時(shí)間：2023-05-30 10:56:03
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇平面直角坐標(biāo)系習(xí)題，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
例1 如圖（一），已知
O1，O2，O3，O4是正方形ABEF，BCGH，CDPQ，DARS的中心，
求證：O1O3O2O4.
證明 在圖（一）上（按上
坐標(biāo)系，然后過E，H 作x軸
的平行線分別交y軸于E1，H1，過 Q，D，R，作y軸的平行線分別交
x軸于Q1，D1，R1，設(shè)點(diǎn)：A（a，0），B（0，b），C（c，0），D（d，e），于是我們由AB=BE，∠ABO=∠BEE1推出RtABO≌RtBEE1（注：本文推出全等的過程都略而不寫的理由附記于后），再由全等（注：點(diǎn)坐標(biāo)與線段的聯(lián)系其正負(fù)符號(hào)的選用存在訣竅，隨后亦有自行體驗(yàn)的說明）推出：
AO=BE1=-a，BO=EE1=-b
綜合（13）、（14）給出的信息（此即確定欲求點(diǎn)的條件），我們立刻可求得下列各欲求點(diǎn)的坐標(biāo)：D（a-6b，-a），F(xiàn)（a+6b，a-4b），設(shè)DF的中點(diǎn)為R1（x，y），由中點(diǎn)公式于是可求得：R1（a，-2b），因已求得R（a，-2b）的情形存在，故知R和R1重合，此即D， R，F(xiàn)三點(diǎn)共線，且同時(shí)由此而知R必平分DF.證明完畢.
特別說明：該證明過程所建立的直角坐標(biāo)系分別與正方形的邊垂直和平行，這也是最合適的建標(biāo)方式中的一種，在這一操作之下，同一正方形共有三個(gè)頂點(diǎn)落在了坐標(biāo)軸上，這樣的頂點(diǎn)坐標(biāo)使整個(gè)圖形最為簡(jiǎn)潔，以這些頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的輔助三角形們又通過套路證全等的途徑將設(shè)定點(diǎn)（本題中我們要注意OA=4b的設(shè)定有一定特色，這也是簡(jiǎn)化運(yùn)算過程的一種設(shè)定，且很多情況下都可以這樣操作）的信息傳遞給了欲求點(diǎn)，從而為下一步操作做出貢獻(xiàn).
本章將在上章學(xué)習(xí)了直線與方程的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)在平面直角坐標(biāo)系中建立圓的代數(shù)方程，運(yùn)用代數(shù)方法研究直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系，了解空間直角坐標(biāo)系，在這個(gè)過程中進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，形成用代數(shù)方法解決幾何問題的能力。
二、教學(xué)目標(biāo)
1、知識(shí)目標(biāo)：使學(xué)生掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程并依據(jù)不同條件求得圓的方程。
2、能力目標(biāo)：
（1）使學(xué)生初步熟悉圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的用途和用法。
（2）體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，形成代數(shù)方法處理幾何問題能力。
（3）培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、概括的思維能力。
三、重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決辦法
1、重點(diǎn)：
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程特點(diǎn)的明確。
2、難點(diǎn)：
圓的方程的應(yīng)用。
3、解決辦法
充分利用課本提供的2個(gè)例題，通過例題的解決使學(xué)生初步熟悉圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的用途和用法。
四、學(xué)法
在課前必須先做好充分的預(yù)習(xí)，讓學(xué)生帶著疑問聽課，以提高聽課效率。采取學(xué)生共同探究問題的學(xué)習(xí)方法。
五、教法
先讓學(xué)生帶著問題預(yù)習(xí)課文，對(duì)圓的方程有個(gè)初步的認(rèn)識(shí)，在教學(xué)過程中，主要采用啟發(fā)性原則，發(fā)揮學(xué)生的思維能力、空間想象能力。在教學(xué)中，還不時(shí)補(bǔ)充練習(xí)題，以鞏固學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解，并緊緊與考試相結(jié)合。
六、教學(xué)步驟
一、導(dǎo)入新課
首先讓學(xué)生回顧上一章的直線的方程是怎么樣求出的。
二、講授新課
1、新知識(shí)學(xué)習(xí)
在學(xué)生回顧確定直線的要素――兩點(diǎn)（或者一點(diǎn)和斜率）確定一條直線的基礎(chǔ)上，回顧確定圓的幾何要素――圓心位置與半徑大小，即圓是這樣的一個(gè)點(diǎn)的集合
在平面直角坐標(biāo)系中，圓心 可以用坐標(biāo) 表示出來，半徑長(zhǎng) 是圓上任意一點(diǎn)與圓心的距離，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得到圓上任意一點(diǎn) 的坐標(biāo) 滿足的關(guān)系式。
經(jīng)過化簡(jiǎn)，得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
2、知識(shí)鞏固
學(xué)生口答下面問題
1、求下列各圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
①圓心坐標(biāo)為（-4，-3）半徑長(zhǎng)度為6；
②圓心坐標(biāo)為（2，5）半徑長(zhǎng)度為3；
2、求下列各圓的圓心坐標(biāo)和半徑。
①
②
3、知識(shí)的延伸
根據(jù)“曲線與方程”的意義可知，坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)不滿足方程的點(diǎn)不在曲線上，為了使學(xué)生體驗(yàn)曲線和方程的思想，加深對(duì)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的理解，教科書配置了例1。
例1要求首先根據(jù)坐標(biāo)與半徑大小寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后給一個(gè)點(diǎn)，判斷該點(diǎn)與圓的關(guān)系，這里體現(xiàn)了坐標(biāo)法的思想，根據(jù)圓的坐標(biāo)及半徑寫方程――從幾何到代數(shù)；根據(jù)坐標(biāo)滿足方程來看在不在圓上――從代數(shù)到幾何。
三、知識(shí)的運(yùn)用
例2給出不在同一直線上的三點(diǎn)，可以畫出一個(gè)三角形，三角形有唯一的外接圓，因此可以求出他的標(biāo)準(zhǔn)方程。
由于圓的標(biāo)準(zhǔn)方程含有三個(gè)參數(shù)，因此必須具備三個(gè)獨(dú)立條件才能確定一個(gè)圓。引導(dǎo)學(xué)生找出求三個(gè)參數(shù)的方法，讓學(xué)生初步體驗(yàn)用“待定系數(shù)法”求曲線方程這一數(shù)學(xué)方法的使用過程。
四、小結(jié)
一、知識(shí)概括
1、圓心為 ，半徑長(zhǎng)度為 的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。
2、判斷給出一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)與圓什么關(guān)系。
3、怎樣建立一個(gè)坐標(biāo)系，然后求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
二、思想方法
（1）建立平面直角坐標(biāo)系，將曲線用方程來表示，然后用方程來研究曲線的性質(zhì)，這是解析幾何研究平面圖形的基本思路，本節(jié)課的學(xué)習(xí)對(duì)于研究其他圓錐曲線有示范作用。
（2）曲線與方程之間對(duì)立與統(tǒng)一的關(guān)系正是“對(duì)立統(tǒng)一”的哲學(xué)觀點(diǎn)在教學(xué)中的體現(xiàn)。
關(guān)鍵詞： 一題多解；討論研究；全能力
所謂“全能力”，從數(shù)學(xué)角度看，包括洞察玄機(jī)的觀察力、新舊知識(shí)整合的融通力、細(xì)致縝密的思考力、路徑選擇的調(diào)整力以及克難攻堅(jiān)的驅(qū)動(dòng)力、不言放棄的堅(jiān)持力、踏踏實(shí)實(shí)的執(zhí)行力……進(jìn)入初三復(fù)習(xí)階段后，對(duì)于一些綜合性較強(qiáng)的題目學(xué)生不太適應(yīng)，但是綜合性的題目是中考考查學(xué)生數(shù)學(xué)能力的必有考題。這樣的考題不僅考查的知識(shí)點(diǎn)多、知識(shí)面廣，而且往往將代數(shù)和幾何知識(shí)緊密結(jié)合，對(duì)學(xué)生而言是個(gè)很大的考驗(yàn)，要求學(xué)生有較高的基礎(chǔ)知識(shí)水平和較強(qiáng)的運(yùn)算能力、邏輯思維能力及空間想象能力。鑒于此，本人通過創(chuàng)新，在復(fù)習(xí)開始有意識(shí)地每過一段時(shí)期布置一道“研究題”，讓全班廣泛交流，對(duì)一題多解的研究收到了不錯(cuò)的效果。下面，我就一道改編的中考題展示學(xué)生解決這道題的成果，并談?wù)勗趯?shí)施過程中的想法。
