同時(shí)，教師巡視同學(xué)的完成情況，及時(shí)的對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)行評(píng)價(jià)，將信息反饋給學(xué)生，讓學(xué)生能夠認(rèn)識(shí)到自己在學(xué)習(xí)過程中存在的缺陷，及時(shí)進(jìn)行改正.
總結(jié)：分層教學(xué)的目的就是面向全體學(xué)生的一種教學(xué)方法，在教學(xué)的過程中注重學(xué)生的個(gè)體差異，這樣才能讓學(xué)生在自己原有的基礎(chǔ)上得到發(fā)展，在學(xué)習(xí)的過程中收獲成功的喜悅，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，逐漸從“要我學(xué)”變成“我要學(xué)”，真正體會(huì)學(xué)習(xí)的快樂.
【參考文獻(xiàn)】
【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)思維
事實(shí)上，即使就最為初等的數(shù)學(xué)內(nèi)容而言，我們也可清楚地看到數(shù)學(xué)的抽象特點(diǎn)，而這就已包括了由"日常數(shù)學(xué)"向"學(xué)校數(shù)學(xué)"的重要過渡。
也正由于數(shù)學(xué)的直接研究對(duì)象是抽象的模式而非特殊的現(xiàn)實(shí)情景，這就為相應(yīng)的"純數(shù)學(xué)研究"提供了現(xiàn)實(shí)的可能性。例如，就以上所提及的加減法運(yùn)算而言，由于其中涉及三個(gè)不同的量（兩個(gè)加數(shù)與它們的和，或被減數(shù)、減數(shù)與它們的差），因此，從純數(shù)學(xué)的角度去分析，我們完全可以提出這樣的問題，即如何依據(jù)其中的任意兩個(gè)量去求取第三個(gè)量。例如，就"量的比較"而言，除去兩個(gè)已知數(shù)的直接比較以外，我們顯然也可提出："兩個(gè)數(shù)的差是3，其中較小的數(shù)是4，問另一個(gè)數(shù)是幾？"或者"兩個(gè)數(shù)的差是3，其中較大的數(shù)是4，問另一個(gè)數(shù)是幾？"我們?cè)诖耸聦?shí)上已由"具有明顯現(xiàn)實(shí)意義的量化模式"過渡到了"可能的量化模式"。
綜上可見，即使就正整數(shù)的加減法此類十分初等的題材而言，就已十分清楚地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的一些重要特點(diǎn)，特別是體現(xiàn)了在現(xiàn)實(shí)意義與純數(shù)學(xué)研究這兩者之間所存在的辯證關(guān)系。當(dāng)然，從理論的角度看，我們?cè)诖擞謶?yīng)考慮這樣的問題，即應(yīng)當(dāng)如何去認(rèn)識(shí)所說的純數(shù)學(xué)研究的意義。特別是，我們是否應(yīng)當(dāng)明確肯定由"日常數(shù)學(xué)"過渡到"學(xué)校數(shù)學(xué)"的必要性，或是應(yīng)當(dāng)唯一地堅(jiān)持立足于現(xiàn)實(shí)生活。
由于后一問題的全面分析已經(jīng)超出了本文的范圍，在此僅指明這樣一點(diǎn)：與現(xiàn)實(shí)意義在一定程度上的分離對(duì)于學(xué)生很好地把握相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系是十分重要的。一般地說，學(xué)校中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是對(duì)學(xué)生經(jīng)由日常生活所形成的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行鞏固、適當(dāng)重組、擴(kuò)展和組織化的過程，這就意味著由孤立的數(shù)學(xué)事實(shí)過渡到了系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，以及對(duì)于人類文化的必要繼承。這正如著名數(shù)學(xué)教育家斯根普所指出的："兒童來到學(xué)校雖然還未接受正式教導(dǎo)，但所具備的數(shù)學(xué)知識(shí)卻比預(yù)料的多……他們所需要的幫助是從（學(xué)校教學(xué)）活動(dòng)中組織和鞏固他們的非正規(guī)知識(shí)，同時(shí)需擴(kuò)展他們這種知識(shí)，使其與我們社會(huì)文化部分中的高度緊密的知識(shí)體系相結(jié)合。"
當(dāng)然，我們還應(yīng)明確肯定數(shù)學(xué)知識(shí)向現(xiàn)實(shí)生活"復(fù)歸"的重要性。這正如著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾所指出的："數(shù)學(xué)的力量源于它的普遍性。人們可以用同樣的數(shù)去對(duì)各種不同的集合進(jìn)行計(jì)數(shù)，也可以用同樣的數(shù)去對(duì)各種不同的量進(jìn)行度量。……盡管運(yùn)算（等）所涉及的方面十分豐富，但又始終是同一個(gè)運(yùn)算──這即是借助于算法所表明的事實(shí)。作為計(jì)算者人們?nèi)菀淄浧渌婕暗臄?shù)以及他所面對(duì)的文字題中的算術(shù)問題的來源。但是，為了真正理解這種存在于多樣性之中的簡(jiǎn)單性，在計(jì)算的同時(shí)我們又必須能夠由算法的簡(jiǎn)單性回到多樣化的現(xiàn)實(shí)。"
