時(shí)間：2023-05-30 10:17:50
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇一次函數(shù)，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
考點(diǎn)1 一次函數(shù)的圖象
例1 （山東德州卷）甲、乙兩人在一次百米賽跑中，路程s（米）與賽跑時(shí)間t（秒）的關(guān)系如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A. 甲、乙兩人的速度相同 B. 甲先到達(dá)終點(diǎn)
C. 乙用的時(shí)間短 D. 乙比甲跑的路程多
分析 從圖上看甲、乙兩人同時(shí)從百米的端點(diǎn)出發(fā)，運(yùn)動開始后乙就落到甲的后面，用的時(shí)間比甲長.于是，容易知道甲先到達(dá)終點(diǎn).
解 依題意，結(jié)合圖象可知甲先到達(dá)終點(diǎn)，故應(yīng)選B.
說明 求解函數(shù)圖象題，一定要善于從圖象中捕捉信息，從而使問題快速、準(zhǔn)確地得解.
考點(diǎn)2 一次函數(shù)的性質(zhì)
例2 （遼寧鞍山卷）在一次函數(shù)y=kx+2中，若y隨x的增大而增大，則它的圖象不經(jīng)過第 象限.
分析 已知的一次函數(shù)y隨x的增大而增大，即知k>0，而b=2>0，由此可以判定圖象所經(jīng)過的象限，進(jìn)而求解.
解 依題意，得k>0，而b>0，所以函數(shù)圖象所經(jīng)過的象限是第一、二、三象限，所以它的圖象不經(jīng)過第四象限.
說明 注意在正確地運(yùn)用一次函數(shù)性質(zhì)的同時(shí)，還必須注意題目中的關(guān)鍵性字眼，如“不經(jīng)過”，從而避免出現(xiàn)錯誤.
考點(diǎn)3 確定一次函數(shù)的解析式
說明 本題既考查了直線的平移知識，又考查一次函數(shù)與二元一次方程、不等式的關(guān)系，求解時(shí)要善于從條件出發(fā)，及時(shí)將問題轉(zhuǎn)化，從而正確求解.
考點(diǎn)5 一次函數(shù)的應(yīng)用
例5 （浙江紹興卷）某市出租車計(jì)費(fèi)方法如圖所示，x（km）表示行駛里程，y（元）表示車費(fèi)，請根據(jù)圖象回答下面的問題：
（1） 出租車的起步價(jià)是多少元？當(dāng)x>3時(shí)，求y與x的函數(shù)解析式.
（2） 若某乘客有一次乘出租車的車費(fèi)為32元，求這位乘客乘車的里程.
分析 （1） 由圖象可知，出租車在3km以內(nèi)（含3km）車費(fèi)保持不變，這說明出租車的起步價(jià)是8元. 而當(dāng)x>3時(shí)，圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，8）和（5，12），此時(shí)若設(shè)出該段直線的解析式，將這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入，構(gòu)造二元一次方程組即可求解. （2） 由求出的解析式，當(dāng)y=32時(shí)，構(gòu)造一元一次方程即可得解.
一、行程問題
例1（2013年湖北省宜昌市中考題）A、B兩地相距1 100米，甲從A地出發(fā)，乙從B地出發(fā)，相向而行，甲比乙先出發(fā)2分鐘，乙出發(fā)7分鐘后與甲相遇，設(shè)甲、乙兩人相距y米，甲行進(jìn)的時(shí)間為t分鐘，y與t之間的函數(shù)關(guān)系如圖1所示。請你結(jié)合圖像探究：
（1）甲的行進(jìn)速度為每分鐘＿＿＿米，m＝＿＿＿分鐘。
（2）求直線PQ對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式。
（3）求乙的行進(jìn)速度。
■
分析（1）由圖像知，2分鐘時(shí)，甲的行進(jìn)路程為1 100－980＝120（米），可得甲的行進(jìn)速度為60（米/分鐘），由圖像再結(jié)合題意可知，相遇時(shí)y＝0，此時(shí)m＝2+7＝9（分鐘）；（2）根據(jù)P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求直線PQ對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（3）應(yīng)用相遇時(shí)路程和為1 100米列方程，即可求乙的行進(jìn)速度。
解（1）甲的行進(jìn)速度＝■＝60（米/分鐘），m＝2+7＝9（分鐘）。
（2）設(shè)PQ所在直線的解析式為y＝kt+b。因?yàn)镻（0，1 100），Q（2，980）在直線PQ上，所以b=1 100,2k+b=980,解得k=-60,b=1100。所以直線PQ的函數(shù)關(guān)系式為
y＝－60t+1 100。
（3）設(shè)乙的行進(jìn)速度為x米/分鐘，由題意得60×9+7x＝1 100，解得x＝80（米／分鐘），所以乙的行進(jìn)速度為80米/分鐘。
二、方案選擇
例2（2013年湖北省襄陽市中考題）某社區(qū)活動中心為鼓勵居民加強(qiáng)體育鍛煉，準(zhǔn)備購買10副某種品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）個(gè)羽毛球，供社區(qū)居民免費(fèi)借用。該社區(qū)附近A、B兩家超市都有這種品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的標(biāo)價(jià)均為30元，每個(gè)羽毛球的標(biāo)價(jià)均為3元，目前兩家超市同時(shí)在做促銷活動。
A超市：所有商品均打九折（按標(biāo)價(jià)的90%）銷售；
B超市：買一副羽毛球拍送2個(gè)羽毛球。
設(shè)在A超市購買羽毛球拍和羽毛球的費(fèi)用為yA（元），在B超市購買羽毛球拍和羽毛球的費(fèi)用為yB（元）。請解答下列問題：
（1）分別寫出yA和yB與x之間的關(guān)系式；
（2）若該活動中心只在一家超市購買，你認(rèn)為在哪家超市購買更劃算？
（3）若每副球拍配15個(gè)羽毛球，請你幫助該活動中心設(shè)計(jì)出最省錢的購買方案。
分析（1）根據(jù)題意，直接寫出yA和yB與x之間的關(guān)系式。（2）問在第（1）問的基礎(chǔ)上，分類討論，得到對應(yīng)的自變量x的取值范圍。（3）問須在（2）問的基礎(chǔ)上再次分類討論，特別需要提醒的是，這里不再限制“只在一家超市購買”，所以要考慮到B超市免費(fèi)送羽毛球的情況，經(jīng)過計(jì)算、比較，得到最佳的購買方案。
解（1）依題意，得yA＝27x+270，yB＝30×10+3×（x-2）×10=30x+240。
（2）當(dāng)yA＝y(tǒng)B時(shí)，27x+270＝30x+240，解得x＝10；當(dāng)yA＞yB時(shí)，27x+270＞30x+240，解得x＜10；當(dāng)yA＜yB時(shí)，27x+270＜30x+240，解得x＞10。
所以當(dāng)2≤x＜10時(shí)，到B超市購買劃算；當(dāng)x＝10時(shí)，兩家超市都一樣；當(dāng)x＞10時(shí)，到A超市購買劃算。
（3）因?yàn)閤＝15＞10，所以①選擇在A超市購買，yA＝27×15+270＝675（元）；②可先在B超市購買10副羽毛球拍，送20個(gè)羽毛球，后在A超市購買剩下的羽毛球（10×15－20＝130個(gè)），則共需費(fèi)用：10×30+130×3×0.9＝651（元）。而651＜675，所以最省錢的購買方案是：先在B超市購買10副羽毛球拍，后在A超市購買130個(gè)羽毛球。
三、產(chǎn)品銷售
例3（2013年湖北省荊州市中考題）某個(gè)體戶購進(jìn)一批時(shí)令水果，20天銷售完畢。他將本次銷售情況進(jìn)行了跟蹤記錄，根據(jù)所記錄的數(shù)據(jù)可繪制如圖2所示的函數(shù)圖像，其中日銷售量y（千克）與銷售時(shí)間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2-甲所示，銷售單價(jià)p（元/千克）與銷售時(shí)間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2-乙所示。
（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）分別求出第10天和第15天的銷售金額。
■
分析（1）從圖像不難看出，y與x之間屬于分段函數(shù)關(guān)系，一段是正比例函數(shù)，一段是一次函數(shù)，根據(jù)圖像上的點(diǎn)(15，30)、(20，0)，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求解。（2）需要從圖2-甲中獲取第10天和第15天的日銷售量信息，從圖2-乙中計(jì)算這兩天的銷售單價(jià)，兩者之積即為銷售金額。
解（1）依題意得，當(dāng)0≤x≤15時(shí)，設(shè)其解析式為y＝kx，則有30＝15k，解得k＝2，所以y＝2x；當(dāng)15＜x≤20時(shí)，設(shè)其解析式為y＝kx+b，則有30=15k+b，0=20k+b。解得k=-6,b=120。
所以y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝2x（0≤x≤15），-6x+120（15＜x≤20）。
二輪專題匯編：一次函數(shù)
一、選擇題
1.
(2019陜西)若正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)O(a–1，4)，則a的值為
A．–1
B．0
C．1
D．2
2.
(2019上海)下列函數(shù)中，函數(shù)值隨自變量x的值增大而增大的是
A．
B．
C．
D．
3.
在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M，N在同一個(gè)正比例函數(shù)圖象上的是(
)
A.
M(2，－3)，N(－4，6)
B.
M(－2，3)，N(4，6)
C.
M(－2，－3)，N(4，－6)
D.
M(2，3)，N(－4，6)
4.
已知函數(shù)y＝kx＋b的圖象如圖，則y＝2kx＋b的圖象可能是(
)
5.
如圖，直線y＝ax＋b過點(diǎn)A(0，2)和點(diǎn)B(－3，0)，則方程ax＋b＝0的解是(
)
A.
x＝2
B.
x＝0
C.
x＝－1
D.
x＝－3
6.
已知一次函數(shù)y＝kx＋b－x的圖象與x軸的正半軸相交，且函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大，則k，b的取值情況為(
)
A.
k＞1，b＜0
B.
k＞1，b＞0
C.
k＞0，b＞0
D.
k＞0，b＜0
7.
如圖，一直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，P是線段AB上任意一點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，過P分別作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形的周長為10，則該直線的函數(shù)表達(dá)式是(
)
A.
y＝x＋5
B.
y＝x＋10
C.
y＝－x＋5
D.
y＝－x＋10
8.
一次函數(shù)y＝x－b與y＝x－1的圖象之間的距離等于3，則b的值為(
)
A.
－2或4
B.
2或－4
C.
4或－6
D.
－4或6
二、填空題
9.
直線y=2x-1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為
.
10.