習(xí)題：如圖1，直線y=x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C（0，n）是y軸上一點(diǎn)，把坐標(biāo)平面面積沿直線AC折疊，使點(diǎn)B剛好落在x軸上，請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)。
分析：（1）這道題是在平面直角坐標(biāo)系背景下的問題，考查學(xué)生一次函數(shù)和相似、勾股定理，軸對(duì)稱變換等的綜合解題能力，是一道典型的代數(shù)和幾何的綜合題。這又是一道近幾年來比較熱點(diǎn)的操作變換題，要求學(xué)生能運(yùn)用數(shù)學(xué)中觀察、試驗(yàn)、歸納、演繹、類比、分析、綜合、抽象、概括等常用的思維方法，并能結(jié)合題目選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}思路，使用有效的解題方法。
（2）平面直角坐標(biāo)系中常見著眼點(diǎn)是求解出函數(shù)與圖像的關(guān)系、直線與x軸、y軸的交點(diǎn)及題中的特殊點(diǎn)，因此根據(jù)直線解析式首先求出了點(diǎn)A 、B的坐標(biāo)A（4，0）、B（0，3），并通過解直角三角形RtAOB求得AB=5。
（3）根據(jù)折疊（軸對(duì)稱變換）中的變與不變找到線段之間的聯(lián)系，求得關(guān)鍵點(diǎn)和線段的長(zhǎng)度，假設(shè)折疊后點(diǎn)B剛好落在x軸上的點(diǎn)B處，要求得的關(guān)鍵點(diǎn)和線段的長(zhǎng)度即為點(diǎn)B'的坐標(biāo)和線段B'O的長(zhǎng)度。易得B'（-1，0），B'O=1。
下面給大家展示學(xué)生的四種解題方法：
解法一：如圖2，易求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)A（4，0）、B（0，3）。
在RtAOB中由勾股定理求得AB==5。
設(shè)折疊后點(diǎn)B與B'重合，則AB'=AB=5，B'O=1=1。
又沿直線AC折疊后B'C=BC=3-n，在RtB'OC中由勾股定理得B'O2+CO2=B'C2，12+n2=（3-n）2，解得n=，C（0，）。
生自述：這是一道有關(guān)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的問題，我想可以構(gòu)造直角三角形求解點(diǎn)的坐標(biāo)，按照這樣的想法一步步演算、證明得到了解法。從這道題給出的已知條件，先求出圖中標(biāo)示的點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，和折疊后落在x軸上點(diǎn)B'的坐標(biāo)。因?yàn)槭窃谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，一定會(huì)構(gòu)造出直角三角形。連接CB'，則構(gòu)造了RtB'OC，再根據(jù)折疊的軸對(duì)稱的性質(zhì)可得到B'C=BC=3-n，這樣就可以解RtB'OC，由勾股定理得出方程解，從求出了點(diǎn)C的坐標(biāo)。
解法二：如圖3，由折疊知AC為∠BAO的角平分線，過點(diǎn)C作CHAB，垂足為H，COAO，CH=CO=n。
由直線解析式：y=x+3易求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)A（4，0）、B（0，3），在RtAOB中由勾股定理求得AB==5。
SABO=SABC+SACO，AO·BO=CO·AO+CH·AB。
4×3=4n+5n，解得n=， C（0，）。
生自述：我是從折疊的軸對(duì)稱變換角度去尋求答案的，由軸對(duì)稱的性質(zhì)重疊的部分?jǐn)?shù)量相等，所以重疊角角相等，那么折痕AC為∠BAO的角平分線，由點(diǎn)C恰在角平分線上構(gòu)造角平分線的基本圖形，過點(diǎn)C作CHAB，這樣利用三角形的等面積變換求解出高CO的長(zhǎng)，從而求出了點(diǎn)C的坐標(biāo)。
解法三：如圖4，求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)A（4，0）、B（0，3）。
在RtAOB中，由勾股定理求得AB==5，設(shè)折疊后點(diǎn)B與B'重合，則AB'=AB=5，B'O=1。
在RtAOB中，由勾股定理求得BB'==，接BB'，則由折疊知直線AC為線段BB'的垂直平分線。
BG=BB'=，∠BGC=∠B'OB=90°。
∠GBC=∠B'BO（公共角），BGC∽BOB'，=，即=，解得n=，C（0，）。
生自述：我是從折疊中折痕是對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線角度去思考這個(gè)問題的。連接BB'，則直線AC為線段BB'的垂直平分線，構(gòu)造出了一對(duì)相似三角形BGC∽BOB'，然后想辦法求解出比例式中兩對(duì)對(duì)應(yīng)邊中三條邊的長(zhǎng)度，因?yàn)橐阎酥本€解析式，所以容易求解兩個(gè)直角三角形，從而求出了點(diǎn)C的坐標(biāo)。
解法四：如圖5，設(shè)折疊后點(diǎn)B與B'重合，則AB'=AB=5，
連接B'C，由折疊知B'C=BC=3-n，∠CB'O=∠OBA。
在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)∠B'OC=∠BOA=90°，B'OC∽BOA。
=，即=，解得n=，C（0，）。
生自述：學(xué)習(xí)了《相似三角形》后，很多時(shí)候用相似三角形的知識(shí)解題會(huì)減化計(jì)算，特別在平面直角坐標(biāo)系中構(gòu)造相似的直角三角形比較簡(jiǎn)單。所以連接B'C后，構(gòu)造了直角三角形由折疊知對(duì)應(yīng)角相等∠CB'O=∠OBA，對(duì)應(yīng)邊相等B'C=BC=3-n，又∠B'OC=∠BOA=90°，易證B'OC∽BOA，由直線解析式易求點(diǎn)A、B及點(diǎn)B'的坐標(biāo)。
學(xué)生在展示了各自的解法后展開了熱烈的探討，一致認(rèn)為從最優(yōu)化的角度來說顯然解法二和解法四較簡(jiǎn)單靈活。在此契機(jī)上師生之間、生生之間做了一次深度的探討，對(duì)每種解法都做了深刻的分析，并對(duì)各種解法取長(zhǎng)補(bǔ)短，把勾股定理、軸對(duì)稱、相似和一次函數(shù)的綜合應(yīng)用做了歸納總結(jié)。從學(xué)生展示的這四種方法來看，學(xué)生已熟悉了平面直角坐標(biāo)系中一類解題的基本規(guī)則和常用的方法，掌握了這類折疊題的著眼點(diǎn)，并能有創(chuàng)造性地整合勾股定理、相似、垂直平分線和函數(shù)的知識(shí)，訓(xùn)練這類題目的主要目的是要讓學(xué)生在解題過程中相互學(xué)習(xí)，積極研究探討找到解決一類問題的最優(yōu)化的解題策略。
經(jīng)過一段時(shí)間的試驗(yàn)后，本人覺得提高學(xué)生“全能力”要注意以下幾點(diǎn)：
（1）訓(xùn)練學(xué)生熟練掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，不斷積累數(shù)學(xué)解題技巧；
（2）引導(dǎo)學(xué)生熟悉常見的特征圖形，多發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖像中的幾何圖形或可以構(gòu)造的幾何圖形；
（3）幫助學(xué)生熟悉解題的常見著眼點(diǎn)，常用輔助線作法，把問題化大為小，各個(gè)擊破，從而解決問題；
關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)概念教學(xué)；教學(xué)情境
G633.6
一、問題的提出
學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基本概念的掌握是深入理解學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)鍵，數(shù)學(xué)概念的在教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中都起到不可或缺的作用，加強(qiáng)對(duì)概念的教學(xué)迫在眉睫。但觀察現(xiàn)在的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，發(fā)現(xiàn)教師對(duì)于概念的教學(xué)幾乎都存在忽視的現(xiàn)象，這十分不利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)整體的把握和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平的提高。因此，作為高中數(shù)學(xué)教師，必須加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，采取靈活多變的方式，創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)，使學(xué)生在準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上更好的完成其他部分的學(xué)習(xí)。筆者結(jié)合自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，以高中數(shù)學(xué)中的基本概念――任意角的三角函數(shù)為例，談?wù)剶?shù)學(xué)中重要概念的構(gòu)建。