總的來說，這就應(yīng)當(dāng)被看成"數(shù)學(xué)化"這一思維方式的完整表述，即其不僅直接涉及如何由現(xiàn)實(shí)原型抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念或問題，而且也包括了對(duì)于數(shù)量關(guān)系的純數(shù)學(xué)研究，以及由數(shù)學(xué)知識(shí)向現(xiàn)實(shí)生活的"復(fù)歸"。另外，相對(duì)于具體知識(shí)內(nèi)容的學(xué)習(xí)而言，我們應(yīng)當(dāng)更加注意如何幫助學(xué)生很好地去掌握"數(shù)學(xué)化"的思想，我們應(yīng)當(dāng)從這樣的角度去理解"情境設(shè)置"與"純數(shù)學(xué)研究"的意義。這正如弗賴登塔爾所指出的："數(shù)學(xué)化……是一條保證實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)整體結(jié)構(gòu)的廣闊途徑……情境和模型，問題與求解這些活動(dòng)作為必不可少的局部手段是重要的，但它們都應(yīng)該服從于總的方法。"
一、凝聚：算術(shù)思維的基本形式
由以下關(guān)于算術(shù)思維基本形式的分析可以看出，思維的分析相對(duì)于具體知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)而言并非某種外加的成分，而是有著重要的指導(dǎo)意義。
具體地說，這正是現(xiàn)代關(guān)于數(shù)學(xué)思維研究的一項(xiàng)重要成果，即指明了所謂的"凝聚"，也即由"過程"向"對(duì)象"的轉(zhuǎn)化構(gòu)成了算術(shù)以及代數(shù)思維的基本形式，這也就是說，在數(shù)學(xué)特別是算術(shù)和代數(shù)中有不少概念在最初是作為一個(gè)過程得到引進(jìn)的，但最終卻又轉(zhuǎn)化成了一個(gè)對(duì)象──對(duì)此我們不僅可以具體地研究它們的性質(zhì)，也可以此為直接對(duì)象去施行進(jìn)一步的運(yùn)算。
例如，加減法在最初都是作為一種過程得到引進(jìn)的，即代表了這樣的"輸入-輸出"過程：由兩個(gè)加數(shù)（被減數(shù)與減數(shù)）我們就可求得相應(yīng)的和（差）；然而，隨著學(xué)習(xí)的深入，這些運(yùn)算又逐漸獲得了新的意義：它們已不再僅僅被看成一個(gè)過程，而且也被認(rèn)為是一個(gè)特定的數(shù)學(xué)對(duì)象，我們可具體地去指明它們所具有的各種性質(zhì)，如交換律、結(jié)合律等，從而，就其心理表征而言，就已經(jīng)歷了一個(gè)"凝聚"的過程，即由一個(gè)包含多個(gè)步驟的運(yùn)作過程凝聚成了單一的數(shù)學(xué)對(duì)象。再如，有很多教師認(rèn)為，分?jǐn)?shù)應(yīng)當(dāng)定義為"兩個(gè)整數(shù)相除的值"而不是"兩個(gè)整數(shù)的比"，這事實(shí)上也可被看成包括了由過程向?qū)ο蟮霓D(zhuǎn)變，這就是說，就分?jǐn)?shù)的掌握而言我們不應(yīng)停留于整數(shù)的除法這樣一種運(yùn)算，而應(yīng)將其直接看成一種數(shù)，我們可以此為對(duì)象去實(shí)施加減乘除等運(yùn)算。
二、互補(bǔ)與整合：數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要特征
以上關(guān)于"過程-對(duì)象性思維"的論述顯然已從一個(gè)側(cè)面表明了互補(bǔ)與整合這一思維形式對(duì)于數(shù)學(xué)的特殊重要性。以下再以有理數(shù)的學(xué)習(xí)為例對(duì)此作出進(jìn)一步的說明。
首先，我們應(yīng)注意同一概念的不同解釋間的互補(bǔ)與整合。
具體地說，與加減法一樣，有理數(shù)的概念也存在多種不同的解釋，如部分與整體的關(guān)系，商，算子或函數(shù)，度量，等等；但是，正如人們所已普遍認(rèn)識(shí)到了的，就有理數(shù)的理解而言，關(guān)鍵恰又在于不應(yīng)停留于某種特定的解釋，更不能將各種解釋看成互不相關(guān)、彼此獨(dú)立的；而應(yīng)對(duì)有理數(shù)的各種解釋（或者說，相應(yīng)的心理建構(gòu)）很好地加以整合，也即應(yīng)當(dāng)將所有這些解釋都看成同一概念的不同側(cè)面，并能根據(jù)情況與需要在這些解釋之間靈活地作出必要的轉(zhuǎn)換。
其次，我們應(yīng)清楚地看到解題方法的多樣性及其互補(bǔ)關(guān)系。
新課改以來，滬教版教材倡導(dǎo)加減法或乘除法的互逆關(guān)系來解答方程。凡教授過現(xiàn)行滬教版《簡(jiǎn)易方程》章節(jié)的教師，都會(huì)遇到這樣的教學(xué)現(xiàn)狀：雖然利用加減法或乘除法的互逆關(guān)系學(xué)生能夠解決形如X+12=47、（23+X+18）÷2=30簡(jiǎn)單或較復(fù)雜的一元一次方程；但一遇上類似X+6=3X兩邊帶未知數(shù)的方程時(shí)，學(xué)生運(yùn)用算術(shù)法來求解的過程明顯有困難。
而且對(duì)學(xué)生而言，在小學(xué)階段依據(jù)算術(shù)法解方程思想越鞏固（滬教版教材從第七冊(cè)開始，就要求學(xué)生運(yùn)用四則運(yùn)算關(guān)系熟練地求出方框中的未知數(shù)），這樣的教學(xué)后果會(huì)造成學(xué)生到了初中后，方程教學(xué)的負(fù)遷移就越明顯，入門障礙就越大。
所以引發(fā)筆者這樣的思考：關(guān)于“等式性質(zhì)”這一內(nèi)容我們的課標(biāo)是怎么規(guī)定的？其他版本的教材中是否出現(xiàn)“等式性質(zhì)”這一內(nèi)容？在小學(xué)五年級(jí)進(jìn)行“等式性質(zhì)”教學(xué)是否符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)？