將正比例函數(shù)y＝2x的圖象向上平移3個(gè)單位，所得的直線不經(jīng)過第________象限．
11.
若一次函數(shù)y＝－2x＋b(b為常數(shù))的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則b的值可以是________(寫出一個(gè)即可)．
12.
如圖，直線y=kx+b(k
.
13.
將直線y＝2x＋1向下平移3個(gè)單位長度后所得直線的解析式是____________．
14.
已知二元一次方程組的解為，則在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝x＋5與直線l2：y＝－x－1的交點(diǎn)坐標(biāo)為________．
15.
如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－4，0)，直線y＝x＋n與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)B，C，連接AC，如果∠ACD＝90°，則n的值為________．
16.
已知點(diǎn)A(1,5)，B(3，－1)，點(diǎn)M在x軸上，當(dāng)AM－BM最大時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為____________．
三、解答題
17.
如圖，一次函數(shù)y1＝k1x＋b與反比例函數(shù)y2＝(x＜0)的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，且與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(－6，0)，(0，6)，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2.
(1)試確定反比例函數(shù)的解析式；
(2)求AOB的面積；
(3)直接寫出不等式k1x＋b
18.
根據(jù)衛(wèi)生防疫部門要求，游泳池必須定期換水、清洗．某游泳池周五早上8∶00打開排水孔開始排水，排水孔的排水速度保持不變，期間因清洗游泳池需要暫停排水，游泳池的水在11∶30全部排完，游泳池內(nèi)的水量Q(m3)和開始排水后的時(shí)間t(h)之間的函數(shù)圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題：
(1)暫停排水需要多少時(shí)間？排水孔的排水速度是多少？
(2)當(dāng)2≤t≤3.5時(shí)，求Q關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式．
19.
如圖所示，已知正比例函數(shù)和，過點(diǎn)作軸的垂線，與這兩個(gè)正比例函數(shù)的圖象分別交與兩點(diǎn)，求三角形的面積（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）。
20.
如圖，過點(diǎn)A(2，0)的兩條直線l1，l2分別交y軸于點(diǎn)B，C，其中點(diǎn)B在原點(diǎn)上方，點(diǎn)C在原點(diǎn)下方，已知AB＝.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(2)若ABC的面積為4，求直線l2的解析式．
21.
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，菱形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，)．
(1)求圖象過點(diǎn)B的反比例函數(shù)的解析式；
(2)求圖象過點(diǎn)A、B的一次函數(shù)的解析式；
(3)在第一象限內(nèi)，當(dāng)以上所求一次函數(shù)的圖象在所求反比例函數(shù)的圖象下方時(shí)，請直接寫出自變量x的取值范圍．
22.
已知某種水果的批發(fā)單價(jià)與批發(fā)量的函數(shù)關(guān)系如圖①所示．
(1)請說明圖中①、②兩段函數(shù)圖象的實(shí)際意義．
圖①
(2)寫出批發(fā)該種水果的資金金額w(元)與批發(fā)量n(kg)之間的函數(shù)關(guān)系式；在上圖的坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)圖象；指出金額在什么范圍內(nèi)，以同樣的資金可以批發(fā)到較多數(shù)量的該種水果．
(3)經(jīng)調(diào)查，某經(jīng)銷商銷售該種水果的日最高銷量與零售價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系如圖②所示．該經(jīng)銷商擬每日售出60
kg以上該種水果，且當(dāng)日零售價(jià)不變，請你幫助該經(jīng)銷商設(shè)計(jì)進(jìn)貨和銷售的方案，使得當(dāng)日獲得的利潤最大．
圖②
23.
如圖，直線l經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)，且與雙曲線(x＞0)交于點(diǎn)B(2，1)．過點(diǎn)(p＞1)作x軸的平行線分別交曲線(x＞0)和(x＜0)于M、N兩點(diǎn)．
（1）求m的值及直線l的解析式；
（2）若點(diǎn)P在直線y＝2上，求證：PMB∽PNA；
（3）是否存在實(shí)數(shù)p，使得SAMN＝4SAMP？若存在，請求出所有滿足條件的p的值；若不存在，請說明理由．
24.
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l:y=kx+1(k≠0)與直線x=k，直線y=-k分別交于點(diǎn)A，B，直線x=k與直線y=-k交于點(diǎn)C.
(1)求直線l與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo).
(2)橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).記線段AB，BC，CA圍成的區(qū)域(不含邊界)為W.
當(dāng)k=2時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象，求區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù).
2021中考數(shù)學(xué)
二輪專題匯編：一次函數(shù)-答案
一、選擇題
1.
【答案】A
【解析】函數(shù)過O(a–1，4)，，，故選A．
2.
【答案】A
【解析】A、該函數(shù)圖象是直線，位于第一、三象限，隨增大而增大，故本選項(xiàng)正確；
B、該函數(shù)圖象是直線，位于第二、四象限，隨增大而減小，故本選項(xiàng)錯誤；
C、該函數(shù)圖象是雙曲線，位于第一、三象限，在每一象限內(nèi)，隨增大而減小，故本選項(xiàng)錯誤；
D、該函數(shù)圖象是雙曲線，位于第二、四象限，在每一象限內(nèi)，隨增大而增大，故本選項(xiàng)錯誤．
故選A．
3.
【答案】A 【解析】判斷兩個(gè)點(diǎn)是否在同一個(gè)正比例函數(shù)圖象上，只需看它們的橫、縱坐標(biāo)比值是否相等．＝，只有A選項(xiàng)的兩個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值相等，因此選A.
4.
【答案】C 【解析】由已知一次函數(shù)經(jīng)過(0，1)，可求得k>0，b＝1，則畫出圖象草圖，故選C.
5.
【答案】D 【解析】方程ax＋b＝0的解就是一元一次函數(shù)y＝ax＋b的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即x＝－3.
6.
【答案】A 【解析】原解析式可變形為y＝(k－1)x＋b，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大，k－1>0，k>1，圖象與x軸正半軸相交，b1，b
7.
【答案】C 【解析】設(shè)P(x，y)，則由題意得2(x＋y)＝10，x＋y＝5，過點(diǎn)P的直線函數(shù)表達(dá)式為y＝－x＋5，故選C.
8.
【答案】D 【解析】直線y＝x－1
與x軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為(
，0)，與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，－1)，OA＝，OC＝1，直線y＝x－b與直線y＝x－1的距離為3，可分為兩種情況：(1)如解圖①，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，－b)，則OB＝－b，BC＝－b＋1，易證OAC∽DBC，則＝
，即＝，解得b＝－4；(2)如解圖②，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0，－b)，則CF＝b－1，易證OAC∽ECF，則＝
，即＝，解得b＝6，故b＝－4或6.
二、填空題
9.
【答案】，0
10.
【答案】四 【解析】根據(jù)平移規(guī)律“上加下減，左加右減”，將直線y＝2x向上平移3個(gè)單位，得到的直線解析式為y＝2x＋3，因?yàn)?>0，3>0，所以圖象過第一、第二和第三象限，故不經(jīng)過第四象限．
11.
【答案】－1(答案不唯一，滿足b＜0即可) 【解析】一次函數(shù)y＝－2x＋b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，b＜0，故b的值可以是－1.
12.
【答案】x>3 [解析]當(dāng)x=3時(shí)，x=×3=1，
點(diǎn)A在一次函數(shù)y=x的圖象上，且一次函數(shù)y=x的圖象經(jīng)過第一、三象限，當(dāng)x>3時(shí)，一次函數(shù)y=x的圖象在y=kx+b的圖象上方，即kx+b
13.
【答案】y＝2x－2 【解析】根據(jù)直線的平移規(guī)律：上加下減，可得到平移后的解析式為y＝2x＋1－3＝2x－2.
14.
【答案】(－4，1)
【解析】二元一次方程x－y＝－5對應(yīng)一次函數(shù)y＝x＋5，即直線l1；二元一次方程x＋2y＝－2對應(yīng)一次函數(shù)y＝－x－1，即直線l2.原方程組的解即是直線l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)，交點(diǎn)坐標(biāo)為(－4，1)．
15.
【答案】－ 【解析】直線y＝x＋n與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)B，C，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(－n，0)，C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，n)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(－4，0)，∠ACD＝90°，在RtACB中，AB2＝AC2＋BC2，AC2＝AO2＋OC2，BC2＝OB2＋OC2，AB2＝AO2＋OC2＋OB2＋OC2，即(－n＋4)2＝42＋n2＋(－n)2＋n2，解得n1＝－，n2＝0(舍去)．
16.
【答案】 解析：如下圖，取B(3，－1)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為B′，則B′的坐標(biāo)為(3,1)．作直線AB，它與x軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)M.使用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式為y＝－2x＋7，令y＝0，得－2x＋7＝0，解得x＝，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為.
三、解答題
17.
【答案】
(1)一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(－6，0)，(0，6)，
，解得，
一次函數(shù)的解析式為y1＝x＋6，
點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2，B(－4，2)，
將B(－4，2)代入y2＝，得k2=－4×2=－8，
反比例函數(shù)的解析式為y＝
－；
(2)點(diǎn)A與點(diǎn)B是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，
x＋6＝－，解得x＝－2或x＝－4，
A(－2，4)，
SAOB＝＝6；
(3)觀察圖象知，k1x＋b
x＜－4或－2＜x＜0.
18.
【答案】
解：(1)暫停排水時(shí)間為30分鐘(半小時(shí))；排水孔的排水速度為900÷(3.5－0.5)＝300
(m3/h)．(3分)
(2)由圖可知排水1.5
h后暫停排水，此時(shí)游泳池的水量為900－300×1.5＝450
(m3)，
設(shè)當(dāng)2≤t≤3.5時(shí)，Q關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式為Q＝kt＋b(k≠0)，
把(2，450)，(3.5，0)代入得(6分)
解得.
函數(shù)表達(dá)式為Q＝－300t＋1050.(8分)
19.
【答案】
4
【解析】由題意，，軸
將分別代入得，
20.
【答案】
解：(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，0)，
AO＝2.
在RtAOB中，OA2＋OB2＝AB2，即22＋OB2＝()2，
OB＝3，
B(0，3)．(2分)
(2)SABC＝BC·OA，即4＝BC×2，
BC＝4，
OC＝BC－OB＝4－3＝1，
C(0，－1)．(4分)
設(shè)直線l2的解析式為y＝kx＋b(k≠0)，
直線l2經(jīng)過點(diǎn)A(2，0)，C(0，－1)，
，
解得.
直線l2的解析式為y＝x－1.(6分)
21.