二、教學(xué)實(shí)例
問題1：回顧一下任意角的概念。角是三角函數(shù)中的自變量，自變量的取值范圍是研究函數(shù)問題的重要起點(diǎn)。因此，回顧任意角的概念很有必要。
問題2：從平面直角坐標(biāo)系的角度再研究銳角的三角函數(shù)。本章研究的問題是三角函數(shù)，而函數(shù)的研究離不開平面直角坐標(biāo)系。回憶初中學(xué)過的銳角三角函數(shù)的定義，并思考一個(gè)問題：如果將銳角置于平面直角坐標(biāo)系中，如何用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)呢？
情境預(yù)設(shè)：先引導(dǎo)學(xué)生回憶以往學(xué)過的銳角三角函數(shù)的定義，但部分學(xué)生會(huì)對(duì)坐標(biāo)語(yǔ)言表述部分不熟悉，即使將角置于坐標(biāo)系中學(xué)生仍然習(xí)慣用三角形邊的比值表示銳角三角函數(shù)，因此教師要引導(dǎo)學(xué)生用終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)。
設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)上通過坐標(biāo)系的學(xué)習(xí)再次對(duì)已有知識(shí)進(jìn)行認(rèn)識(shí)，把學(xué)生已有知識(shí)和本節(jié)課將要講授的新知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系，降低認(rèn)知的起點(diǎn)。
解答過程：
問題3：三角函數(shù)的比值與具體的點(diǎn)是否有關(guān)系。
情境預(yù)設(shè)：學(xué)生在得出的結(jié)論中看到x，y，α，會(huì)因?yàn)槿狈?duì)數(shù)學(xué)的整體把握而誤以為函數(shù)值的大小與具體的x，y的值有關(guān)，從而與點(diǎn)P的位置有關(guān)。
設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)l(fā)學(xué)生從數(shù)和形兩個(gè)角度再認(rèn)識(shí)三角函數(shù)。從幾何的角度直觀觀察三角形相似，比值與具體的點(diǎn)的位置沒有關(guān)系。再?gòu)暮瘮?shù)的角度闡述三角函數(shù)值的大小只與自變量α的大小有關(guān)，與點(diǎn)P 的位置無關(guān)。
問題4：與單位圓結(jié)合簡(jiǎn)化三角函數(shù)值。引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)的角度對(duì)上述定義化簡(jiǎn)，使得分母為1，之后通過分母的幾何意義將之與單位圓結(jié)合起來。
回憶弧度制中1弧度角的幾何解釋，它是借助于單位圓給出的，能否從中得到啟示將上述定義的形式化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)的依據(jù)是什么？寫出最簡(jiǎn)單的形式。
設(shè)計(jì)意圖：引入單位圓。深化對(duì)單位圓作用的認(rèn)識(shí)，用數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行研究，為定義的拓展奠定基礎(chǔ)。
解答：?jiǎn)挝粓A中定義銳角三角函數(shù)：如圖3，線段OP=1，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），那么銳角α的三角函數(shù)可以用坐標(biāo)表示為：
問題5：上述三個(gè)問題的結(jié)論適用于任意角嗎？
情境預(yù)設(shè)：學(xué)生對(duì)終邊不在第一象限的角α的三角函數(shù)不確定。
設(shè)計(jì)意圖：具體認(rèn)識(shí)任意角的三角函數(shù)，凸顯本課時(shí)的研究重點(diǎn)。如果問題太一般化，如設(shè)計(jì)為：上述定義可以推廣到任意角的三角函數(shù)，請(qǐng)寫出任意角的三角函數(shù)的定義。那么學(xué)生不知道“上述定義”是指哪個(gè)，而且不明白任意角該如何取。所以在問題設(shè)計(jì)中再次強(qiáng)調(diào)要借助于單位圓，利用坐標(biāo)，限定學(xué)生的思維，以免太發(fā)散。再者在一般要求“寫出任意角的三角函數(shù)”之后，又提出具體的活動(dòng)方式。
三、教學(xué)反思
在本次課程教學(xué)過程中，教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧復(fù)習(xí)了任意角的概念，明確了函數(shù)的自變量；隨后引導(dǎo)學(xué)生建立直角坐標(biāo)系，以原點(diǎn)為中心畫出圓，觀察其圓周上的點(diǎn)的坐標(biāo)隨著銳角α的變化而變化，從而讓學(xué)生對(duì)“任意給定一個(gè)銳角α，圓周上就有唯一的一個(gè)點(diǎn)P（x，y）與之對(duì)應(yīng)”有直觀的體會(huì)與感受；接下來探究當(dāng)角α為銳角時(shí)，sinα= y 及 y 的值與角α終邊的位置關(guān)系，得出“y 的值只與角的大小（終邊的位置）有關(guān)，而與點(diǎn)P在角的終邊上的位置無關(guān)”這樣一個(gè)重要結(jié)論；最終，在上述銳角的函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，再由特殊到一般，把定義推廣到任意角，通過學(xué)生分組活動(dòng)得出任意角的三角函數(shù)的概念，進(jìn)而繼續(xù)探究該函數(shù)的各種性質(zhì)。
四、小結(jié)
在以往的數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，很多教師往往對(duì)概念教學(xué)的認(rèn)識(shí)不到位，偏重?cái)?shù)學(xué)習(xí)題的訓(xùn)練而忽視了概念的講解和教授，使學(xué)生在應(yīng)用時(shí)概念與計(jì)算不能很好地聯(lián)系到一起。新課程的實(shí)施強(qiáng)調(diào)了概念教學(xué)的重要性，本文根據(jù)其要求探討了高中數(shù)學(xué)概念的有效構(gòu)建方法，以任意角的三角函數(shù)為實(shí)例，從問題的提出、情境預(yù)設(shè)、設(shè)計(jì)意圖、解答過程進(jìn)行探討，并且通過畫圖分析使學(xué)生能更直觀形象的理解三角函數(shù)的概念。因此，高中數(shù)學(xué)教師必須要加強(qiáng)歲概念的講解，注重激發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維，聯(lián)系以往相關(guān)知識(shí)進(jìn)行知識(shí)遷移，避免理論概念和實(shí)際計(jì)算相脫節(jié)的情況。
⒖嘉南祝
[1]胡繼東.對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的幾點(diǎn)思考[J]. 高中數(shù)理化. 2012（08）
[2]俞湖紅.例談高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的有效策略[J]. 中等職業(yè)教育. 2012（06）
一、設(shè)計(jì)導(dǎo)入問題要有梯度，以拓展學(xué)生思維
人們的認(rèn)識(shí)遵循由具體到抽象，由感性認(rèn)識(shí)上升至理性認(rèn)識(shí)的規(guī)律，為此，教師在設(shè)計(jì)問題時(shí)，應(yīng)按照該認(rèn)識(shí)規(guī)律以及學(xué)生原本所具備的知識(shí)、認(rèn)知程度設(shè)計(jì)具備層次性、梯度性的問題，進(jìn)而充分激發(fā)學(xué)生的思維，提高其探索欲望，并且使不同程度的學(xué)生通過對(duì)問題探究，體會(huì)成功的喜悅，收獲成就感，進(jìn)而使其更加積極主動(dòng)地加入到數(shù)學(xué)課堂的學(xué)習(xí)之中.在新課程改革的背景之下，教師應(yīng)從“知識(shí)與能力”、“過程與方法”以及“價(jià)值觀與情感態(tài)度”這三個(gè)角度出發(fā)對(duì)課程進(jìn)行設(shè)計(jì)，對(duì)問題進(jìn)行合理安排，確保其具有梯度性.
例如在學(xué)習(xí)《二元一次方程組》這一課時(shí)，教師可創(chuàng)設(shè)如下問題.問題一，由貼近生活的案例引發(fā)學(xué)生的思考，如“籃球比賽中，勝一場(chǎng)獲2分，負(fù)一場(chǎng)獲1分，某球隊(duì)為了能夠在22場(chǎng)比賽中獲40分，則該隊(duì)勝負(fù)的場(chǎng)數(shù)分別為幾場(chǎng)？”問題二，分析題中包含的關(guān)系式，將題中涉及到的兩個(gè)必須要滿足的條件列出來.問題三，指導(dǎo)學(xué)生將兩個(gè)方程進(jìn)行合并，呈現(xiàn)二元一次方程組，由此引出課程主題，使學(xué)生更易入門.值得注意的是，教師在設(shè)計(jì)問題的過程中，要根據(jù)學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的把握情況來把握問題的梯度，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，推動(dòng)“梯田式”導(dǎo)學(xué)案的實(shí)施.