二、研讀與比較
基于上述所提問題，筆者進(jìn)行了以下的實(shí)踐：
（一）研讀國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)有關(guān)對(duì)“式與方程”的規(guī)定
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程課標(biāo)（2011版）》中提出“了解等式的性質(zhì)，能夠用等式的性質(zhì)解簡(jiǎn)單的方程”。另外，對(duì)于解方程，《標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》明確“用等式的性質(zhì)解簡(jiǎn)單的方程”。等式的性質(zhì)反映了方程的本質(zhì)，將未知數(shù)和已知數(shù)同等看待，是代數(shù)思想的本質(zhì)之一。開始從算術(shù)方法到代數(shù)方法可能顯得繁瑣，特別是對(duì)于簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系，算術(shù)的方法操作起來容易些，但在解簡(jiǎn)單方程時(shí)還是應(yīng)當(dāng)用等式性質(zhì)，一方面體現(xiàn)代數(shù)的方法的本質(zhì)，另一方面也是與第三學(xué)段（中學(xué)）學(xué)習(xí)方程的思路一致。
（二）比對(duì)滬教版一期課程標(biāo)準(zhǔn)與二期課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)“等式性質(zhì)”內(nèi)容的規(guī)定
通過比對(duì)滬教版兩期的課程標(biāo)準(zhǔn)（如下表）（表略），我們不難發(fā)現(xiàn)對(duì)“等式性質(zhì)”這一教學(xué)內(nèi)容的規(guī)定，在一期課改時(shí)是放入小學(xué)階段的，但到了二期課改就從小學(xué)階段中移除了。由于課標(biāo)的指向變化了，所以導(dǎo)致相應(yīng)的教材亦是如此，一期課改的教材將“等式性質(zhì)”這一內(nèi)容編在了四年級(jí)第二學(xué)期中，二期課改教材就沒有該內(nèi)容了。
（三）查閱多種教材版本，比較其內(nèi)容編排
在了解了《課標(biāo)》規(guī)定后，查閱了人教版、蘇教版、北師大版關(guān)于《簡(jiǎn)易方程》中解方程方法介紹的編排內(nèi)容，又采集了滬教版關(guān)于這章的編寫內(nèi)容（如下表格）（表略），發(fā)現(xiàn)前三個(gè)版本都明確要求學(xué)生運(yùn)用等式性質(zhì)來解答方程，但我們滬教版還是要求學(xué)生運(yùn)用算術(shù)法求解方程的。
通過比較，國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)“等式性質(zhì)”放于小學(xué)階段學(xué)習(xí)有明確規(guī)定，說明專家團(tuán)隊(duì)是建議在此學(xué)段進(jìn)行“等式性質(zhì)”學(xué)習(xí)的。另外，比較了國(guó)內(nèi)具有代表性的多種版本教材對(duì)于“等式性質(zhì)”的編寫，和國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)完全吻合。不禁自問：上海的課程標(biāo)準(zhǔn)沒有這樣的規(guī)定，小學(xué)階段教材自然也就缺少“等式性質(zhì)”這一內(nèi)容了，可學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況又是十分需要這一知識(shí)。能不能在教學(xué)中將這一知識(shí)彌補(bǔ)進(jìn)去？如果要補(bǔ)在什么地方比較適合呢？學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況又會(huì)如何？
三、課程內(nèi)容的思考與調(diào)整
（一）思考
通過比較以上四個(gè)版本關(guān)于《簡(jiǎn)易方程---解方程》的編排，作為執(zhí)教者會(huì)思考：像這種依據(jù)加減法或乘除法的互逆關(guān)系來解方程的方法，一到初中就會(huì)被“有理數(shù)運(yùn)算律、消元“等方法取代。而且這些方法不利于中學(xué)所學(xué)的方程解法的延伸，對(duì)學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)也會(huì)產(chǎn)生干擾。竟然如此，在教學(xué)這個(gè)內(nèi)容時(shí)，能不能借鑒其他三個(gè)版本的編排內(nèi)容，緊緊圍繞《課標(biāo)（2011版）》將“等式性質(zhì)”作為小學(xué)解方程的另一種方法呢？
（二）調(diào)整實(shí)施
在以上前期思考下，筆者主要借鑒北師大版對(duì)教材教學(xué)內(nèi)容編排的基礎(chǔ)上，重新的調(diào)整及補(bǔ)充了課程內(nèi)容。具體調(diào)整補(bǔ)充如下表：（表略）
四、課程內(nèi)容實(shí)施后的實(shí)際現(xiàn)象與效果
筆者按照上述的分析，將等式性質(zhì)（一）與加減法關(guān)系、等式性質(zhì)（二）與乘除法關(guān)系進(jìn)行了融合，并分二個(gè)課時(shí)進(jìn)行教學(xué)。