【答案】
(1)如解圖，過點(diǎn)C作CDOA于點(diǎn)D，則OD＝1，CD＝，
在RtOCD中，由勾股定理得OC＝＝2，
四邊形OABC為菱形，
BC＝AB＝OA＝OC＝2，
則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，)，
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y＝(k≠0)，
其圖象經(jīng)過點(diǎn)B，
將B(3，)代入，得＝，
解得k＝3，
該反比例函數(shù)的解析式為y＝；
(2)OA＝2，
點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，0)，
由(1)得B(3，)，
設(shè)圖象經(jīng)過點(diǎn)A、B的一次函數(shù)的解析式為y＝k′x＋b(k′≠0)，
將A(2，0)，B(3，)分別代入，
得，解得，
該一次函數(shù)的解析式為y＝x－2；
(3)由圖象可得，滿足條件的自變量x的取值范圍是2＜x＜3.
22.
【答案】
本題考查了分段函數(shù)的意義及構(gòu)建二次函數(shù)求解利潤最大問題．解題關(guān)鍵是確定水果資金額w與批發(fā)量n之間的函數(shù)關(guān)系式，以及構(gòu)建銷售利潤y與批發(fā)量n之間的函數(shù)關(guān)系式．利用二次函數(shù)求最大利潤問題時(shí)，需注意①分類討論．(漲價(jià)與降價(jià))②分清每件的利潤與每周的銷售量，理清價(jià)格與它們之間的關(guān)系．
解圖
③自變量的取值范圍的確定．保證實(shí)際問題有意義．④一般是利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)求最大值，但有時(shí)頂點(diǎn)坐標(biāo)不在取值范圍內(nèi)，注意畫圖分析．注意所學(xué)的思想方法是建立函數(shù)關(guān)系，用函數(shù)的觀點(diǎn)、思想去分析實(shí)際問題．
解：(1)圖①表示批發(fā)量不少于20
kg且不多于60
kg的該種水果，可按5元/kg批發(fā)；圖②表示批發(fā)量高于60
kg的該種水果，可按4元/kg批發(fā).
(2)由題意得
w＝
圖象如圖所示．
由圖可知，資金金額滿足240＜w≤300時(shí)，以同樣的資金可批發(fā)到較多數(shù)量的該種水果.
(3)解法一：設(shè)當(dāng)日零售價(jià)為x元，
由圖可得日最高銷量n＝320－40x，當(dāng)n＞60時(shí)，x＜6.5.
由題意，銷售利潤為y＝(x－4)(320－40x)＝40(x－4)(8－x)＝40[－(x－6)2＋4].
從而x＝6時(shí)，y最大值＝160，此時(shí)n＝80.
即經(jīng)銷商應(yīng)批發(fā)80
kg該種水果，日零售價(jià)定為6元/kg，當(dāng)日可得最大利潤160元.
解法二：設(shè)日最高銷量為x
kg(x＞60)．
則由題圖②日零售價(jià)p滿足x＝320－40p.于是p＝，銷售利潤y＝x(－4)＝x(160－x)＝－(x－80)2＋160.
從而x＝80時(shí)，y最大值＝160.
此時(shí)，p＝6，即經(jīng)銷商應(yīng)批發(fā)80
kg
該種水果，日零售價(jià)定為6元/kg，當(dāng)日可得最大利潤160元.
23.
【答案】
（1）因?yàn)辄c(diǎn)B(2，1)在雙曲線上，所以m＝2．設(shè)直線l的解析式為，代入點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B(2，1)，得
解得
所以直線l的解析式為．
（2）由點(diǎn)(p＞1)的坐標(biāo)可知，點(diǎn)P在直線上x軸的上方．如圖2，當(dāng)y＝2時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，2)．此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，2)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(－1，2)．
由P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三點(diǎn)的位置關(guān)系，可知PMB為等腰直角三角形．
由P(3，2)、N(－1，2)、A(1，0)三點(diǎn)的位置關(guān)系，可知PNA為等腰直角三角形．
所以PMB∽PNA．
圖2
圖3
圖4
（3）AMN和AMP是兩個(gè)同高的三角形，底邊MN和MP在同一條直線上．
當(dāng)SAMN＝4SAMP時(shí)，MN＝4MP．
①如圖3，當(dāng)M在NP上時(shí)，xM－xN＝4(xP－xM)．因此．解得或（此時(shí)點(diǎn)P在x軸下方，舍去）．此時(shí)．
②如圖4，當(dāng)M在NP的延長線上時(shí)，xM－xN＝4(xM－xP)．因此．解得或（此時(shí)點(diǎn)P在x軸下方，舍去）．此時(shí)．
考點(diǎn)伸展
在本題情景下，AMN能否成為直角三角形？
情形一，如圖5，∠AMN＝90°，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，2）．
情形二，如圖6，∠MAN＝90°，此時(shí)斜邊MN上的中線等于斜邊的一半．
不存在∠ANM＝90°的情況．
圖5
圖6
24.
【答案】
解:(1)令x=0，則y=1，
直線l與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，1).
(2)當(dāng)k=2時(shí)，直線l:y=2x+1，
把x=2代入直線l，則y=5，A(2，5).
把y=-2代入直線l得:-2=2x+1，
x=-，
[關(guān)鍵詞]初中數(shù)學(xué)一次函數(shù)教學(xué)策略
[中圖分類號]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A[文章編號]16746058（2016）290011
函數(shù)涉及的知識范圍廣、研究程度深、觀察視角多，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占據(jù)重要的地位.而函數(shù)概念中的一次函數(shù)又是整個(gè)函數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，跟生活緊密聯(lián)系.因此，學(xué)好一次函數(shù)是學(xué)習(xí)函數(shù)的前提條件.初中數(shù)學(xué)教師在函數(shù)教學(xué)中應(yīng)重視一次函數(shù)的教學(xué).
一、初中一次函數(shù)教學(xué)研究的重要意義
函數(shù)概念在初中數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中占據(jù)重要地位，通過對數(shù)學(xué)發(fā)展史的分析研究可以看出，在數(shù)學(xué)知識中很多數(shù)學(xué)理念和概念的提出都是基于函數(shù)，可以說沒有函數(shù)概念奠定理論基礎(chǔ)，就沒有后續(xù)的數(shù)學(xué)知識.初中數(shù)學(xué)知識中占據(jù)比例最多的一部分是函數(shù)知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)，初中學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)不僅要掌握函數(shù)的基本知識，還要學(xué)會不等式、方程等其他知識并進(jìn)行知識的整合，從數(shù)形結(jié)合的角度探索變量之間的關(guān)系.
二、初中一次函數(shù)有效教學(xué)策略及其實(shí)施探究
1.聯(lián)系實(shí)際生活，引入概念.
數(shù)學(xué)的概念來源于生活，一次函數(shù)更是跟生活密切聯(lián)系.對此，教師在講解一次函數(shù)時(shí)要緊密聯(lián)系生活，設(shè)計(jì)一些具有趣味性、生活性的問題來激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)一次函數(shù)的興趣.例如一次函數(shù)問題：如果一輛汽車在加油之前油箱已經(jīng)沒有油了，現(xiàn)在以每分鐘25L的速度往郵箱中注油，要學(xué)生試寫出加油時(shí)間與油箱內(nèi)油量之間的函數(shù)關(guān)系式.汽車加油在現(xiàn)在生活中十分常見，學(xué)生可以聯(lián)系日常生活中的一些常識或者親身經(jīng)驗(yàn)更好地理解題目意思，進(jìn)而在腦海中形成一次函數(shù)的構(gòu)建模式.
2.巧妙設(shè)置懸念，探求概念
如果在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中巧妙地設(shè)置一些懸疑，以此來調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和好奇心，可以引導(dǎo)學(xué)生的心理向求解的方向發(fā)展.例如教師在設(shè)置問題懸念時(shí)可以創(chuàng)設(shè)情境：如張老師去水果市場買10斤蘋果，當(dāng)他將蘋果稱好放入重0.5斤的籃子時(shí)發(fā)現(xiàn)買的蘋果個(gè)數(shù)比之前買相同重量的蘋果個(gè)數(shù)少了很多，張老師讓水果小販將籃子和蘋果一起稱得到10.55斤，于是他要求小販退回他0.5斤蘋果的錢，你們知道其中的奧秘嗎？這樣設(shè)置懸念，讓學(xué)生在自愿和愉悅的心態(tài)下去探索一次函數(shù)的知識.
3.數(shù)形結(jié)合，理解一次函數(shù)的圖像性質(zhì).
一次函數(shù)的學(xué)習(xí)主要是要掌握一次函數(shù)的基本性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)不僅體現(xiàn)在方程式上，還體現(xiàn)在圖像上.但是調(diào)查顯示要學(xué)生在學(xué)習(xí)一次函數(shù)時(shí)將“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”是存在一定困難的.但是數(shù)學(xué)知識特別是函數(shù)的學(xué)習(xí)是離不開圖形的，因此教師在制訂一次函數(shù)教學(xué)計(jì)劃時(shí)要將圖形考慮在內(nèi)，采取一些應(yīng)對措施讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中能夠做到數(shù)形結(jié)合.
例如，右圖中，一次函數(shù)圖像在y軸上經(jīng)過點(diǎn)A，并與函數(shù)y=-x相交于B點(diǎn)，求一次函數(shù)y=kx+b的正確方程式.此題讓學(xué)生通過對圖形的觀察可以得出A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2），B點(diǎn)是橫坐標(biāo)為-1且在函數(shù)y=-x上，因此縱坐標(biāo)為1，得出B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，1）.借助A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入到一次函數(shù)y=kx+b中可以算出k與b的值進(jìn)而求出函數(shù)的解析式.數(shù)形結(jié)合的方式能夠更加直觀地讓學(xué)生加深對一次函數(shù)的性質(zhì)理解.
4.借助問題情境，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識.
一次函數(shù)與生活息息相關(guān)，生活中很多實(shí)際問題都可以借助一次函數(shù)的圖形模式來解決.教師在教學(xué)設(shè)計(jì)中運(yùn)用一些生活情境與一次函數(shù)相聯(lián)系引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)中聯(lián)想到生活例子，將生活中的實(shí)際問題轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)思想并采取有效措施解決.例如超市中正在進(jìn)行購買茶壺、茶杯的優(yōu)惠活動，但是有兩種優(yōu)惠方案：（1）買一送一（買一只茶壺送一只茶杯）；（2）打九折，其中購買茶壺3只以上茶20元1個(gè)，茶杯5元一個(gè).這兩種優(yōu)惠方式之間有何區(qū)別，哪種更加的優(yōu)惠.利用一次函數(shù)的數(shù)學(xué)知識對其進(jìn)行解析第一種優(yōu)惠方案用一次函數(shù)表示為y1=4×20+（x-4）×5=5x+60，第二種為y2=（20×4+5x）×0.9=4.5x+72.經(jīng)過計(jì)算得出當(dāng)買的茶杯超過24只時(shí)選擇方案2；當(dāng)在4～23時(shí)則選擇方案1較省錢.通過生活中經(jīng)常遇到的一些現(xiàn)實(shí)問題設(shè)問，加強(qiáng)學(xué)生平時(shí)生活中的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用能力.