二、導(dǎo)學(xué)案課堂練習(xí)題的設(shè)計(jì)應(yīng)具有層次性
因初中階段學(xué)生所處的家庭環(huán)境、學(xué)習(xí)環(huán)境各異，加上知識(shí)水平方面的差異，使其在數(shù)學(xué)能力的發(fā)展方面也具有不同程度的差異性.為了能夠讓每位學(xué)生都能得到一定的發(fā)展，教在設(shè)計(jì)導(dǎo)學(xué)案課堂練習(xí)題的內(nèi)容時(shí)應(yīng)將數(shù)學(xué)的層次性特征充分體現(xiàn)出來，具體而言，就是要求教師依據(jù)學(xué)生在知識(shí)能力方面的差異性來設(shè)計(jì)課堂訓(xùn)練，并且訓(xùn)練內(nèi)容要體現(xiàn)層次性以及梯度性，從而讓各個(gè)層次的學(xué)生都能夠獲得逐步地、合理地提升.
例如在學(xué)習(xí)正負(fù)數(shù)、相反數(shù)與絕對(duì)值的定義時(shí)，教師可運(yùn)用直觀的對(duì)比案例、肯定與否定例證來對(duì)具有類似本質(zhì)特點(diǎn)的變式練習(xí)題進(jìn)行設(shè)計(jì)，從而進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，并且在理解方面不會(huì)出現(xiàn)較大的困難.教師可以運(yùn)用例題的變式題來設(shè)計(jì)具有一定綜合性與靈活性的綜合訓(xùn)練題，從而使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力得到有效地提升.
三、將學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行級(jí)別劃分
將學(xué)習(xí)內(nèi)容按照難度劃分為四個(gè)等級(jí)，分別為A、B、C、D.各個(gè)級(jí)別的學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)呈現(xiàn)循序漸進(jìn)、逐漸深入的特點(diǎn).其中A級(jí)為識(shí)記內(nèi)容，B級(jí)為理解內(nèi)容，C級(jí)為應(yīng)用級(jí)別的內(nèi)容，D級(jí)為拓展內(nèi)容.在對(duì)各個(gè)級(jí)別進(jìn)行設(shè)計(jì)與學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注重梯度，保證學(xué)習(xí)內(nèi)容面向全體學(xué)生.滿足各個(gè)學(xué)習(xí)程度的學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.
例如在學(xué)習(xí)《坐標(biāo)方法的簡(jiǎn)單應(yīng)用》時(shí)，A級(jí)為學(xué)生能夠運(yùn)用平面直角坐標(biāo)系將區(qū)域各地點(diǎn)的位置繪制出來，B級(jí)則為理解地理位置與坐標(biāo)間的關(guān)系，能夠用坐標(biāo)表示地理位置.C級(jí)則為自主繪圖，運(yùn)用坐標(biāo)系進(jìn)行平面圖形的平移.D級(jí)為運(yùn)用平面直角坐標(biāo)系解決生活中的實(shí)際問題.從而將教材單元的重點(diǎn)、難點(diǎn)進(jìn)行合理地劃分，按次序設(shè)置梯度，增強(qiáng)教學(xué)的有效性.
四、課后練習(xí)題型層次化，梯度區(qū)別明顯化
代數(shù)與幾何的綜合問題是指代數(shù)知識(shí)與幾何知識(shí)相互交融渾然一體的一類綜合題.這類問題通常以幾何圖形（或?qū)D形坐標(biāo)化）及函數(shù)圖象為背景，輔助于圖形的運(yùn)動(dòng)與變換（平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱）手段，融人函數(shù)（包括銳角三角函數(shù)）、方程、不等式等代數(shù)的核心知識(shí)，來綜合考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能、掌握的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行分析問題、解決問題的能力.題型大致可分為：（1）數(shù)、式與幾何圖形的綜合問題；（2）平面直角坐標(biāo)系中的幾何運(yùn)算問題；（3）方程、不等式與幾何圖形的綜合問題；（4）函數(shù)與幾何圖形的綜合問題，
解決代數(shù)與幾何綜合問題的基本思路：第一，要認(rèn)真審題弄清問題的條件與結(jié)論.盡可能分析轉(zhuǎn)化問題中的顯性條件，挖掘問題中的隱含條件.第二，充分關(guān)注幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)揮幾何直觀的導(dǎo)航作用.對(duì)復(fù)雜圖形我們要學(xué)會(huì)識(shí)圖，從中發(fā)現(xiàn)并分離出能夠幫助解決問題的基本圖形，或添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造基本圖形，以便聯(lián)想基本圖形的性質(zhì)去解決問題.第三，根據(jù)綜合題設(shè)計(jì)的結(jié)論分步探究的特點(diǎn)，我們要學(xué)會(huì)從題目中尋找代數(shù)與幾何這兩部分知識(shí)的結(jié)合點(diǎn)，進(jìn)行“肢解”.轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的代數(shù)或幾何問題，發(fā)現(xiàn)解決問題的突破口.從而“化整為零，各個(gè)擊破”.最后，要充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思想和方法的引領(lǐng)作用.分析與綜合、分類討論、函數(shù)、方程、數(shù)形結(jié)合、歸納與猜想等都是解決這類問題有效的數(shù)學(xué)思想和方法，特別是數(shù)形結(jié)合思想――由形導(dǎo)數(shù)、以數(shù)促形，可以架起連接代數(shù)與幾何的橋梁，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化，幫助我們另辟蹊徑，曲徑通幽.
歷年來，全國(guó)多數(shù)地區(qū)中考試卷的“代數(shù)與幾何的綜合問題”大部分是以“解答題”的形式出現(xiàn)在最后三、四道題，難度較大，從河南省的近三年試卷來看更是如此.2015年我們既要注意通過探究線段長(zhǎng)度滿足的數(shù)量關(guān)系判斷構(gòu)成的特殊形狀的幾何圖形（如等腰三角形、矩形、菱形、正方形）的開放性問題或解決有關(guān)幾何圖形的周長(zhǎng)與面積的計(jì)算問題，更要關(guān)注平面直角坐標(biāo)系中幾何圖形的有關(guān)計(jì)算問題以及以三種函數(shù)圖象為背景與幾何圖形融合于一體，判斷點(diǎn)、等腰三角形、特殊四邊形的存在性問題.
重點(diǎn)題型例析
一、數(shù)、式與幾何圖形的綜合問題
這類問題通過給出一組具有某種特定關(guān)系的數(shù)、式、幾何圖形或給出與圖形有關(guān)的操作變化過程，要求通過觀察、分析、推理發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)規(guī)律，進(jìn)而歸納或猜想出一般性的結(jié)論.
解決與幾何圖形有關(guān)規(guī)律的問題，我們應(yīng)從分析圖形結(jié)構(gòu)的形成過程人手，從特殊到一般、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜進(jìn)行歸納猜想從而獲得隱含的數(shù)學(xué)規(guī)律，并用代數(shù)式描述出來，進(jìn)而解決相關(guān)的問題.
例1 （2014.荊門）如圖1，在第1個(gè)A1BC中，∠B=300，A 1 B=CB；在邊A1B上任取一點(diǎn)D，延長(zhǎng)CA1到
二、坐標(biāo)系中的幾何運(yùn)算
由于新課標(biāo)對(duì)邏輯推理能力的要求有所削弱，一些高難度的純幾何問題被命題專家摒棄，取而代之出現(xiàn)了一類“坐標(biāo)幾何問題”，這類題目巧妙地將幾何圖形置于平面直角坐標(biāo)系中，將圖形坐標(biāo)化，通過點(diǎn)的坐標(biāo)來體現(xiàn)圖形中線段的長(zhǎng)度，或給出圖形中線段的長(zhǎng)度來確定圖形頂點(diǎn)的坐標(biāo)或滿足某種條件的特征點(diǎn)的坐標(biāo)，并輔助于圖形的折疊、平移、旋轉(zhuǎn)等變換手段，巧妙地將幾何和代數(shù)知識(shí)糅合在一起.解決這類問題要掌握?qǐng)D形變換的基本特征，關(guān)注動(dòng)點(diǎn)與靜點(diǎn)之間形成的特殊關(guān)系，挖掘幾何圖形的性質(zhì)，進(jìn)而利用直角三角形的勾股定理、銳角三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，或運(yùn)用三角形的全等、相似構(gòu)造方程求解.