在課堂上，一開始學(xué)生解答形如：x+a=b，x-a=b，ax=b，x÷a=b（a≠0）未知數(shù)在一邊的方程時(shí)都不愿意運(yùn)用等式性質(zhì)來求解。從四年級(jí)第一學(xué)期開始學(xué)生已經(jīng)對(duì)運(yùn)用算術(shù)法“求（ ）中的未知數(shù)”嫻熟有加，在不斷地操練中，學(xué)生積累了比較豐富的感性經(jīng)驗(yàn)，形成了一定的解題定勢(shì)，所以就算學(xué)生了解了等式性質(zhì)，但他們的第一反應(yīng)還是想到用加減法或乘除法的數(shù)量關(guān)系來求解，也是情理之中的事。
但當(dāng)學(xué)生遇到“X+6=3X”一題時(shí)，他們的解法出現(xiàn)了分化的現(xiàn)象：近三分之一的學(xué)生將“6”看作是一個(gè)加數(shù)，把X看成是另一個(gè)加數(shù)，利用“一個(gè)加數(shù)=和-另一個(gè)加數(shù)”的數(shù)量關(guān)系求得了X的值；剩下的學(xué)生有一部分開始也想到了利用加減法關(guān)系來求解，因?yàn)槭冀K出現(xiàn)“X=3X-6”或“3X-6=X”兩邊都帶X的變式，無法成功地將未知數(shù)X移至等式一邊而放棄舊方法，想到了等式性質(zhì)這一新方法，有的學(xué)生提出質(zhì)疑認(rèn)為“此題不能解”。
面對(duì)學(xué)生不同的認(rèn)知沖突，執(zhí)教者將事先準(zhǔn)備好的“利用等式性質(zhì)具體解題的學(xué)習(xí)材料”以信封的形式提供給有需要的學(xué)生，讓他們通過閱讀學(xué)習(xí)材料來嘗試獨(dú)立解答。從課堂的實(shí)際反饋來看，在剩下的學(xué)生中多數(shù)學(xué)生能通過自學(xué)，成功的運(yùn)用等式性質(zhì)求得了未知數(shù)X的值。具體過程是：“X+6-X=3X-X，2X=6，X=3”。隨后，又安排學(xué)生們對(duì)兩種解法進(jìn)行比較，最終得出選擇適合自己和題目類型的解方程方法才是最佳方法的觀點(diǎn)。
摘 要：小學(xué)數(shù)學(xué)思維在學(xué)生學(xué)習(xí)中的表現(xiàn)形式是多重的，梳理思維表現(xiàn)的基本形式，能幫助學(xué)生去繁除難，達(dá)到提高學(xué)習(xí)效果的目的。希望廣大的小學(xué)數(shù)學(xué)教師能在思維基本表現(xiàn)形式上深入研究，對(duì)實(shí)際教學(xué)活動(dòng)發(fā)揮出積極導(dǎo)向作用。
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)化；凝聚性；互補(bǔ)與整合
中圖分類號(hào)：G622 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2016）08-103-01
小學(xué)數(shù)學(xué)是一本比較講究思維教學(xué)的基本學(xué)科。數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生思維習(xí)慣的養(yǎng)成，對(duì)于熟記概念，理清邏輯關(guān)系，開闊學(xué)生解題思路具有重要的意義。小學(xué)數(shù)學(xué)思維在學(xué)生學(xué)習(xí)中的表現(xiàn)形式是多重的，梳理思維表現(xiàn)的基本形式，能幫助學(xué)生去繁除難，達(dá)到提高學(xué)習(xí)效果的目的。
一、基本表現(xiàn)形式之一：思維純數(shù)學(xué)化
眾所周知，強(qiáng)調(diào)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系正是新一輪數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)重要特征。“數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容一定要充分考慮數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程中人類的活動(dòng)軌跡，貼近學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)生活，不斷溝通生活中的數(shù)學(xué)與教科書上數(shù)學(xué)的聯(lián)系，使生活和數(shù)學(xué)融為一體。”就努力改變傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育嚴(yán)重脫離實(shí)際的弊病而言，這一做法是完全正確的；但是，從更為深入的角度去分析，我們?cè)诖擞置媾R著這樣一個(gè)問題，即應(yīng)當(dāng)如何去處理“日常數(shù)學(xué)”與“學(xué)校數(shù)學(xué)”之間的關(guān)系。事實(shí)上，即使就最為初等的數(shù)學(xué)內(nèi)容而言，我們也可清楚地看到數(shù)學(xué)的抽象特點(diǎn)，而這就已包括了由“日常數(shù)學(xué)”向“學(xué)校數(shù)學(xué)”的重要過渡。例如，在幾何題材的教學(xué)中，無論是教師或?qū)W生都清楚地知道，我們的研究對(duì)象并非教師手中的那個(gè)木制三角尺，也不是在黑板上或紙上所畫的那個(gè)具體的三角形，而是更為一般的三角形的概念，這事實(shí)上就已經(jīng)包括了由現(xiàn)實(shí)原型向相應(yīng)的“數(shù)學(xué)模式”的過渡。再如，在學(xué)習(xí)圓柱的表面積計(jì)算公式時(shí)，我們必須讓學(xué)生知道，圓的半徑、直徑的求法，圓的周長(zhǎng)的求法，圓的面積的求法，圓柱的側(cè)面積的求法。因?yàn)檫@些知識(shí)是相互聯(lián)系非常密切的，是由淺入深的知識(shí)網(wǎng)。在哪一步摔了跤，都不能順利解題。因?yàn)橹R(shí)之間的聯(lián)系非常密切。掌握了這一點(diǎn)，我們教數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)，就有章可循了。數(shù)學(xué)上的每個(gè)知識(shí)點(diǎn)，都是互相聯(lián)系的，我們必須打好每一步的基礎(chǔ)，一步踩不實(shí)就會(huì)踏空，后果是嚴(yán)重的。因此，我們必須按數(shù)學(xué)的自身特點(diǎn)為小學(xué)生打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。