[參考文獻(xiàn)]
[1]李淑平.初中數(shù)學(xué)與信息技術(shù)的有效整合淺析[J].學(xué)周刊.2015（17）
關(guān)鍵詞： 函數(shù)圖像 教學(xué)設(shè)計(jì) 數(shù)形結(jié)合思想 抽象思維能力
一、設(shè)計(jì)說明
不少學(xué)生認(rèn)為《函數(shù)及其圖像》一章難學(xué)。我通過對學(xué)生的調(diào)查及反思發(fā)現(xiàn)，克服學(xué)生畏難情緒的關(guān)鍵在于：充分讓學(xué)生動手畫圖，增加感性認(rèn)識；重視階段歸納小結(jié)，使學(xué)生條理清楚；注重?cái)?shù)形結(jié)合思想在函數(shù)問題中的運(yùn)用，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)。本設(shè)計(jì)的目的是通過“觀察—動手—比較—總結(jié)”的學(xué)習(xí)過程，增加學(xué)生自己探索的力度，在探究性學(xué)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力。
二、教學(xué)目標(biāo)
1.知識與技能目標(biāo)：
（1）理解一次函數(shù)的圖像是一條直線，并能熟練用“兩點(diǎn)法”畫出一次函數(shù)的圖像。
（2）理解一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）中，k，b符號變化對圖像的影響。
2.過程目標(biāo)：
通過學(xué)習(xí)動手畫圖，感受一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）中k，b的不同數(shù)值與圖像的內(nèi)在聯(lián)系，從中體會數(shù)形結(jié)合思想。
3.情感與態(tài)度目標(biāo)：
尊重學(xué)生個(gè)體差異，關(guān)照與幫助學(xué)習(xí)較困難學(xué)生，鼓勵他們動手畫圖，及時(shí)肯定他們的進(jìn)步（或互幫互學(xué)），從而增強(qiáng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。對一些學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)提出較高的要求。
三、教學(xué)重點(diǎn)
（1）熟練掌握一次函數(shù)圖像的畫法。
（2）理解y=kx+b（k≠0），k，b的不同取值對其圖像影響的規(guī)律。
四、教學(xué)難點(diǎn)
y=kx+b（k≠0）中，k，b的不同取值與其圖像位置的內(nèi)在聯(lián)系。揭示一次函數(shù)解析式中待定常數(shù)的不同與函數(shù)圖像性質(zhì)變化的“形數(shù)”轉(zhuǎn)化思想。
五、課前準(zhǔn)備
1 考查一次函數(shù)的圖象
例1 (2008年襄樊市)我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家之一，為了增強(qiáng)居民節(jié)水意識，某市自來水公司對居民用水采用以戶為單位分段計(jì)費(fèi)辦法收費(fèi)，即一月用水10噸以內(nèi)(包括10噸)的用戶，每噸收水費(fèi)a元；一月用水超過10噸的用戶，10噸水仍按每噸a元收費(fèi)，超過10噸的部分，按每噸b元(b>a)收費(fèi).設(shè)一戶居民月用水x噸，應(yīng)收水費(fèi)y元，y與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖1所示.
(1)求a的值；若某戶居民上月用水8噸，應(yīng)收水費(fèi)多少元?
(2)求b的值，并寫出當(dāng)x>10時(shí)，y與x之間的關(guān)系式.
分析 通過圖象發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x≤10時(shí)，y與x之間是正比例函數(shù)關(guān)系，其比例系數(shù)即為每噸水的價(jià)格a；當(dāng)x>10時(shí)，y與x之間是一次函數(shù)關(guān)系，其比例系數(shù)即為每噸水的價(jià)格b.
解 (1)當(dāng)x≤10時(shí)，有y=ax.將x=10，y=15代入，得a=1.5，即每噸按1.5元收費(fèi). 所以用8噸水應(yīng)收水費(fèi)8×1.5=12(元).
(2)當(dāng)x>10時(shí)，有y=b(x-10)+15. 將x=20，y=35代入得b=2.所以y=2x-5.
點(diǎn)評 以函數(shù)圖象呈現(xiàn)信息的問題主要體現(xiàn)兩個(gè)變量間的數(shù)量關(guān)系，考查學(xué)生對函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想的把握. 解決此類問題的關(guān)鍵是把蘊(yùn)含的“圖象信息”化為“數(shù)學(xué)信息”.
2 考查一次函數(shù)的性質(zhì)
例2 (2008年天津市)已知關(guān)于x的函數(shù)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限；②當(dāng)x
分析 本題是一道條件開放性試題，答案不唯一，只要所寫的函數(shù)能同時(shí)滿足題目中的三個(gè)條件即可，聯(lián)想一次函數(shù)的性質(zhì)可解決本題.
解 設(shè)所寫的函數(shù)為y=kx+b，由條件①知，k>0，b>0；由條件②知，圖象過(2，0)點(diǎn). 因此所寫的函數(shù)可以是y=x-2，顯然它滿足條件③. 故本題可填y=x-2.
點(diǎn)評 本題需要執(zhí)果索因，重在考查學(xué)生的發(fā)散思維和逆向思維能力. 由于考場上時(shí)間寶貴，且要保證解題的正確率，故在開放性題目中，最好填寫易思考、有把握的答案.
3 考查一次函數(shù)的解析式的確定
例3 (2008年黃石市)已知y是x的一次函數(shù)，下表列出了部分對應(yīng)值，則m=.
分析 從表格中可以得到自變量x和函數(shù)值y的兩組對應(yīng)值：當(dāng)x=1時(shí)，y=3；當(dāng)x=2時(shí)，y=5. 利用待定系數(shù)法即可確定出函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而求出m的值.
解 設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b. 由題意，得k+b=3
2k+b=5，解得k=2
b=1.
所以y=2x+1. 當(dāng)x=0時(shí)，y=1. 故填1.
點(diǎn)評 本題主要考查同學(xué)們是否會從表格中找出兩組相關(guān)數(shù)據(jù)作為兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)關(guān)系式的能力.
4 考查建立一次函數(shù)模型解決實(shí)際問題
例4 (2008年自貢市)抗震救災(zāi)中，某縣糧食局為了保證庫存糧食的安全，決定將甲、乙兩個(gè)倉庫的糧食，全部轉(zhuǎn)移到具有較強(qiáng)抗震功能的A、B兩倉庫. 已知甲庫有糧食100噸，乙?guī)煊屑Z食80噸，而A庫的容量為70噸，B庫的容量為110噸. 從甲、乙兩庫到A、B兩庫的路程和運(yùn)費(fèi)如下表(表中“元/噸?千米”表示每噸糧食運(yùn)送1千米所需人民幣)
路程(千米)運(yùn)費(fèi)(元/噸?千米)甲庫乙?guī)旒讕煲規(guī)霢庫20151212B庫2520108 (1)若甲庫運(yùn)往A庫糧食x噸，請寫出將糧食運(yùn)往A、B兩庫的總運(yùn)費(fèi)y(元)與x(噸)的函數(shù)關(guān)系式
(2)當(dāng)甲、乙兩庫各運(yùn)往A、B兩庫多少噸糧食時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最省，最省的總運(yùn)費(fèi)是多少?
分析 (1)由于從甲庫運(yùn)往A庫糧食x噸，則甲庫余下的糧食(100-x)噸需運(yùn)往B庫；因此乙?guī)爝\(yùn)往A庫的糧食只能是(70-x)噸，乙?guī)煊嘞碌募Z食[80-(100-x)]噸需運(yùn)往B庫.根據(jù)表格即可求出總運(yùn)費(fèi)y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)依據(jù)自變量的取值范圍及函數(shù)的增減性即可求出總運(yùn)費(fèi)的最小值.
解 (1)由題意，得y=12×20x+10×25×(100-x)+12×15×(70-x)+8×20×(x+10)整理，得y=-30x+39200. 由于A庫的容量為70噸，所以自變量x的范圍：0≤x≤70.
(2)在上述一次函數(shù)中，由于k=-30
由于A庫的容量為70噸，所以自變量的取值范圍是0≤x≤70.
所以當(dāng)x=70時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最小.ymin=-30×70+39200=37100 (元).
點(diǎn)評 由復(fù)雜表格提供信息，這就要求同學(xué)們能將“表格語言”轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，因此要具有多維度觀察、多角度思考的能力.本題主要考查學(xué)生建立函數(shù)模型進(jìn)行求解的能力.
5 考查一次函數(shù)的的綜合應(yīng)用
圖2例5 (2008年南昌市)如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，有A(0，1)，B(-1，0)，C(1，0)三點(diǎn)坐標(biāo).
(1)若點(diǎn)D與A，B，C三點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，請寫出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)選擇(1)中符合條件的一點(diǎn)D，求直線BD的解析式.
分析 (1)由于ABCD的三點(diǎn)A、B、C固定，可分別過點(diǎn)A作BC的平行線，過點(diǎn)B作AC的平行線，過點(diǎn)C作AB的平行線，顯然它們共有三個(gè)交點(diǎn)，故點(diǎn)D的位置有三種可能.(2)這是一道結(jié)論開放題，共有三種不同的選擇方式，選擇的點(diǎn)不同，求得的結(jié)果不同，但只要求解結(jié)果正確即可.
解 (1)符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)分別是D1(2，1)，D2(-2，1)，D3(0，-1).
(2)①若選擇點(diǎn)D3(0，-1)，設(shè)直線BD3的解析式為y=kx+b.
由題意得-k+b=0，
b=-1.解得k=-1，
b=-1. 所以直線BD3的解析式為y=-x-1.
②若選擇點(diǎn)D2(-2，1)，可得直線BD2的解析式為y=-x-1.
③若選擇點(diǎn)D1(2，1)，可得直線BD1的解析式為y=13x+13.
點(diǎn)評 由于考場上時(shí)間寶貴，且要保證解題的正確率. 故在一些自主選擇性題目中，最好選擇易解決、有把握、不宜出差錯的問題求解，本題選擇點(diǎn)D3較簡便.