例2（2014.攀枝花）如圖2，以點(diǎn)P（-l，0）為圓心的圓，交x軸于B、C兩點(diǎn)（B在C的左側(cè)），交y軸于A、D兩點(diǎn)（A在D的下方），A D=2、/3，將ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)1800，得到MCB.
（1）求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo).
（2）請(qǐng)?jiān)趫D中畫出線段MB、MC，并判斷四邊形ACMB的形狀（并說明理由），求出點(diǎn)M的坐標(biāo).
（3）動(dòng)直線l從與BM重合的位置開始繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，到與BC重合時(shí)停止，設(shè)直線2與CM的交點(diǎn)為E，點(diǎn)Q為BE的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EG BC于G，連接MQ、QC.在旋轉(zhuǎn)過程中∠MQG的大小是否變化？若不變，求出∠MQG的度數(shù)：若變化，請(qǐng)說明理由.
反思：本題是將人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)教材第24章“圓”復(fù)習(xí)題第122頁(yè)第1題垂徑定理的基本圖形與第80頁(yè)的例題1巧妙融合在一起，然后放到平面直角坐標(biāo)系中，并通過給出圓心的坐標(biāo)與弦長(zhǎng)，改編成探究直徑端點(diǎn)的坐標(biāo)及中心對(duì)稱圖形頂點(diǎn)的坐標(biāo).第（3）問則是命題專家為考查同學(xué)們?cè)谶\(yùn)動(dòng)變化的過程中探究問題的思維能力而利用直線旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)的一個(gè)角度“變與不變”的問題.
本題考查了垂徑定理、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、特殊角的銳角三角函數(shù)、圖形的旋轉(zhuǎn)等知識(shí)點(diǎn)，其中滲透了中心對(duì)稱的思想，證明四點(diǎn)共圓的方法.
解決本題的關(guān)鍵是能在較復(fù)雜的圖形中識(shí)圖，發(fā)現(xiàn)解決問題所需要的基本圖形，如本題第（1）問垂徑定理的基本圖形及由圓心到弦的垂線段、半弦、圓的半徑組成的RtPOA.
第（3）問探究∠MQG的大小是否變化，是本題的難點(diǎn)，難在直線l旋轉(zhuǎn)導(dǎo)致∠MQG的頂點(diǎn)的位置始終在變化，干擾了同學(xué)們的解題視線，為突破這一難點(diǎn)我們應(yīng)抓住變化中的不變量――兩個(gè)直角三角形且有公共的斜邊BE，從而利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”獲得點(diǎn)E、M、B、G到點(diǎn)Q的距離相等，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)圓心角∠MQC與圓周角∠MBG的關(guān)系，為定值的發(fā)現(xiàn)掃清了障礙.
三、方程、不等式與幾何的綜合問題
以幾何圖形為背景融人點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與圖形變換的一類問題，巧妙把代數(shù)中的方程與不等式“鑲嵌”其中構(gòu)成了中考?jí)狠S題的另一道風(fēng)景線.解決此類問題要學(xué)會(huì)辯證看待“運(yùn)動(dòng)”與“靜止”的相互關(guān)系，利用運(yùn)動(dòng)過程中某一瞬間靜止的位置，動(dòng)中窺靜，以靜制動(dòng)，抓住圖形的特殊位置，明晰圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系.當(dāng)探究有關(guān)圖形中變量之間的關(guān)系時(shí)，可建立函數(shù)模型或不等式模型求解；當(dāng)探究特殊位置關(guān)系或數(shù)值時(shí)，可建立方程模型求解.其中直角三角形的勾股定理、相似三角形中的比例線段、等腰三角形、特殊四邊形的邊之間的相等關(guān)系都為我們構(gòu)建方程提供了有效的等量關(guān)系.
例3 （2013.蘇州）如圖6，點(diǎn)0為矩形ABCD的對(duì)稱中心，AB=10 cm，BC=12 cm，點(diǎn)E.F、G分別從A、B、C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度為l cm/s，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度為3 cm/s，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度為1.5 cm/s，當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)C（即點(diǎn)F與點(diǎn)C重合）時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng).在運(yùn)動(dòng)過程中，EBF關(guān)于直線EF的對(duì)稱圖形是EB’F設(shè)點(diǎn)E.F、G運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（單位：s）.
（1）當(dāng)t=______ s時(shí)，四邊形EBFB’為正方形.
（2）若以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F.C.G為頂點(diǎn)的三角形相似，求t的值.
（3）是否存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B'與點(diǎn)0重合？若存在，求出￡的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
反思：本題以矩形為載體設(shè)計(jì)了三個(gè)質(zhì)點(diǎn)在三邊上運(yùn)動(dòng)的情形，其中滲透了軸對(duì)稱的思想、方程思想，融合了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、一元一次方程、一元二次方程的解法等知識(shí)點(diǎn).第（1）問需要應(yīng)試者實(shí)現(xiàn)從三角形到正方形的思維跨越，即只有等腰直角三角形沿斜邊翻折才能構(gòu)成正方形，從而順利發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)涵的棚等關(guān)系.第（2）問由于給出的相似三角形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)頂點(diǎn)小確定，應(yīng)分類求解，更應(yīng)引起同學(xué)們注意的是動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)問的取值范圍不可忽視，這也是解決這類問題對(duì)求的結(jié)果進(jìn)行取舍的一個(gè)重要依據(jù)，否則將會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果，第（3）問是探索存在型問題，解決這類問題一般先假設(shè)滿足條件的實(shí)數(shù)、圖形（點(diǎn)、線等）存在，然后結(jié)合題目提供的條件與圖形的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算與推理，如果導(dǎo)出互相矛盾的結(jié)論，就可判定不存在，反之則成立.
四、函數(shù)與幾何的綜合問題
幾何圖形與函數(shù)巧妙地融合滲透的學(xué)科內(nèi)綜合問題，把“形”與“數(shù)”達(dá)到了完美結(jié)合，被推向中考?jí)狠S題的位置.
這種題型命制方向有兩個(gè)：
其一，兇為幾何圖形中一些量可以度量，線段的長(zhǎng)度之問、線段與圖形的周長(zhǎng)或面積的大小之間隱含著內(nèi)在的對(duì)應(yīng)變化關(guān)系，這個(gè)關(guān)系可用函數(shù)的解析式來表示.解決此類問題的關(guān)鍵是能夠洞察圖形特有的結(jié)構(gòu)特征，充分挖掘幾何圖形所具有的性質(zhì)，列出包含兩個(gè)變量的相等關(guān)系式，再變形為相應(yīng)的一次函數(shù)、二次函數(shù)及反比例函數(shù)，進(jìn)而利用函數(shù)的性質(zhì)求得問題的答案.
其二，幾何圖形常以函數(shù)圖象間的交點(diǎn)、圖象與橫、縱坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、原點(diǎn)為頂點(diǎn)所構(gòu)成，隱蔽性、迷惑性較強(qiáng)，但其幾何圖形所反映出的性質(zhì)卻對(duì)解決問題具有至關(guān)重要的作用，解決此類問題我們要學(xué)會(huì)識(shí)圖適當(dāng)添線使隱含的特殊三角形、四邊形、圓等撥“云”見“日”，充分發(fā)揮兒何的直觀作用，利用數(shù)形結(jié)合思想溝通函數(shù)與圖形的性質(zhì)，并輔助于方程思想，準(zhǔn)確計(jì)算與推理、分析判斷與取舍，進(jìn)而達(dá)到問題的最終獲解.
例4 （2014.綿陽(yáng)）如圖8，矩形ABCD中，AB=4，∠AD=3，把矩形沿直線AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE
反思：本題來源于人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第3章《軸對(duì)稱》“等腰三角形”一節(jié)第79頁(yè)的一道練習(xí)題及人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第27章《相似》“復(fù)習(xí)鞏固”第58頁(yè)“拓廣探索”的第11題，同時(shí)將課本中銳角三角形變?yōu)橹苯侨切危瑢?nèi)接正方形拓展為內(nèi)接矩形，巧妙地將兩道習(xí)題拓展后的圖形融合到一個(gè)矩形的折疊的情境中，改編成探究?jī)?nèi)接矩形面積的最值問題，
如圖1-1，點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)B'是點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)，AB'交l于點(diǎn)P，
（1） AB'與AP＋PB相等嗎？為什么？
（2） 如圖1-2，在l上任取一點(diǎn)Q，并連接AQ和QB，那么AQ＋QB與AP＋PB哪一個(gè)大，為什么？
分析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)B'是點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，所以直線l是線段BB'的垂直平分線，所以PB＝PB'，故有AP＋PB＝AP＋PB'＝AB'.