二、基本表現(xiàn)形式之二：數(shù)學(xué)思維的凝聚性
由以下關(guān)于算術(shù)思維基本形式的分析可以看出，思維的分析相對(duì)于具體知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)而言并非某種外加的成分，而是有著重要的指導(dǎo)意義。正是現(xiàn)代關(guān)于數(shù)學(xué)思維研究的一項(xiàng)重要成果，即指明了所謂的“凝聚”，也即由“過程”向“對(duì)象”的轉(zhuǎn)化，構(gòu)成了算術(shù)以及代數(shù)思維的基本形式。這也就是說，在數(shù)學(xué)特別是算術(shù)和代數(shù)中有不少概念在最初是作為一個(gè)過程得到引進(jìn)的，但最終卻又轉(zhuǎn)化成了一個(gè)對(duì)象──對(duì)此我們不僅可以具體地研究它們的性質(zhì)，也可以此為直接對(duì)象去施行進(jìn)一步的運(yùn)算。例如，加減法在最初都是作為一種過程得到引進(jìn)的，即代表了這樣的“輸入――輸出”過程：由兩個(gè)加數(shù)（被減數(shù)與減數(shù)）我們就可求得相應(yīng)的和（差）；然而，隨著學(xué)習(xí)的深入，這些運(yùn)算又逐漸獲得了新的意義：它們已不再僅僅被看成一個(gè)過程，而且也被認(rèn)為是一個(gè)特定的數(shù)學(xué)對(duì)象，我們可具體地去指明它們所具有的各種性質(zhì)，如交換律、結(jié)合律等，從而，就其心理表征而言，就已經(jīng)歷了一個(gè)“凝聚”的過程，即由一個(gè)包含多個(gè)步驟的運(yùn)作過程凝聚成了單一的數(shù)學(xué)對(duì)象。
三、基本表現(xiàn)形式之三：數(shù)學(xué)思維存在互補(bǔ)與整合
以上關(guān)于“過程――對(duì)象性思維”的論述顯然已從一個(gè)側(cè)面表明了互補(bǔ)與整合這一思維形式對(duì)于數(shù)學(xué)的特殊重要性。以下再以有理數(shù)的學(xué)習(xí)為例對(duì)此作出進(jìn)一步的說明：首先，我們應(yīng)注意同一概念的不同解釋間的互補(bǔ)與整合。具體地說，與加減法一樣，有理數(shù)的概念也存在多種不同的解釋，如部分與整體的關(guān)系、商、算子或度量等等；但是，正如人們所已普遍認(rèn)識(shí)到了的，就有理數(shù)的理解而言，關(guān)鍵恰又在于不應(yīng)停留于某種特定的解釋，更不能將各種解釋看成互不相關(guān)、彼此獨(dú)立的；而應(yīng)對(duì)有理數(shù)的各種解釋（或者說相應(yīng)的心理建構(gòu)）很好地加以整合，也即應(yīng)當(dāng)將所有這些解釋都看成同一概念的不同側(cè)面，并能根據(jù)情況與需要在這些解釋之間靈活地作出必要的轉(zhuǎn)換。其次，我們應(yīng)注意不同表述形式之間的相互補(bǔ)充與相互作用。這也正是新一輪小學(xué)數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)重要特征，即突出強(qiáng)調(diào)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐、主動(dòng)探索與合作交流：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依賴模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式……教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鹘涣鞯倪^程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。”由于實(shí)踐活動(dòng)（包括感性經(jīng)驗(yàn)）構(gòu)成了數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)活動(dòng)的重要基礎(chǔ)，合作交流顯然應(yīng)被看成學(xué)習(xí)活動(dòng)社會(huì)性質(zhì)的直接體現(xiàn)和必然要求，因此，從這樣的角度去分析，上述的主張就是完全合理的；然而，需要強(qiáng)調(diào)的是，除去對(duì)于各種學(xué)習(xí)方式與表述形式的直接肯定以外，我們應(yīng)更加重視在不同學(xué)習(xí)方式或表述形式之間所存在的重要聯(lián)系與必要互補(bǔ)。這正如美國(guó)學(xué)者萊許所指出的：“實(shí)物操作只是數(shù)學(xué)概念發(fā)展的一個(gè)方面，其他的表述方式──如圖像、書面語言、符號(hào)語言、現(xiàn)實(shí)情景等──同樣也發(fā)揮了十分重要的作用。”