6 考查一次函數(shù)的的創(chuàng)新應(yīng)用
例6 (2008年深圳市)要在街道旁修建一個(gè)奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短?小聰根據(jù)實(shí)際情況，以街道旁為x軸，建立了如圖3所示的平面直角坐標(biāo)系，測得A點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，3)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(6，5)，則奶站的坐標(biāo)為.
分析 取A(或B)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′(或B′)，連結(jié)A′B(或B′A)，與x軸交于一點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是準(zhǔn)備修建的奶站，且PA+PB即為最短路線.
解 由于點(diǎn)A′與點(diǎn)A(0，3)關(guān)于x軸對稱，所以點(diǎn)A′坐標(biāo)為(0，-3).
設(shè)直線A′B的解析式為y=kx+b. 把點(diǎn)A′(0，-3)，B(6，5)分別代入上述關(guān)系式，解得k=43，b=-3. 所以直線AB′的解析式為y=43x-3.
令y=0，則43x-3=0，解得x=94.所以奶站的坐標(biāo)為(94，0).
蘇科版八年級上冊第6.2～6.3節(jié)后的階段復(fù)習(xí)課.
二、教材分析
1.函數(shù)的重要性
函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)最重要的概念之一，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).中學(xué)代數(shù)課程到了函數(shù)階段，是前面所學(xué)知識的一次集成，函數(shù)把多項(xiàng)式、變量、坐標(biāo)系和方程等內(nèi)容進(jìn)行了有機(jī)的整合，函數(shù)知識是發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號感、空間觀念、統(tǒng)計(jì)觀念以及應(yīng)用意識與推理能力的良好素材.所以本階段的學(xué)習(xí)對學(xué)生后續(xù)的發(fā)展起著至關(guān)重要的作用.
2.教材的特點(diǎn)
教材6.2節(jié)“一次函數(shù)”和6.3節(jié)“一次函數(shù)的圖像”其實(shí)是一個(gè)整體，分別從不同的角度來研究一次函數(shù).通過6.2節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生理解了一次函數(shù)和正比例函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定一次函數(shù)關(guān)系式，這是從代數(shù)的角度研究；在6.3節(jié)中，學(xué)生會選取兩個(gè)適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)畫一次函數(shù)的圖像，并能根據(jù)圖像和關(guān)系式探索并理解了一次函數(shù)的性質(zhì)，這是從幾何角度研究.
本節(jié)課是繼6.2節(jié)和6.3節(jié)之后的一節(jié)階段復(fù)習(xí)課，接下來的6.4和6.5節(jié)將學(xué)習(xí)一次函數(shù)在數(shù)學(xué)內(nèi)部和外部的應(yīng)用，屬于更高層次的要求，所以本節(jié)課起著承上啟下的作用.本節(jié)課的定位不能只是重現(xiàn)前面的諸多結(jié)論，也不能只是為了教會學(xué)生解題，應(yīng)是基于基礎(chǔ)之上的提升、零散之上的系統(tǒng)、模糊之上的清晰.因此本節(jié)課的標(biāo)題叫“又見一次函數(shù)”.
3.教學(xué)目標(biāo)
（1）知識與能力：體會一次函數(shù)和正比例函數(shù)的意義，根據(jù)已知條件確定一次函數(shù)的表達(dá)式；會畫一次函數(shù)的圖像，能根據(jù)一次函數(shù)的圖像和表達(dá)式y(tǒng)=kx+b（k≠0）探索并理解其性質(zhì)；
（2）過程與方法：經(jīng)歷運(yùn)用類比思想比較一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）和正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的異同點(diǎn)的過程，感受兩者之間的關(guān)系；進(jìn)一步體會待定系數(shù)法和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
（3）情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過對兩個(gè)函數(shù)的比較和解
決一個(gè)綜合問題的過程，培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的能力.
三、教法與學(xué)法分析
下面是我從《一次函數(shù)》這節(jié)課的教學(xué)反思中得到的幾點(diǎn)體會。
一、備課要關(guān)注學(xué)生差異，重視基礎(chǔ)知識
新課程指出，課堂教學(xué)要面向全體學(xué)生，目的是促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。心理學(xué)表明，學(xué)生的發(fā)展是存在差異的。教師要關(guān)注學(xué)生的差異，在備課的時(shí)候根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平，要有針對性。
在引入一次函數(shù)的時(shí)候，我展示了一個(gè)學(xué)生熟悉的生活實(shí)例，讓學(xué)生更好地找出兩個(gè)變量的關(guān)系。比如，某彈簧的自然長度是3厘米。在彈性限度內(nèi)，所掛物體的質(zhì)量x每增加1千克，彈簧長度y增加0.5厘米。（1）計(jì)算所掛物體的質(zhì)量分別為1千克、2千克、3千克、4千克、5千克時(shí)彈簧的長度。（2）你能寫出x與y之間的關(guān)系式嗎？對于問題（1），學(xué)生已有比較豐富的生活經(jīng)驗(yàn)，很快就可以得出結(jié)果；對于問題（2），學(xué)生因?yàn)楸容^陌生，要求學(xué)生先思考，再與其他同學(xué)討論，我也參與了學(xué)生的討論，適當(dāng)引導(dǎo)。教師不能一味追求結(jié)論，而忽略學(xué)生的差異，對接受能力較差的學(xué)生要適當(dāng)進(jìn)行引導(dǎo)，降低難度，幫助學(xué)生找出兩個(gè)變量的關(guān)系式。同時(shí)，為了讓學(xué)生找出一次函數(shù)中兩個(gè)變量的特點(diǎn)，我在教學(xué)中展示了幾個(gè)與生活聯(lián)系緊密的實(shí)例。讓學(xué)生分析從幾個(gè)實(shí)例得到的關(guān)系式的共同點(diǎn)，再引導(dǎo)學(xué)生歸納出一次函數(shù)的定義。這樣既滿足了學(xué)生的求知欲，提高了學(xué)生分析的能力，又大大提高了課堂的教學(xué)質(zhì)量。
在學(xué)習(xí)了一次函數(shù)的定義后，為了加深學(xué)生對一次函數(shù)的理解，我讓學(xué)生完成了以下的練習(xí)。判斷下列函數(shù)哪些是一次函數(shù)？哪些是正比例函數(shù)？（1）y=2x；（2）y=3x+1；（3）y=2x-3；（4）y=■x。在這一教學(xué)環(huán)節(jié)中，其實(shí)還可以添加一些形如（5）y=■和（6）y=x2+1類型的函數(shù)。在學(xué)生完成這幾道練習(xí)題后，再讓學(xué)生分析一次函數(shù)與其他函數(shù)的不同之處，明確一次函數(shù)的特點(diǎn)。這里要給學(xué)生充足的時(shí)間思考和討論，因?yàn)檫@是學(xué)生形成知識的重要環(huán)節(jié)。新課程指出，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，所有的新知識只有通過學(xué)生自身的“再創(chuàng)造”活動，才能納入其認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，才能成為有效的知識。
二、創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性
第一，打破沉悶的課堂氣氛，讓課堂教學(xué)變得更有生機(jī)
美國心理學(xué)家布魯納指出：“學(xué)習(xí)的刺激乃是對所學(xué)材料的興趣，要想使學(xué)生上好課，就得千方百計(jì)點(diǎn)燃學(xué)生心靈上的興趣之火。”所以在教學(xué)時(shí)，不一定要完全按照課本的引入去設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)。在引入兩個(gè)變量的關(guān)系的時(shí)候，我們可以設(shè)計(jì)一個(gè)學(xué)生在生活中遇到的問題情境，讓數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系，學(xué)生就會認(rèn)識到數(shù)學(xué)就在我們身邊，萌發(fā)探究數(shù)學(xué)問題的好奇心。例如，小明現(xiàn)有5元，他想存錢買一本價(jià)值30元的數(shù)學(xué)興趣書，假如他每月存5元。（1）請你幫他算算1個(gè)月、2個(gè)月、3個(gè)月、4個(gè)月后一共有多少錢？（2）經(jīng)過x個(gè)月后，小明一共有多少錢？這樣設(shè)計(jì)可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，促使學(xué)生主動參與教學(xué)活動。實(shí)踐表明，學(xué)生的主動學(xué)習(xí)是獲得知識的最有效的方法。
第二，引導(dǎo)學(xué)生主動地參與課堂教學(xué)
新課程指出，好的教學(xué)能夠促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行有效地學(xué)習(xí)。而教師的主要作用在于組織教學(xué)活動，激發(fā)學(xué)生主動從事數(shù)學(xué)活動。有時(shí)候，教師的一個(gè)微笑，可以給學(xué)生很大的鼓舞，讓學(xué)生主動去學(xué)習(xí)。如上面小明買數(shù)學(xué)興趣書的問題中，在提問一個(gè)學(xué)生的時(shí)候，他可能還沒想出來，有點(diǎn)著急，我笑了笑說：“別急，慢慢想，你可以做得到的。”這位學(xué)生感受到老師對他的信任，更加積極地去思考問題，雖然他花了很長時(shí)間才回答出來，但是我覺得這是值得的。我們在教學(xué)時(shí)還可以通過設(shè)計(jì)一些有趣的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生主動參與課堂教學(xué)了。例如，果農(nóng)李大叔養(yǎng)的一只猴子幫李大叔摘了8個(gè)桃子，假如它從現(xiàn)在開始每分鐘摘2個(gè)，求x分鐘后這只猴子一共摘的桃子數(shù)y與時(shí)間x的關(guān)系式？在這里如果能用上多媒體的動畫設(shè)計(jì)就更能吸引學(xué)生的注意力，讓學(xué)生在輕松愉快的課堂氣氛中學(xué)習(xí)、掌握新知識，這樣他們對新知識更加樂于接受。
第三，多給學(xué)生創(chuàng)造機(jī)會，讓學(xué)生得到更好地發(fā)展
每個(gè)學(xué)生都有分析問題、解決問題和創(chuàng)造的潛能，關(guān)鍵是如何為學(xué)生提供機(jī)會，讓學(xué)生發(fā)掘自己的潛能。學(xué)生總是喜歡把自己當(dāng)成探索者、研究者、發(fā)現(xiàn)者，并且往往是當(dāng)自己的觀點(diǎn)與其他人的觀點(diǎn)不一致的時(shí)候，會產(chǎn)生要證實(shí)自己思想的欲望。這里要注意，讓學(xué)生挑戰(zhàn)自己，不是要難倒學(xué)生。不要出太難的習(xí)題，否則會挫傷學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。從而激勵學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中不斷獲得成功的體驗(yàn)，提高自主學(xué)習(xí)的能力。如，寫出下列各題中y與x之間的關(guān)系式，并判斷y是否為x的一次函數(shù)？是否為正比例函數(shù)？（1）汽車以60千米/時(shí)的速度勻速行駛，行駛路程y（千米）與行駛時(shí)間x（時(shí)）之間的關(guān)系；（2）圓的面積y（平方厘米）與它的半徑x（厘米）之間的關(guān)系；（3）一棵樹現(xiàn)在高50厘米，每個(gè)月長高2厘米，x月后這棵樹的高度為y（厘米）。在教學(xué)中，我特意讓幾個(gè)基礎(chǔ)不太好的學(xué)生上黑板演練，這幾個(gè)題目的背景都是和生活聯(lián)系比較緊密的，只要給學(xué)生足夠的時(shí)間，他們基本能自己解決。所以，在教學(xué)中教師不要一味地追求教學(xué)進(jìn)度，抹殺了學(xué)生體驗(yàn)成功的機(jī)會。特別是基礎(chǔ)比較差的學(xué)生，更應(yīng)該給他們一些這樣的機(jī)會去提高他們學(xué)習(xí)的積極性和學(xué)習(xí)的自信心，進(jìn)一步減少差距，讓他們學(xué)得更有動力。
三、學(xué)有所用，培養(yǎng)學(xué)生掌握、運(yùn)用知識的能力
例1某電信公司開設(shè)了甲、乙兩種市內(nèi)移動通信業(yè)務(wù)，甲種使用者每月需繳15元月租費(fèi)，然后每通話1分鐘再付費(fèi)0.3元；乙種使用者不繳月租費(fèi)，每通話1分鐘付費(fèi)0.6元.若一個(gè)月內(nèi)通話時(shí)間為x分鐘，使用甲、乙兩種業(yè)務(wù)的費(fèi)用分別為y1元和y2元.