（2）AQ＋QB＞AP＋PB. 連接QB'，在AQB'中，根據(jù)“兩邊之和大于第三邊”，有AQ＋QB'＞AB'. 由（1）的結(jié)論可知AP＋PB＝AB'，所以AQ＋QB'＞AP＋PB. 又因?yàn)镼B＝QB'，從而有AQ＋QB＞AP＋PB.
波利亞說過：“數(shù)學(xué)問題的解決僅僅只是成功的一半，更重要的是解題后的回顧. ”解題后的反思能揭示問題的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)問題的規(guī)律，獲得創(chuàng)新的靈感，提高數(shù)學(xué)的解題能力.
反思上述問題的分析過程，我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)Q在直線l上運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，不論運(yùn)動(dòng)到何處，只要異于點(diǎn)P的位置總有AQ＋QB＞AP＋PB，也就是說只有當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合時(shí)，線段AQ＋QB的和才能取得最小值A(chǔ)P＋PB.因此我們可以得到如下的結(jié)論：若點(diǎn)A、B是位于直線l同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)，作其中一點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，這點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與直線l的交點(diǎn)，到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和最小.
運(yùn)用與拓廣
課本中有些例題與習(xí)題就其使用價(jià)值而言，往往不亞于一些重要的定理、法則. 平面直角坐標(biāo)系的創(chuàng)始人――著名的法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒曾經(jīng)說過：“我所解決的每一個(gè)問題都將成為一個(gè)范例，以用于解決其他相關(guān)的問題.”所以我們要重視課本的基礎(chǔ)性作用.
利用上題的結(jié)論我們很容易解決下面這個(gè)具有實(shí)際背景的數(shù)學(xué)問題.
如圖甲，直線MN表示一條河流的河岸.在河流的同旁有A、B兩個(gè)村莊，現(xiàn)要在河邊修建一個(gè)排水站，問這個(gè)排水站建在什么地方，可以使所鋪設(shè)的管道最短？請(qǐng)?jiān)趫D中找出表示排水站的點(diǎn).
分析：要使所鋪設(shè)的管道最短，即在直線MN上找到一點(diǎn)，使這個(gè)點(diǎn)到A、B兩點(diǎn)的距離之和最小.我們可以假設(shè)A、B在直線的異側(cè)，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，只要連接AB，則AB和MN的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn).但是現(xiàn)在A、B在MN的同側(cè)，所以可以運(yùn)用軸對(duì)稱的性質(zhì)，將“同側(cè)”化為“異側(cè)”，從而解決問題.
解：（1）作點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)A1；
（2）連結(jié)A1B交直線MN于點(diǎn)C，則點(diǎn)C就是所要求的點(diǎn).
下面我們一起來看看由此引申出來的2008年的中考試題吧！
例1（2008年湖北省咸寧市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l是第一、三象限的角平分線.
實(shí)驗(yàn)與探究：
（1） 由圖觀察易知點(diǎn)A（0，2）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（2，0）. 請(qǐng)?jiān)趫D中分別標(biāo)明點(diǎn)B（5，3）、C（－2，5）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B'、C'的位置，并寫出它們的坐標(biāo)：B'、C'；
（2）結(jié)合圖形觀察以上三組點(diǎn)的坐標(biāo)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)P（a，b）關(guān)于第一、三象限的角平分線l的對(duì)稱點(diǎn)P '的坐標(biāo)為
（不必證明）；
（3）已知兩點(diǎn)D（1，－3）、E（－1，－4），試在直線l上確定一點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到D、E兩點(diǎn)的距離之和最小，并求出Q點(diǎn)的坐標(biāo).
分析：（1）觀察網(wǎng)格中點(diǎn)B、C的位置，容易發(fā)現(xiàn)其對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為B'（3，5）、C'（5，－2）.
其實(shí)，高考題離我們并不遠(yuǎn)，很多試題都是“源于教材”的，若平時(shí)留心、在意，解題能力定有飛躍.
教材系統(tǒng)地展示了高中數(shù)學(xué)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).教材中許多性質(zhì)、公式、例題、習(xí)題等都體現(xiàn)著知識(shí)的形成過程和同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)達(dá)到的能力要求，揭示了相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)屬性，蘊(yùn)涵著重要的數(shù)學(xué)思想方法.對(duì)教材中出現(xiàn)的例題或習(xí)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)母脑臁⒅亟M形成考試題是高考數(shù)學(xué)試卷的一個(gè)特點(diǎn).因此在高三復(fù)習(xí)中加強(qiáng)對(duì)教材中的性質(zhì)、公式推導(dǎo)過程的反思，加強(qiáng)對(duì)教材中的例題、習(xí)題的研究，能幫助同學(xué)們更好地掌握基礎(chǔ)知識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)能力，扎實(shí)提高復(fù)習(xí)的有效性.
一、 原題考查
對(duì)于一些應(yīng)該考查的簡(jiǎn)單問題，高考也不會(huì)忌諱使用課本原題.
【高考題1】 若將一顆質(zhì)地均勻的骰子（一種各面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具）先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和為4的概率是 .
【課本題1】 連續(xù)拋擲一顆骰子2次，分別求擲出的點(diǎn)數(shù)和為2，3，…，12的概率.
二、 小改考查
高考卷中與課本題同類的題舉不勝舉.（以下僅舉兩例.）
【高考題2】 已知向量a與b的夾角為120°，|a|=1，|b|=3，則|5a－b|= .
【課本題2】 已知|a|=2，|b|=3，a與b的夾角為120°，求a?b和|a+b|.
【高考題3】 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P在曲線C：y=x3－10x+3上，且在第二象限內(nèi)，已知曲線C在點(diǎn)P處的切線的斜率為2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 .
【課本題3】 曲線y=x2的一條切線的斜率是－4，求切點(diǎn)的坐標(biāo).
三、 換貌考查
高考考查同學(xué)們的思維能力和思維品質(zhì)，有些試題“深藏不露”，題面貌似考查某一知識(shí)點(diǎn)（塊）（并非不能解決），但用另一知識(shí)點(diǎn)（塊）處理會(huì)更快捷.
【高考題4】 滿足條件AB=2，AC=2BC的ABC的最大面積是 .
本題乍一看，是三角問題，可以運(yùn)用三角知識(shí)求解.
圖1
【課本題4】 如圖1，已知∠A為定角，點(diǎn)P，Q分別在∠A的兩邊上，PQ為定長(zhǎng).當(dāng)P，Q處于什么位置時(shí)，PAQ的面積最大？
圖2
如圖2，設(shè)BC=x，則AC=2x.
由余弦定理得cos B=x2+4-2x24x=4-x24x，于是sin B=-x4+24x2-1616x2，所以ABC的面積SABC=12×2?x?sin B=-(x2-12)2+12816.
由2x+x＞2，
x+2＞2x，得22－2＜x＜22+2.
故當(dāng)x=23時(shí)，ABC面積最大，最大面積為22.
但若細(xì)細(xì)審，可以發(fā)現(xiàn)求最大面積表明面積在變化，而引起面積變化的根本原因是點(diǎn)C的變化（可視A，B為定點(diǎn)），即題中點(diǎn)C是動(dòng)點(diǎn).可以聯(lián)想到解析幾何中的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程.
【課本題5】 已知點(diǎn)M（x，y）與兩個(gè)定點(diǎn)O（0，0），A（3，0）的距離之比為12，那么點(diǎn)M的坐標(biāo)應(yīng)滿足什么關(guān)系？
【課本題6】 求平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比等于2的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.
【課本題7】 已知點(diǎn)M到橢圓x2132+y2122=1的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)的距離之比為2∶3，求點(diǎn)M的軌跡方程.
以上三道課本題所求的軌跡都是圓，稱為阿波羅尼斯圓（平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為正數(shù)λ（λ≠1）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡）.
于是【高考題4】中動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是圓.
建立平面直角坐標(biāo)系xOy，設(shè)A（－1，0），B（1，0），C（x，y）（y≠0）.
由AC=2BC，可得（x+1）2+y2=2［（x－1）2+y2］，化簡(jiǎn)得（x－3）2+y2=8（y≠0），于是|y|max=22.故（SABC）max=12?AB?|y|max=22.
很顯然，該方法遠(yuǎn)簡(jiǎn)單于三角方法.