綜上可見，小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容體現(xiàn)了一些十分重要的數(shù)學(xué)思維形式及其特征性質(zhì)，因此，在教學(xué)中我們應(yīng)作出切實(shí)的努力以很好地落實(shí)“幫助學(xué)生學(xué)會(huì)基本的數(shù)學(xué)思想方法”這一重要目標(biāo)。對(duì)于數(shù)學(xué)思維的突出強(qiáng)調(diào)是國(guó)際范圍內(nèi)新一輪數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)重要特征，如由美國(guó)的《學(xué)校數(shù)學(xué)課程與評(píng)估的標(biāo)準(zhǔn)》和我國(guó)的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）關(guān)于數(shù)學(xué)教育目標(biāo)的論述中就可清楚地看出。然而，就小學(xué)數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)實(shí)而言，上述的理念還不能說已經(jīng)得到了很好的貫徹，造成這一現(xiàn)象的一個(gè)重要原因就是以下的認(rèn)識(shí)：小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容過于簡(jiǎn)單，因而不可能很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn)。希望廣大的小學(xué)數(shù)學(xué)教師能在思維基本表現(xiàn)形式上深入研究，對(duì)實(shí)際教學(xué)活動(dòng)發(fā)揮出積極導(dǎo)向作用。
一、培養(yǎng)學(xué)生聽課能力
聽課是教學(xué)中最為重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，多數(shù)學(xué)生在聽課時(shí)不懂得方法，學(xué)習(xí)效果不明顯。怎樣教學(xué)生聽好課？
第一，教導(dǎo)學(xué)生在聽課過程中必須專心，不要身在教室心在外。
第二，抓重點(diǎn)，做筆記。在上課時(shí)，教師會(huì)強(qiáng)調(diào)某些問題，這就是本節(jié)的重點(diǎn)，學(xué)生在聽課時(shí)，要將知識(shí)點(diǎn)記下來，以便于復(fù)習(xí)和鞏固。
第三，預(yù)習(xí)中打記號(hào)的知識(shí)點(diǎn)，應(yīng)“認(rèn)真聽，多提問”，保證做到聽懂自己打記號(hào)的知識(shí)。
第四，積極回答教師上課的提問，做到先思考后回答。
第五，認(rèn)真完成課堂練習(xí)，將所學(xué)知識(shí)當(dāng)堂鞏固，發(fā)現(xiàn)自己在這一節(jié)中的不足之處，多想多問。
二、指導(dǎo)學(xué)生掌握思維方法
歸納演繹。歸納就是將多個(gè)共同點(diǎn)的問題結(jié)合在一起，找到他們的共同點(diǎn)，從而得出結(jié)論的方法。演繹就是將歸納出的結(jié)論運(yùn)用到解題中來的一種方法，如完全平方公式，是從一些例題中歸納出來的，當(dāng)把它們運(yùn)用到解決問題中來時(shí)，也就是演繹。只要學(xué)生掌握了這兩種方法，并有效地結(jié)合起來，這樣便能從特殊到一般再由一般解決特殊，使學(xué)生的思維得到了發(fā)展。
類比與聯(lián)想。這是高中較為重要的思維方法，類比即為將多個(gè)事物進(jìn)行比較，找出異同的思維方法。如“完全平方公式”和“平方差公式”的類比，可增強(qiáng)對(duì)兩個(gè)公式的理解，并可使學(xué)生對(duì)公式的運(yùn)用有進(jìn)一步的幫助。聯(lián)想，即在思考某一事物時(shí)想到相關(guān)問題的思維方法。
三、了解學(xué)生實(shí)際情況，創(chuàng)設(shè)適合的學(xué)習(xí)背景
一、小組合作學(xué)習(xí)中的教師
1.合作學(xué)習(xí)小組的分組。
教師對(duì)全班學(xué)生的分組要進(jìn)行認(rèn)真的研究，每個(gè)組中成員的組織能力、學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)成績(jī)、思維活躍程度、性別等都要均衡。要確定每個(gè)成員的分工，可以采取輪換制。
2.小組合作學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計(jì)。
教師備課時(shí)要在深入研究教材地基礎(chǔ)上，明確所要體現(xiàn)的新理念。小組合作學(xué)習(xí)的內(nèi)容要有一定難度，有一定探究和討論價(jià)值，問題要有一定的開放性。
3.小組合作學(xué)習(xí)的課堂實(shí)施。
在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，整節(jié)課完全運(yùn)用合作學(xué)習(xí)的情況比較少，大部分教學(xué)要把班級(jí)授課制和小組合作學(xué)習(xí)結(jié)合起來，靈活運(yùn)用。在小組活動(dòng)過程中，教師要加強(qiáng)對(duì)每個(gè)小組的監(jiān)督和指導(dǎo)，尤其關(guān)注困難學(xué)生在活動(dòng)中的表現(xiàn)，讓他們多一些發(fā)言的機(jī)會(huì)。
4.小組合作學(xué)習(xí)的課后總結(jié)。
教師可以通過課堂觀察、作業(yè)批改、找學(xué)生談話等方式收集信息，反思取得成功的經(jīng)驗(yàn)和不足之處的教訓(xùn)，進(jìn)而針對(duì)每個(gè)小組的表現(xiàn)再做具體的指導(dǎo)，也要促使每個(gè)小組都進(jìn)行反思，這樣慢慢會(huì)形成小組合作學(xué)習(xí)的良性循環(huán)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。
二、小組合作學(xué)習(xí)中的問題
1.矛盾型問題。
即問題有意識(shí)地挑起學(xué)生認(rèn)識(shí)中的矛盾，使學(xué)生意識(shí)中的矛盾激化，從而產(chǎn)生問題情境，引發(fā)學(xué)生思考的興趣。在教學(xué)有理數(shù)大小比較時(shí)，對(duì)于具體數(shù)的比較學(xué)生很容易掌握。