（1）試分別寫出y1y2運(yùn)用函數(shù)知識解決簡單的實(shí)際問題，體會函數(shù)是解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)方法，是新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求.現(xiàn)就如何運(yùn)用一次函數(shù)知識解決實(shí)際問題，精選幾例進(jìn)行分析.
例1某電信公司開設(shè)了甲、乙兩種市內(nèi)移動通信業(yè)務(wù)，甲種使用者每月需繳15元月租費(fèi)，然后每通話1分鐘再付費(fèi)0.3元；乙種使用者不繳月租費(fèi)，每通話1分鐘付費(fèi)0.6元.若一個(gè)月內(nèi)通話時(shí)間為x分鐘，使用甲、乙兩種業(yè)務(wù)的費(fèi)用分別為y1元和y2元.
（1）試分別寫出y1、y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
（2）在同一坐標(biāo)系中畫出y1、y2的圖象.
（3）根據(jù)一個(gè)月的通話時(shí)間，你認(rèn)為選用哪種通信業(yè)務(wù)更優(yōu)惠？
解析：本題是一個(gè)緊密聯(lián)系實(shí)際的方案優(yōu)選問題.根據(jù)題給信息，建立變量之間的一次函數(shù)關(guān)系，再結(jié)合一次函數(shù)的圖象，可使問題得以解決.
（1）由題意可知，y1=0.3x+15 （x≥0），y2=0.6x （x≥0）.
（2） y1、 y2在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖1所示.
（3）由圖象可知：
當(dāng)一個(gè)月的通話時(shí)間為50分鐘時(shí)，兩種業(yè)務(wù)的使用費(fèi)相同；
當(dāng)一個(gè)月的通話時(shí)間少于50分鐘時(shí)，乙種業(yè)務(wù)更優(yōu)惠；
當(dāng)一個(gè)月的通話時(shí)間多于50分鐘時(shí)，甲種業(yè)務(wù)更優(yōu)惠.
例2湖南省長沙市某鄉(xiāng)A、B兩村盛產(chǎn)柑橘，A村有柑橘200噸，B村有柑橘300噸，現(xiàn)將這些柑橘運(yùn)到C、D兩個(gè)冷藏倉庫.已知C倉庫可儲存240噸，D倉庫可儲存260噸，從A村運(yùn)往C、D兩處的費(fèi)用分別為20元/噸、25元/噸，從B村運(yùn)往C、D兩處的費(fèi)用分別為15元/噸、18元/噸.設(shè)從A村運(yùn)往C倉庫的柑橘為x噸，A、B兩村的運(yùn)費(fèi)分別為yA元、yB元.
（1）請?zhí)顚懕?，并求出yA、yB與x之間的函數(shù)關(guān)系.
（2）試討論A、B兩村哪個(gè)村的運(yùn)費(fèi)較少？
（3）考慮到B村的經(jīng)濟(jì)承受能力，B村的運(yùn)費(fèi)不得超過4830元.在這種情況下，請問怎樣調(diào)運(yùn)，才能使兩村的運(yùn)費(fèi)之和最小？最小是多少？
解析：本題以經(jīng)濟(jì)活動中的調(diào)運(yùn)安排為背景，具有較強(qiáng)的時(shí)代氣息.把實(shí)際的運(yùn)費(fèi)問題抽象成數(shù)學(xué)問題，建立變量之間的一次函數(shù)關(guān)系，再應(yīng)用函數(shù)知識進(jìn)行分析，從而使實(shí)際問題得以解決.
（1）將表1填寫完整，結(jié)果如表2所示.
yA與x的函數(shù)關(guān)系為：yA=20x+25（200-x）=-5x+5000（0≤x≤200）.
yB與x的函數(shù)關(guān)系為： yB= 15（240-x） +
18（60+x）=3x+4680（0≤x≤200）.
（2）當(dāng)yA＝y(tǒng)B時(shí)，-5x+5000=3x+4680，解得x=40，則：
當(dāng)x=40時(shí)，yA=yB ，兩村的運(yùn)費(fèi)相等；
當(dāng)0≤x＜40時(shí)，yA＞yB，B村的運(yùn)費(fèi)較少；
當(dāng)40＜x≤200時(shí)，yA＜yB，A村的運(yùn)費(fèi)較少.
（3）由yB≤4830，即3x＋4680≤4830，解得x≤50.
設(shè)兩村運(yùn)費(fèi)之和為z元，即z=yA+yB，得到z=-2x+9680.因?yàn)楫?dāng)0≤x≤50時(shí)，z隨x的增大而減小，所以當(dāng)x=50時(shí)，z有最小值為9580.即運(yùn)費(fèi)之和最小為9580元.
例3如圖2，在大連到煙臺的160千米航線上，某輪船公司每天上午8點(diǎn)（坐標(biāo)軸上的O點(diǎn)）到下午16點(diǎn)，每隔2小時(shí)有一艘輪船從大連開往煙臺，同時(shí)也有一艘輪船從煙臺開往大連，輪船在途中花費(fèi)8小時(shí).
（1）求上午8點(diǎn)從大連開往煙臺的輪船在途中（不包括大連和煙臺）遇到幾艘從對面開來的本公司的輪船.
（2）求上午8點(diǎn)從大連開往煙臺的輪船甲在途中遇到第三艘從對面開來的本公司的輪船乙的時(shí)間，和此時(shí)甲船到大連的距離.
解析：本題的信息通過文字和圖象兩種方式提供，解答時(shí)，需要圖文結(jié)合，提取有用信息，建立一次函數(shù)關(guān)系.
（1）由圖象可知，上午8點(diǎn)從大連開往煙臺的輪船，在途中遇到4艘從對面開來的本公司的輪船.
（2）由圖象可知，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，160），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，160），C點(diǎn)的坐標(biāo)為（12，0）.
設(shè)直線OA的解析式為y=kx.由160=8k，解得k=20，所以直線OA的解析式為y=20x.
設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，則由
所以，上午8點(diǎn)從大連開往煙臺的輪船甲航行6小時(shí)，即14點(diǎn)時(shí)，遇到第三艘從對面開來的本公司輪船乙，此時(shí)甲船到大連的距離為120千米.
[練習(xí)]
某校科技夏令營的學(xué)生在3名老師的帶領(lǐng)下，準(zhǔn)備赴北京大學(xué)參觀，體驗(yàn)大學(xué)生活.現(xiàn)有兩家旅行社前來承包，報(bào)價(jià)均為每人2000元，他們都表示可以優(yōu)惠，希望社表示帶隊(duì)老師免費(fèi)，學(xué)生按8折收費(fèi)，青春社表示師生一律按7折收費(fèi).經(jīng)核算，參加兩家旅行社的實(shí)際費(fèi)用正好相等.
（1）該校參加科技夏令營的學(xué)生共有多少人？
（2）如果又增加了部分學(xué)生，學(xué)校應(yīng)選擇哪家旅行社？
例1甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)分別同時(shí)開挖兩段河渠，所挖河渠的長度y（m）與挖掘時(shí)間x(h)之間的關(guān)系如圖1所示，請根據(jù)圖象所提供的信息解答下列問題：
（1） 乙隊(duì)開挖到30m時(shí)，用了__________h，開挖6h時(shí)甲隊(duì)比乙隊(duì)多挖了__________m；
（2） 請你求出：
① 甲隊(duì)在0≤x≤6的時(shí)段內(nèi)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
② 乙隊(duì)在2≤x≤6的時(shí)段內(nèi)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3） 當(dāng)x為何值時(shí)，甲、乙兩隊(duì)在施工過程中所挖河渠的長度相等？
解：（1） 2，10；
y=5x+20
（3） 由題意，得10x=5x+20，解得x=4（h）。
當(dāng)x為4h時(shí)，甲、乙兩隊(duì)所挖的河渠長度相等.