【高考題5】 設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，滿足3≤xy2≤8，4≤x2y≤9，則x3y4的最大值是 .
本題初看無從入手，但如果聯(lián)想積（商）與和（差）的轉(zhuǎn)化，便不難想到取對(duì)數(shù)后即轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題.
教材中線性規(guī)劃題很多，但介紹的解題方法單一.如果掌握通過整體構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)求解的方法，對(duì)本題的解答定有益處.
【課本題8】 求z=2x+y的最大值，其中x，y滿足約束條件x－4y≤－3，3x+5y≤25.
本題解法：設(shè)2x+y=m（x－4y）+n（3x+5y）=（m+3n）x+（－4m+5n）y，于是m+3n=2，－4m+5n=1，解得m=717，n=917.
所以2x+y=717（x－4y）+917（3x+5y）≤717×（－3）+917×25=12.故z=2x+y的最大值是12.
對(duì)于【高考題5】，可以仿照上述解法：設(shè)x3y4=（xy2）m?x2yn=xm+2ny2m-n，于是m+2n=3，2m－n=－4，解得m=－1，n=2.
本題為江蘇省某重點(diǎn)中學(xué)一次調(diào)研數(shù)學(xué)試題中的一道填空題，學(xué)生做完后感覺不太好入手，本人閱卷后也發(fā)現(xiàn)正確率不高，仔細(xì)品味一下這道題，覺得很值得研究，下面對(duì)這道題的解法作一些探討，供大家參考：
1.引入變量，利用函數(shù)求最值。設(shè)∠A=α，AB=2x，AD=x，則因?yàn)锳BC的面積是ABD的面積的兩倍，故問題可轉(zhuǎn)化求ABD面積的最大值即可。
解法1：（以邊變量為主元）在ABD中，由余弦定理有9=4x2+x2-4x2cosα，得 所以x2=5（即ABC的腰長(zhǎng)為2√5）時(shí)，ABC的面積最大值為6。
【點(diǎn)評(píng)】 從函數(shù)角度出發(fā)，直接從面積公式下手，其中最關(guān)鍵的問題是利用三角形成立的條件求出x的范圍，即確定函數(shù)的定義域，這一點(diǎn)恰恰是利用函數(shù)解題時(shí)容易忽略的或較難確定準(zhǔn)確的。
解法2：（以角變量為主元）由上式得 ，
其中 可視為點(diǎn)（cosα，sinα）與點(diǎn) 的連線的斜率，由α∈（0，π），可求得t∈[- ，0]，故ABC的面積最大值為6，此時(shí)cosα=，x2=5，即ABC的腰長(zhǎng)為2√5。
【點(diǎn)評(píng)】從形的角度出發(fā)，構(gòu)造兩點(diǎn)間連線的斜率，借助數(shù)形結(jié)合思想來解決。
解法3：由于 ，令S'= ，得
在（）上單調(diào)遞增，在（）上單調(diào)遞減，故Smax=6。
【點(diǎn)評(píng)】借助導(dǎo)數(shù)求三角函數(shù)最值，導(dǎo)數(shù)也是解決最值常用的方法。
解法4：由思路2知
，當(dāng)且僅當(dāng)5cosα=4?1即cos=
時(shí)ABC的面積有最大值6。
【點(diǎn)評(píng)】此法利用了不等式（a2-b2）（c2-b2）≤（ac-bd）2當(dāng)且僅當(dāng)ac=bd時(shí)取“=”號(hào)。
2.建系設(shè)點(diǎn)，利用基本不等式求最值。以底邊BC所在直線為 軸，BC的垂直平分線為x軸建立如圖所示直角坐標(biāo)系，設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，對(duì)二元最值問題作一些思考。
解法5：設(shè)D（m，n），則A（0，2n），C（2m，0），B（-2m，0），
BD=√9m2+n2=3BD，即9m2+n2=9，
9m2+n2≥2?3mn，即mn≤（當(dāng)且僅當(dāng)3m=n時(shí)取等號(hào)）
SABC=BC?AO=4mn≤6
解法6：同上法建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AO∩BD=G，則點(diǎn)G為ABC的重心，從而 ，
而
又BD=√9m2+n2=3，即9m2+n2=9，
9m2+n2≥2?3mn，即mn≤（當(dāng)且僅當(dāng)3m=n時(shí)取等號(hào)）
SBOG≤1，從而SABC≤6。
【點(diǎn)評(píng)】解法5和解法6，用代數(shù)的方法來解決有關(guān)幾何圖形問題，往往能收到異曲同工的效果，使我們?cè)凇吧礁F水盡疑無路”時(shí)，有著“柳暗花明又一村”的感覺。
3.變式探究。如題改為：若等腰三角形ABC的腰AC上的中線BD的長(zhǎng)為3，則ABC周長(zhǎng)的最大值為 。
解析：本題可采用引入變量，利用函數(shù)求最值，如令A(yù)D=x，則腰長(zhǎng)為2x，由余弦定理知
即得：
故周長(zhǎng)C（x）=4x+√18-2x2，其中1＜x＜3
令C'=4+ ，
得1＜x＜2√2
當(dāng)1＜x＜2√2時(shí)，函數(shù)C（x）單調(diào)遞增;當(dāng)2√2＜x＜1時(shí)，函數(shù)C（x）單調(diào)遞減；
故當(dāng)x=2√2時(shí)，函數(shù)C（x）取得最大值9√2，即ABC的周長(zhǎng)最大值為9√2。
4.引申思考。本題欲求ABC的面積的最大值，實(shí)際上只需求ABD的面積的最大值，這也就類似于2008年江蘇高考數(shù)學(xué)卷第13題：滿足條件AB=2，AC=√2BC的三角形ABC的面積的最大值為________。
解法1：設(shè)BC＝x，則AC＝√2x，根據(jù)面積公式得
SABC= AB?BCsinB=x√1-cos2B
根據(jù)余弦定理得：
代入上式得：
由三角形三邊關(guān)系有
解得：
故當(dāng)x=2√2時(shí)取得SABC最大值2√2。
1訂正一些題的錯(cuò)誤答案
1）與《必修2》配套使用的《教師教學(xué)用書》（下簡(jiǎn)稱《教師用書2》）第15頁(yè)給出的《必修2》第29頁(yè)第1題的答案“它的表面積和體積分別為”不對(duì)，應(yīng)改為“它的表面積和體積分別為”.
2）《教師用書2》第16頁(yè)給出的《必修2》第36頁(yè)第9題前四個(gè)小題的答案不完整，應(yīng)改為.
3）《教師用書2》第90頁(yè)給出的《必修2》第115頁(yè)第10題的答案中的不對(duì)，應(yīng)改為.
4）《教師用書2》第110頁(yè)給出的《必修2》第123頁(yè)第2（2）題的答案中的“半徑長(zhǎng)是1的圓”不對(duì)，應(yīng)改為“半徑長(zhǎng)是11的圓”.
5）《必修2》第139頁(yè)習(xí)題B組的第3題末的問話是“由以上問題，你得到了什么結(jié)論？你能證明你的結(jié)論嗎？”，而《教師用書2》第135頁(yè)并沒有給出此問的答案，筆者認(rèn)為答案可以是：與兩條異面直線都垂直且都相交的直線（叫做這兩條異面直線的公垂線）被這兩條異面直線所截得的線段（叫做這兩條異面直線的公垂線段）是連結(jié)這兩條異面直線上各一點(diǎn)的線段中的最短者，用直角三角形中的斜邊長(zhǎng)大于直角邊長(zhǎng)可證此結(jié)論全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書《數(shù)學(xué)?第二冊(cè)（下B）》（2006年人民教育出版社）第55頁(yè)敘述了這一結(jié)論.
6）《必修2》第144頁(yè)復(fù)習(xí)參考題B組的第2題中已給出了點(diǎn)M的坐標(biāo)（x，y），那就說明題中已建立了坐標(biāo)系，而題中并未建立坐標(biāo)系，所以建議把此題題目改述為（答案不變）：
2已知點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)M1，M2距離的比是已知的正數(shù)m，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形（提示：應(yīng)考慮m=1和m≠1兩種情形）.