2.假設(shè)型問題。
即要求學(xué)生以已知的內(nèi)容為前提進(jìn)行猜測(cè)、推斷。如教學(xué)有理數(shù)加減法去括號(hào)時(shí)，教師讓學(xué)生根據(jù)乘法分配律猜測(cè)有理數(shù)加減法去括號(hào)會(huì)有什么樣的性質(zhì)，再讓學(xué)生在小組里進(jìn)行合作探究。由于答案的不確定性，給學(xué)生留下了廣闊的思考空間。
3.發(fā)散型問題。
即要求學(xué)生緊密圍繞某一問題，畝嗖嗝妗⒍嚳轎喚行思考，以探求問題的多種方法。
三、小組合作學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)
1.小組學(xué)習(xí)任務(wù)的分配。
在小組合作學(xué)習(xí)之前，教師還要通過創(chuàng)設(shè)情境或提出有趣的富有挑戰(zhàn)性的問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性；啟發(fā)學(xué)生善于運(yùn)用已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)解決問題。
2.小組合作探究。
每個(gè)小組明確了學(xué)習(xí)任務(wù)之后，教師要在組間巡視，針對(duì)學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的各種問題及時(shí)引導(dǎo)，幫助學(xué)生提高合作技巧，并注意觀察學(xué)生學(xué)習(xí)和人際關(guān)系等各方面的表現(xiàn)。讓學(xué)有困難的學(xué)生多思考、發(fā)言，保證他們達(dá)到基本要求；同時(shí)，讓學(xué)有余力的學(xué)生有機(jī)會(huì)發(fā)揮自己的潛能。
3.全班交流。
讓每個(gè)小組的代表向全班進(jìn)行學(xué)習(xí)成果匯報(bào)，了解每個(gè)小組學(xué)習(xí)的情況，對(duì)于每個(gè)小組提出的疑問，可以請(qǐng)其他小組介紹解決辦法。
四、小組合作學(xué)習(xí)的注意點(diǎn)
1.處理好獨(dú)立學(xué)習(xí)與合作學(xué)習(xí)的關(guān)系。
小組合作學(xué)習(xí)離開了獨(dú)立學(xué)習(xí)這個(gè)前提，就如水上浮萍，落不到實(shí)處，也就達(dá)不到合作學(xué)習(xí)的目的。如果只有小組合作學(xué)習(xí)而缺乏獨(dú)立學(xué)習(xí)，長(zhǎng)此以往，學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力將喪失。教學(xué)中，當(dāng)提出一個(gè)問題后，首先應(yīng)給學(xué)生充分獨(dú)立學(xué)習(xí)的時(shí)間，然后組織學(xué)生小組合作學(xué)習(xí)，在組內(nèi)交流自己的看法，形成“統(tǒng)一”意見后，再到全班進(jìn)行交流，使學(xué)生形成正確認(rèn)識(shí)，并在這一過程中體驗(yàn)積極的情感。
2.處理好形式和目標(biāo)的關(guān)系。
單從小組合作學(xué)習(xí)不能光注重形式，任何教學(xué)組織形式都是為教學(xué)目標(biāo)服務(wù)的。教師的一切教學(xué)行為的出發(fā)點(diǎn)和歸宿都是為了學(xué)生個(gè)性的全面發(fā)展。小組合作學(xué)了讓學(xué)生掌握知識(shí)技能、培養(yǎng)合作的意識(shí)和能力外，還要培養(yǎng)學(xué)生探究的能力、健康的心理、良好的情感態(tài)度。不能讓好學(xué)生一個(gè)人代替小組匯報(bào)交流，而要培養(yǎng)小組成員建立一種平等、民主、互助的關(guān)系，使之對(duì)小組的學(xué)習(xí)任務(wù)建立一種責(zé)任感，以保證小組合作學(xué)習(xí)不放任自流或流于形式。
3.處理好教師與學(xué)生的關(guān)系。
合作學(xué)習(xí)從學(xué)生主體的認(rèn)識(shí)特點(diǎn)出發(fā)，巧妙地運(yùn)用了生生之間的互動(dòng)，使他們有機(jī)會(huì)進(jìn)行相互切磋，共同提高。在傳統(tǒng)課堂上許多原先由教師完成的工作現(xiàn)在就可以由學(xué)生小組來完成，教師真正成了學(xué)生學(xué)習(xí)過程的促進(jìn)者。學(xué)生由于主體性得到了體現(xiàn)，自然會(huì)產(chǎn)生求知和探究的欲望，會(huì)把學(xué)習(xí)當(dāng)作樂事，最終進(jìn)入學(xué)會(huì)、會(huì)學(xué)和樂學(xué)的境地。師生負(fù)擔(dān)也可以由此大減，教學(xué)的良性循環(huán)也會(huì)因此而建立起來。
4.小組要明確分工。
教師首先根據(jù)班內(nèi)的學(xué)生實(shí)際，有意識(shí)的將不同類別、不同層次的學(xué)生按“組內(nèi)異質(zhì)”的原則進(jìn)行分組，其目的是為了讓學(xué)生在合作學(xué)習(xí)的過程中做到組內(nèi)合作、組間競(jìng)爭(zhēng)。讓每個(gè)學(xué)生在合作學(xué)習(xí)中都有展示自我的機(jī)會(huì)，讓學(xué)習(xí)困難的學(xué)生在互幫互助中不斷提升，獲得自信；讓學(xué)習(xí)優(yōu)良的學(xué)生更有提高的平臺(tái)，科學(xué)的分組為你教學(xué)的成功奠定了基礎(chǔ)。對(duì)組內(nèi)成員的分工合作我本著：人人有事做，誰也少不了誰的分工原則。分別設(shè)置了作業(yè)監(jiān)督員，紀(jì)律監(jiān)督員，討論組織者，主要發(fā)言人。小組內(nèi)的角色應(yīng)該互相輪換，增進(jìn)生生互動(dòng)的有效性。