例2某市推出電腦上網(wǎng)包月制，每月收取費(fèi)用y（元）與上網(wǎng)時(shí)間x(小時(shí))的函數(shù)關(guān)系如下圖所示，其中BA是線段，且BA∥x軸，AC是射線。
（1） 當(dāng)x≥30，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2） 若小李4月份上網(wǎng)20小時(shí)，他應(yīng)付多少元的上網(wǎng)費(fèi)用？
（3） 若小李5月份上網(wǎng)費(fèi)用為75元，則他在該月份的上網(wǎng)時(shí)間是多少？
解：（1） 當(dāng)x≥30時(shí)，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b
則30k+b=6040k+b=90
解得k=3b=30
所以y=3x-30
（2） 4月份上網(wǎng)20小時(shí)，應(yīng)付上網(wǎng)費(fèi)60元
（3） 由75=3x-30 解得x=35，所以5月份上網(wǎng)35個(gè)小時(shí)。
例3某電信公司開設(shè)了甲、乙兩種市內(nèi)移動通信業(yè)務(wù)。甲種使用者每月需繳15元月租費(fèi)，然后每通話1分鐘，再付話費(fèi)0.3元；乙種使用者不繳月租費(fèi)，每通話1分鐘，付話費(fèi)0.6元。若一個(gè)月內(nèi)通話時(shí)間為x分鐘，甲、乙兩種的費(fèi)用分別為
（3） 由圖像知：
當(dāng)一個(gè)月通話時(shí)間為50分鐘時(shí)，兩種業(yè)務(wù)一樣優(yōu)惠
當(dāng)一個(gè)月通話時(shí)間少于50分鐘時(shí)，乙種業(yè)務(wù)更優(yōu)惠
1、注意激發(fā)學(xué)生的興趣
良好的開端是成功的一半，與學(xué)生建立良好的師生情誼，學(xué)生就會喜歡你，喜歡你上的課，從而認(rèn)真去聽去學(xué)，成績就會逐步提高。在上課過程中，注意學(xué)生的心理表現(xiàn)，認(rèn)知能力，從學(xué)生的思維角度去發(fā)現(xiàn)問題，找出問題的癥結(jié)所在，輕松解決問題。
2、培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力、閱讀興趣
閱讀不僅能增加學(xué)生的知識面，而且還能增強(qiáng)學(xué)生的分析、理解能力，教師有目的適時(shí)指導(dǎo)學(xué)生讀一些閱讀材料，由淺入深，逐步提高他們的閱讀能力，提高他們的興趣，當(dāng)學(xué)生獲得一次次成功之后，就會充滿信心，滿腔熱情去閱讀更多的材料，思考更多的問題，增強(qiáng)學(xué)習(xí)信心，提高學(xué)習(xí)興趣。
閱讀材料1：A、B兩地相距7.5km，甲、乙二人同時(shí)從A地出發(fā)前往B地，已知乙每小時(shí)比甲多走0.5km，結(jié)果比甲早到半小時(shí)，問甲、乙二人的速度各是多少?
閱讀材料2：A、B兩地相距7.5km，甲、乙二人從A地出發(fā)前往B地，甲先出發(fā)25分鐘后，乙才騎摩托車前往，結(jié)果二人同時(shí)到達(dá)B地，已知乙每小時(shí)比甲多行0.5kin時(shí)，乙發(fā)現(xiàn)甲丟了東西，立即騎車前往，在距B地1.5km處追上甲，已知乙每小時(shí)比甲多行0.5kin，問甲、乙二人的速度各是多少?
閱讀材料3：A、B兩地相距7.5km，甲從A地前往B地，走了0.5km時(shí)，乙發(fā)現(xiàn)甲丟了東西，立即騎車前往，在距B地1.5kin處追上甲，已知乙每小時(shí)比甲多行0.5km，問甲、乙二人的速度各是多少?
閱讀材料4：A、B兩地相距7.5km，甲從A地前往B地走了0.5km時(shí)，乙發(fā)現(xiàn)甲丟了東西，立即騎車前往，追上甲后立即返回，當(dāng)乙回到A地時(shí)，甲也剛好到達(dá)B地，已知乙每小時(shí)比甲多行0.5km，求甲、乙二人的速度各是多少?
3、引導(dǎo)學(xué)生思考，提高學(xué)生分析問題的能力
如何引導(dǎo)學(xué)生思考，進(jìn)一步提高學(xué)生分析問題的能力?以初中一次函數(shù)的一堂課為例加以說明：如圖，從圖中的你看到什么? (讓學(xué)生觀察圖形，教師再加以引導(dǎo))。以圖中多數(shù)學(xué)生自然得到：①圖中有兩條相交直線；②兩直線有唯一公共點(diǎn)，此時(shí)，若有學(xué)生還能得到更多的信息更好，若不能，教師可再進(jìn)一步引導(dǎo)：兩直線位置如何?在交點(diǎn)處兩直線情況又怎樣?
進(jìn)一步得出在交點(diǎn)處即x=a時(shí)，y1=y2；當(dāng)x>a時(shí)yl>y2，當(dāng)x
4、注意一題多解
例題：我市某中學(xué)要印刷本校高中招生的錄取通知書，有兩個(gè)印刷廠前來聯(lián)系制作業(yè)務(wù)，甲廠的優(yōu)惠條件是：按每份定價(jià)1.5元的八折收費(fèi)，另收900元的制版費(fèi)；乙廠的優(yōu)惠條件是：每份定價(jià)1.5元的價(jià)格不變，而制版費(fèi)900元則六折優(yōu)惠，且甲、乙兩家都規(guī)定一次印刷數(shù)量至少是500份。求：(1)兩個(gè)印刷廠收費(fèi)Y元(元)與印刷數(shù)量x(紛)的函數(shù)關(guān)系，并指出自變量x的取值范圍；(2)根據(jù)印刷數(shù)量選擇比較合算的方案；(3)若要印刷2000份錄取通知書，應(yīng)選擇哪一個(gè)廠?需要多少費(fèi)用?
分析：
(1)題目給出的條件是：
a、甲收費(fèi)：每份定價(jià)1.5元的八折收費(fèi)，另收900元的制版費(fèi)。
b、乙收費(fèi)：每份定價(jià)1.5元不變，另收900元的制版費(fèi)并六折優(yōu)惠。
c、一次印刷份數(shù)至少是500份。
(2)題目的問題：
a、兩印刷廠收費(fèi)Y(元)與印刷數(shù)量x(份)之間的函數(shù)關(guān)系，并指出x的取值范圍。
b、根據(jù)印刷的份數(shù)選擇比較合算的方案。
c、若要印刷2000份錄取通知書，應(yīng)選擇哪一個(gè)廠?需要多少費(fèi)用?
(3)、隱含的條件：
a、甲廠的費(fèi)用=1.5Xx80％+900
b、乙廠的費(fèi)用=1.5X+900x60％
解：①由已知
條件得：Y甲＝1.5Xx80％+900
Y乙＝1.5Xx80％+900
自變量x的取值范圍是[500，+00]
②利用圖像比較設(shè)甲廠的費(fèi)用y1＝1.5Xx80％+900；設(shè)乙廠的費(fèi)用y2=l.5X+900x60％。
由圖像知：兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1200，2300)
即：
a、500≤X
b、當(dāng)X=1200時(shí)，兩廠的收費(fèi)相同。
c、當(dāng)X>1200時(shí)，選擇甲廠較合算。
③當(dāng)這個(gè)中學(xué)要印刷2000份錄取通知書，由于2000>1200，故選擇甲廠，則需要的費(fèi)用為：Y甲＝1.2～2000+900＝3300元，即要印2000份錄取通知書，應(yīng)選擇甲廠，需要費(fèi)用是3300元。
5、注重一題多思
通過多思，不斷調(diào)動學(xué)生的積極性，啟發(fā)學(xué)生的思維，進(jìn)一步提高學(xué)生的解題能，通過多思進(jìn)一步提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力。
關(guān)鍵詞：分類討論思想；一次函數(shù)；應(yīng)用
當(dāng)前，數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)思想方法多種多樣。一個(gè)好的數(shù)學(xué)思想能輕松的解決生活中的實(shí)際問題，一種好的數(shù)學(xué)思想方法能便捷的使我們學(xué)習(xí)理解一個(gè)數(shù)學(xué)思想。本篇論文主要論述分類討論思想和一次函數(shù)及分類討論思想在一次函數(shù)中的應(yīng)用。目前國內(nèi)外論述分類討論思想在一次函數(shù)中的應(yīng)用的論文不勝枚舉，大多都是從函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖像、實(shí)際應(yīng)用和解題需求這五個(gè)方面分類。首先，分類討論思想是基本數(shù)學(xué)思想方法之一。它是一種解決生活中的實(shí)際問題的邏輯方法。合理地使用分類討論思想，我們可以使繁瑣的問題簡單化，使解決問題的思路更有條理。分類討論思想在教學(xué)中的應(yīng)用實(shí)際就是“化整為零，各個(gè)擊破”的教學(xué)策略。這也是為什么教材每個(gè)章節(jié)需要分各個(gè)小節(jié)。同時(shí)，分類討論思想應(yīng)用到數(shù)學(xué)教學(xué)中，有助于提高學(xué)生的邏輯性、條理性、概括性，對于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和邏輯的數(shù)學(xué)思維有重要意義。使學(xué)生掌握分類討論的思想方法有助于提高學(xué)生解題能力和分析問題的效績。其次，一次函數(shù)是重要的幾類函數(shù)之一，合理的利用好一次函數(shù)可以便捷的解決生產(chǎn)和生活中的諸多問題。近年來的考綱都有應(yīng)用書本知識解決實(shí)際問題的考點(diǎn)，諸如成本最小化、經(jīng)濟(jì)效益最大化、方案最優(yōu)化等等。可見掌握函數(shù)思想的重要性，因此學(xué)生應(yīng)該學(xué)好一次函數(shù)。最后，學(xué)習(xí)一次函數(shù)常用到分類討論的思想方法。分類討論思想應(yīng)用到一次函數(shù)中使教學(xué)思路更有條理，教學(xué)方案更清晰明了。
一、淺談分類討論思想
（一）分類討論思想的起源
大家都知道數(shù)學(xué)思想方法的兩大源頭分別是中國的《九章算術(shù)》和古希臘的《幾何原本》。隨著古今學(xué)者的研究發(fā)展，數(shù)學(xué)思想方法已經(jīng)出現(xiàn)了很多種。分類討論思想方法就是眾多的基本數(shù)學(xué)思想方法之一。
分類現(xiàn)象自古就存在。遠(yuǎn)古時(shí)期，人們收集到的食物會分類保存。能長時(shí)間保存的和不能長時(shí)間保存的、可以播種的和不能播種的植物，能圈養(yǎng)和不能圈養(yǎng)的動物。一個(gè)狩獵團(tuán)體根據(jù)體質(zhì)差異也有分工，行動敏捷的成員負(fù)責(zé)吸引獵物的注意力，身體壯實(shí)的負(fù)責(zé)對獵物造成傷害，臂力大的負(fù)責(zé)投擲標(biāo)槍等等。現(xiàn)在分類現(xiàn)象隨處可見，各種各樣的職業(yè)共同推動社會發(fā)展，大小不一的零件使機(jī)器正常運(yùn)行。正是因?yàn)榉诸愃枷耄藗冇袟l理的生活著，避免了很多的差錯與混亂現(xiàn)象。分類思想是古老文明的基本思想。
司馬遷編撰的《史記》 [1]卷六十五《孫子吳起列傳第五》曾記載“田忌賽馬”的故事，齊王與田忌賽馬，雙方按馬的速度將馬分為三等，齊王同等次的馬的速度均高于田忌。田忌將馬出場次序換位以下等馬對齊王的上等馬，以上等馬對齊王的中等馬，以中等馬對齊王的下等馬贏得比賽。田忌這種根據(jù)對方的馬出場次序而相應(yīng)的對自己的馬出場次序作出調(diào)整的思想方法就是分類討論思想。正是因?yàn)檫@一思想，田忌巧妙地贏得了比賽的勝利。為古代人的智慧史添上了絢麗的一筆。通過這個(gè)事例我們知道分類討論思想的重要性，分類討論思想其實(shí)與我們的生活息息相關(guān)。
現(xiàn)在已經(jīng)有很多的學(xué)者專家都有總結(jié)分類思想的含義，在《數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)研究導(dǎo)論》的第253頁指出：“分類是基本的邏輯方法之一，數(shù)學(xué)中的分類是按照數(shù)學(xué)對象的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對象區(qū)分為不同種類的思想方法。分類以比較為基礎(chǔ)，通過比較識別出數(shù)學(xué)對象之間的異同點(diǎn)，然后根據(jù)相同點(diǎn)將數(shù)學(xué)對象歸并為較大的類，根據(jù)差異點(diǎn)將數(shù)學(xué)對象劃分為較小的類，從而將數(shù)學(xué)對象區(qū)分為具有一定從屬關(guān)系的等級系統(tǒng)。”
隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，分類討論思想方法逐漸演化成數(shù)學(xué)思想方法的主要思想方法之一。同時(shí)，也正使得數(shù)學(xué)這門學(xué)科使得分類思想方法更加地深化與細(xì)化。如今，分類討論思想方法已經(jīng)是中高考試中的常考點(diǎn)。
（二）分類討論思想的概念界定
我們先了解分類討論思想的漢語釋義。“分類”一詞在辭海中的釋義為根據(jù)事物的特點(diǎn)分別歸類。“討論”一詞在辭海中的釋義為就某一問題進(jìn)行商量或辯論。“思想”一詞在辭海中指思維活動的結(jié)果，屬于理性認(rèn)識。從分類討論思想的漢語釋義可以知道分類討論思想先分別歸類再逐一商量討論。
分類思想和分類討論有什么區(qū)別與聯(lián)系呢？按從屬關(guān)系劃分，分類討論是一個(gè)種概念，分類思想是一個(gè)屬概念。分類思想并不專屬于數(shù)學(xué)領(lǐng)域，它是人們早期認(rèn)識世界面貌、改善生活條件的一種思維形態(tài)，即把復(fù)雜的事物依據(jù)其種類、性質(zhì)或品級進(jìn)行劃分或歸類。分類討論是分類思想實(shí)際應(yīng)用的一種具體形式，它要求把事物進(jìn)行劃分歸類，把分類的若干個(gè)種類進(jìn)行逐一的研究討論，最后把分類的若干討論結(jié)果歸納總結(jié)。
在數(shù)學(xué)領(lǐng)域各學(xué)者對于分類討論思想方法的概念界定幾乎大同小異，對于分類討論思想方法的概念幾乎不存在爭議。顧泠沅教授所著的《數(shù)學(xué)思想方法》有提到分類討論這一思想方法。在解答某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，有時(shí)會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論思想，同時(shí)也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)化整為零、集零為整的思想與歸類整理的方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性，有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題是比較繁瑣復(fù)雜的，通常安排在解答題板塊，所占分值比較高。所以在高考試題中占有重要的位置。
（三）分類討論思想的分類原則與方法
分類討論思想的分類原則：（1）所要分類的對象必須是確定的（2）分類出的各級內(nèi)容必須是完整的，不能犯遺漏某一級這種錯誤（3）應(yīng)該按同一標(biāo)準(zhǔn)分類（4）各個(gè)集域應(yīng)當(dāng)是互斥的，不出現(xiàn)重復(fù)的集域（5）分類必須逐級進(jìn)行，不能越級分類。分類討論思想的分類方法：明確分類討論的對象，確定對象的所有內(nèi)容，明_分類的標(biāo)準(zhǔn)，將對象正確進(jìn)行分類；逐級進(jìn)行討論，獲取階段性結(jié)果，歸納小結(jié)，綜合結(jié)論。
三、分類討論思想在一次函數(shù)中的應(yīng)用
分類討論思想在一次函數(shù)中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在一次函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖像與實(shí)際應(yīng)用這幾個(gè)方面。
（一）分類討論思想在一次函數(shù)概念方面的應(yīng)用
如何來辨別一個(gè)函數(shù)關(guān)系是不是一次函數(shù)？前面已經(jīng)給出了一次函數(shù)的概念。一般地。形如y=kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)（linear function）.當(dāng)y=kx+b中的k是變量或者x的指數(shù)是變量時(shí)，該變量取不同的值會有不同的結(jié)果，因此就需要是用分類討論的思想方法逐一討論。
那么我們來看這道例題：
例4 已知函數(shù)y=（m-5）x2m-1+3x-1，當(dāng)m為何值時(shí)，該函數(shù)是一次函數(shù)？
分析：根據(jù)函數(shù)概念，本題應(yīng)該分為三種情況討論：當(dāng)m-5=0時(shí)，函數(shù)是一次函數(shù)；當(dāng)2m-1=1時(shí)，函數(shù)是一次函數(shù)；當(dāng)2m-1=0時(shí)，函數(shù)是一次函數(shù)。綜上所述，m=5或1或 。
（二）分類討論思想在一次函數(shù)性質(zhì)方面的應(yīng)用
我們已經(jīng)知道一次函數(shù)具有單調(diào)增減性，一次函數(shù)的增減性在生活中經(jīng)常用到。一次函數(shù)要么遞增要么遞減，因此又是也需要用到分類討論思想。
例5 一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)2≤ x ≤ 4時(shí)，10≤ y ≤ 14。求的值。
分析：此題中一次函數(shù)的單調(diào)性尚不明確，因此需要分為兩種情況討論：
當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增時(shí)，即當(dāng)x=5時(shí)，y=10，當(dāng)x=4時(shí)，y=14，因此k=2， b=6
故=3，當(dāng)函數(shù)是單調(diào)遞減時(shí)，即當(dāng)x=2時(shí)，y=14，當(dāng)x=4時(shí)，y=10，因此k=-2， b=18故=-9。
（三）分類討論在一次函數(shù)圖像位置方面的應(yīng)用
如果一次函數(shù)y=kx+b中的k或b不明確那么一次函數(shù)圖像在平面直角坐標(biāo)系中的位置也將不明確，因此很多時(shí)候需要用到分類討論思想來解決相關(guān)問題。
例6 已知正比例函數(shù)y=x和一次函數(shù)y=kx+2的函數(shù)圖像與x軸圍成了一個(gè)面積為1的三角形，求一次函數(shù)的解析式。
分析：此題中一次函數(shù)的斜率并不明確，因此函數(shù)圖像的位置需要分為兩類。因?yàn)橐呀?jīng)知道兩個(gè)函數(shù)圖像與x軸圍成的三角形面積是1，且一次函數(shù)經(jīng)過定點(diǎn)（0，2）根據(jù)斜率將一次函數(shù)分為遞增和遞減兩類：當(dāng)一次函數(shù)單調(diào)遞增時(shí)，一次函數(shù)經(jīng)過x軸上的點(diǎn)A（-1，0），一次函數(shù)解析式為y=2x+2；當(dāng)一次函數(shù)單調(diào)遞減時(shí)，一次函數(shù)經(jīng)過x軸上的點(diǎn)E（2，0），一次函數(shù)的解析式為y=-x+2。所以總結(jié)兩類討論，一次函數(shù)的解析式為y=2x+2或y=1x+2。作圖如圖3.1和圖3.2。
（四）分類討論在一次函數(shù)實(shí)際問題方面的應(yīng)用
一次函數(shù)應(yīng)用到實(shí)際問題中已經(jīng)是常考點(diǎn)，這使數(shù)學(xué)更貼近生活，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識的能力。而在一些典型題型中常需要用到分類討論思想。
例7 小明準(zhǔn)備換電話卡，現(xiàn)在他已經(jīng)了解了兩種電話卡的套餐。A卡套餐為每月通話不超過100分鐘，則按每分鐘0.2元收費(fèi)，若每月通話大于100分鐘則超出時(shí)長按每分鐘0.16元收費(fèi)；B卡套餐為每月通話不超過200分鐘按每分鐘0.2元收費(fèi)，若每月通話超過200分鐘超出時(shí)長則按每分鐘0.12元收費(fèi)。如果小明每月通話 分鐘，請問他該如何選擇套餐最劃算？
分析：此題尚不明確小明每月通話時(shí)長，因此需要分三種情況討論：
當(dāng)0≤ x ≤ 100時(shí)，顯然兩種卡消費(fèi)一樣。
當(dāng)100≤ x ≤ 200時(shí)，A卡有優(yōu)惠，B卡無優(yōu)惠，因此選擇A卡。
當(dāng)x>200時(shí)，設(shè)A、B兩卡消費(fèi)分別為y1、y2。A卡消費(fèi)為y1=0.16x+20，B卡消費(fèi)為y2=0.12x+40，當(dāng)y1=y2時(shí)，x=500因此又需要分三種情況討論：當(dāng)x=500時(shí)，A、B兩卡消費(fèi)一樣，當(dāng)200500時(shí)，y1>y2選B卡更劃算。
分類討論思想這是數(shù)學(xué)基本思想方法之一。學(xué)生熟練掌握了這一思想方法，將更有邏輯有條理的分析處理問題。一次函數(shù)是最基本的函數(shù)，它對于解決實(shí)際生活生產(chǎn)需要有重要意義。教師在教學(xué)一次函數(shù)時(shí)應(yīng)當(dāng)科學(xué)的選取適當(dāng)?shù)慕蘔方法，務(wù)必是學(xué)生理解掌握一次函數(shù)，并將其遷移到實(shí)際問題中去。
參考文獻(xiàn)：
[1]司馬遷，史記，北京聯(lián)合出版社，2016.
[2]王鴻鈞，孫宏安，數(shù)學(xué)思想方法引論，人民教育出版社，1992.
[2]義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)教師學(xué)習(xí)指導(dǎo)，2011.
[3]數(shù)學(xué)八年級下冊，人民教育出版社，2013.
[4]顧泠沅，數(shù)學(xué)思想方法，中央廣播電視大學(xué)出版社，2004.
[5]潘興偉，初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，分類思想在一次函數(shù)中的應(yīng)用，2015.
[6]姬梁飛，科教文匯，論分類討論思想方法，2017.