參考文獻(xiàn)：
數(shù)的產(chǎn)生既來源于實(shí)際生產(chǎn)和生活的需要，又來源于研究數(shù)學(xué)問題的需要，例如，為區(qū)別收入1元和支出1元，可以將它們分別記為1元和-1元，而有了-1，像1-2這類“小減大”的數(shù)學(xué)問題也得以解決。
每個(gè)數(shù)都是一個(gè)具體確定的值，由數(shù)組成的算式的運(yùn)算結(jié)果也是確定的值，例如，1+2表示l和2這兩個(gè)大小確定的值相加，所得結(jié)果3也是一個(gè)確定的值，正因?yàn)閿?shù)具有確定性，所以人們研究確定的量時(shí)離不開數(shù)，
數(shù)的確定性雖然使數(shù)能精確地表示量的大小，但是又使數(shù)的使用受到限制，研究一股性問題時(shí)，只有具體的數(shù)就不夠了，例如，要用式子表示加法交換律，就不能用l+2：2+l，也不能用2+3=3+2，因?yàn)檫@樣的式子都只能表示“某兩個(gè)具體的數(shù)相加時(shí)，交換加數(shù)的位置，和不變”，而加法交換律是一般運(yùn)算律，它適用于任意兩個(gè)加數(shù)，不能用某兩個(gè)具體的數(shù)來表示，研究含有未知數(shù)的數(shù)量關(guān)系時(shí)，同樣不能只用具體的數(shù)，例如，要用式子表示“某個(gè)數(shù)的3倍比另一個(gè)數(shù)的2倍大1”，就要注意這里的“某個(gè)數(shù)”和“”一個(gè)數(shù)”都是未知數(shù)，雖然用具體的數(shù)可列出3×5=2x7+l，3x7=2x10+1，3x9=2x13+1等一系列式子，但是滿足這一數(shù)量關(guān)系的“某個(gè)數(shù)”和“另一個(gè)數(shù)”有無窮多組，用有限多個(gè)式子無法完全表示它們。
隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，人們?cè)絹碓疥P(guān)注一般性問題，含有未知數(shù)的數(shù)量關(guān)系成為人們經(jīng)常研究的內(nèi)容，這促使數(shù)學(xué)語言也要與時(shí)俱進(jìn)，突破只能使用具體的數(shù)的限制，為此，人們逐漸想到用抽象的符號(hào)代替具體的數(shù)，而字母就是一種使用起來很方便的符號(hào)，例如，用式子a+b=6+a表示加法交換律，這里的字母a和b沒有確定的值，它們可以表示任意兩個(gè)數(shù)，于是這個(gè)式子就有了一般性，義如，用式子3x=2y+1表示“某個(gè)數(shù)的3倍比另一個(gè)數(shù)的2倍大l”，這里的字母x和y沒有確定的值，它們可以表示滿足這一關(guān)系的任意兩個(gè)數(shù)，包括“x=5，y=7”“x=7，y=10”“x=9 y=13”等無窮多種情形。
代數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，清代學(xué)者華蘅芳在他和英國(guó)人傅蘭雅合譯的西方數(shù)學(xué)著作《代數(shù)學(xué)》的卷首寫道：“代數(shù)之法，無論何數(shù)，皆可以任何記號(hào)代之，”這顯示出代數(shù)的基本方法起源于用符號(hào)表樂數(shù)，
1591年，法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)（1540-1603）最先在數(shù)學(xué)著作中系統(tǒng)地用字母表示數(shù)，韋達(dá)認(rèn)為：用字母表示數(shù)，可使一般性問題成為研究對(duì)象，讓數(shù)學(xué)從傳統(tǒng)的側(cè)重于數(shù)的運(yùn)算的算術(shù)中得到發(fā)展，韋達(dá)的創(chuàng)舉促進(jìn)了代數(shù)學(xué)的誕生，因此他被后人稱為“代數(shù)學(xué)之父”。
有了用字母表示數(shù)的創(chuàng)舉，式子中便可以出現(xiàn)字母（字母還可以表示未知數(shù)），這樣的式子更適合用來研究一般性問題，所以這種由數(shù)與字母組成的式子成為代數(shù)研究的基本內(nèi)容。
人教版初中數(shù)學(xué)教科書的第二章是“整式的加減”，整式是一種最簡(jiǎn)單的代數(shù)式，加減法是最基本的整式運(yùn)算，運(yùn)算的主要方法是合并同類項(xiàng)，這一章是代數(shù)式內(nèi)容的入門章，也是大家后續(xù)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。
在代數(shù)式中，字母的地位比數(shù)要高，式子的分類，一般以其中字母的情況為標(biāo)準(zhǔn)，例如，區(qū)分整式與分式的方法是看分母中是否含有字母，整式中可以有分母，但分母中不能有字母，例如，a/2的分母中沒有字母，它屬于整式：2/a的分母中有字母，它不屬于整式，
因?yàn)檎街械淖帜甘怯脕肀硎緮?shù)的，所以它們可以像數(shù)一樣進(jìn)行運(yùn)算，數(shù)的運(yùn)算法則和規(guī)律對(duì)整式的運(yùn)算仍然適用，整式也有加減乘除四則運(yùn)算，人教版教科書中分兩次安排了這些內(nèi)容，第二章只討論整式的加減運(yùn)算，乘除運(yùn)算到八年級(jí)再討論，通過第一章的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道，在有理數(shù)的運(yùn)算中，減法可以轉(zhuǎn)化為加法，減去數(shù)a就等于加上它的相反數(shù)-a，這樣加減法就可以統(tǒng)一了，因此，整式的加減法也可以統(tǒng)一起來認(rèn)識(shí)，都看作求代數(shù)和的加法。