2建議對(duì)一些題目作修改
1）建議把《必修2》第35頁(yè)第1題的第（2）小題改為“用鐵絲作一個(gè)三角形，在三個(gè)頂點(diǎn)上，分別固定一根筷子，把三根筷子的另一端也用鐵絲連成一個(gè)三角形，從而獲得一個(gè)幾何體模型如果筷子的長(zhǎng)度相等且兩個(gè)鐵絲連成的三角形所在的平面平行，那么這個(gè)幾何體是”（這樣改動(dòng)后，答案與《教師用書2》第16頁(yè)給出的答案是“三棱柱或三棱臺(tái)”相同）
2）《必修2》第35頁(yè)第5題中的題設(shè)“底面直徑與母線長(zhǎng)相等，”是多余的，建議刪去.
3）建議把第79頁(yè)第1題改述為：
1如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，且BE=BF=14BC，將AED，DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)A′.
（1）求證：A′DEF；
（2）求三棱錐A′-EFD的體積.
4）建議把《必修2》第110頁(yè)習(xí)題A組第6題改為“已知點(diǎn)A（1，2），B（2，0），P（0，3），Q（-1，1），M（1，0），N（-4，0）六點(diǎn)，長(zhǎng)度分別為|AB|，|PQ|，|MN|的三條線段首尾順次相接能圍成一個(gè)三角形嗎？為什么？”
5）建議把《必修2》第110頁(yè)習(xí)題B組第8題中的“0
6）建議把《必修2》第128頁(yè)練習(xí)的第4題改為“已知直線l：y=x+6，圓C：x2+y2-2y-4=0試求直線l與圓C公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)”（答案：0）
7）建議把《必修2》第132頁(yè)練習(xí)的第2題末的“求這座圓拱橋的拱圓的方程”改為“求這座圓拱橋的圓拱的方程”.
8）建議把《必修2》第132頁(yè)習(xí)題第1題末的“如果相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)”改為“如果有公共點(diǎn)，求出公共點(diǎn)坐標(biāo)”.
9）建議把《必修2》第133頁(yè)習(xí)題第8題中的“斜邊BC為m”改為“斜邊BC長(zhǎng)為m”.
10）因?yàn)椤侗匦?》第138頁(yè)練習(xí)的第3題及第139頁(yè)習(xí)題B組的第1題有重復(fù)，所以建議刪去前者保留后者并且《教師用書2》第134頁(yè)中對(duì)這兩道題的解答中均出現(xiàn)了線段的長(zhǎng)度是“98”，應(yīng)改成“72”在前者的解答中，需要驗(yàn)證“7+7>98”（即兩邊之和大于第三邊），而對(duì)于后者是不需要驗(yàn)證這一步的（滿足勾股定理的逆定理即可）.
11）建議把《必修2》第144頁(yè)復(fù)習(xí)參考題B組的第4題改述為：
（1）交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)； （2）AOB的面積
12）第144頁(yè)的復(fù)習(xí)參考題中應(yīng)添上關(guān)于“43空間直角坐標(biāo)系”的題目.
3一些定理的敘述應(yīng)作改動(dòng)
《必修2》第55頁(yè)寫道：
“定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行”
命題可以寫成“若……則……”或“如果……那么……”的形式，但若寫成“……則……”或“……那么……”的形式筆者認(rèn)為不妥，建議把它改述為：
“定理若平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行”
《必修2》第57、59、65、71頁(yè)的定理都應(yīng)進(jìn)行改動(dòng).
4對(duì)第86頁(yè)腳注的異議
《必修2》第86頁(yè)的腳注是“我們約定：若沒有特別說明，說‘兩條直線l1和l2’時(shí)，一般是指兩條不重合的直線”第87頁(yè)又寫道：
對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，有l(wèi)1∥l2k1=k2.
請(qǐng)注意：若直線l1和l2可能重合時(shí)，我們得到k1=k2l1∥l2
或l1與l2重合
由這些敘述，就使我們對(duì)腳注的話無所適從：在解題時(shí)，應(yīng)不應(yīng)當(dāng)考慮兩條直線是否重合呢？
再來看第87頁(yè)的例3：
第89頁(yè)練習(xí)的第1題是：
1判斷下列各對(duì)直線平行還是垂直：
（1）經(jīng)過兩點(diǎn)A（2，3），B（-1，0）的直線l1，與經(jīng)過點(diǎn)P（1，0）且斜率為1的直線l2；
（2）經(jīng)過兩點(diǎn)C（3，1），B（-2，0）的直線l3，與經(jīng)過點(diǎn)M（1，-4）且斜率為-5的直線l4.
《教師用書2》第40頁(yè)給出的答案是：
顯然，這些解法都沒有考慮兩條直線是否重合的情形.
第89頁(yè)習(xí)題的第6題是：
6判斷下列各小題中的不同直線l1與l2是否平行：
（1）l1的斜率為2，l2經(jīng)過點(diǎn)A（1，2），B（4，8）；
（2）l1經(jīng)過點(diǎn)P（3，3），Q（-5，3），l2平行于x軸，但不經(jīng)過P，Q兩點(diǎn)；
（3）l1經(jīng)過點(diǎn)M（-1，0），N（-5，-2），l2經(jīng)過點(diǎn)R（-4，3），N（0，5）.
從此題題干中的“不同直線l1與l2”來看，說明我們以后解答此類題時(shí)，應(yīng)考慮兩條直線是否重合的情形（第（2）小題中的條件“但不經(jīng)過P，Q兩點(diǎn)”應(yīng)去掉，因?yàn)樗c題干中的“不同直線l1與l2”重復(fù)）
第94頁(yè)的例2是：
從此題的答案來看，說明以后解答此類題時(shí)，也應(yīng)考慮兩條直線是否重合的情形.
第104頁(yè)練習(xí)的第2題及第109頁(yè)習(xí)題的第1題中三個(gè)小題的答案均有兩直線重合的情形.
所以我們?cè)诰帞M此種題目時(shí)，難以保證兩條直線沒有重合的情形，因而建議去掉第86頁(yè)的腳注，且此種題目的處理方法按老教材全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書（必修）《數(shù)學(xué)?第二冊(cè)（上）》（2006年人民教育出版社）中的方式處理：考慮重合的情形，且應(yīng)當(dāng)先講述“直線的方程”，再講述“兩條直線平行與垂直的判定”.
5
關(guān)于第99頁(yè)的腳注
《必修2》第99頁(yè)的腳注“法國(guó)數(shù)學(xué)家，解析幾何創(chuàng)始人之一”是對(duì)笛卡爾的介紹，雖然該書第111-112頁(yè)對(duì)笛卡爾有較詳細(xì)的介紹，但首次介紹笛卡爾時(shí)，還是應(yīng)當(dāng)介紹其生卒年建議將此腳注改為“笛卡爾（Descartes，1596～1650），法國(guó)數(shù)學(xué)家，解析幾何創(chuàng)始人之一”.
另外，《必修2》第125頁(yè)中的“王浩（1921-1999）”應(yīng)改為“王浩（1921-1995）”（可見相關(guān)網(wǎng)頁(yè)或1995年第6期《哲學(xué)研究》第79頁(yè)的文章《王浩教授在美逝世》）.
6
關(guān)于第103頁(yè)的“探究”
一、數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的基本內(nèi)涵分析
作為新時(shí)期的教育工作者，不單單要給學(xué)生傳授知識(shí)，更重要的是能夠培養(yǎng)學(xué)生自主創(chuàng)新、主動(dòng)思考問題的能力.自主探索可以有效地提高學(xué)生的全面素質(zhì)，學(xué)生自主學(xué)習(xí)、獨(dú)立思考、舉一反三能力的培養(yǎng)在教學(xué)上顯得尤其重要.在數(shù)學(xué)課本中，知識(shí)的傳授往往是以習(xí)題和例題的形式出現(xiàn)的，很少有文字的闡釋.例題往往是知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合，有著明確的示范和導(dǎo)向作用.所以教師就要充分利用課本中的例習(xí)題的教學(xué)價(jià)值，讓學(xué)生學(xué)習(xí)借鑒例習(xí)題的方法，自己進(jìn)行獨(dú)立思考，探索研究，這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，進(jìn)而學(xué)到得到更多新的知識(shí)和學(xué)方法.
要想促進(jìn)和深化中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革，提升學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、思考能力，必須運(yùn)用現(xiàn)代化數(shù)學(xué)教學(xué)思想和理論，在探索數(shù)學(xué)課本上例題、習(xí)題的基礎(chǔ)上，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，逐步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的能力.
二、引導(dǎo)學(xué)生的發(fā)散性思維
這種思維模式可以反映出學(xué)生在根據(jù)題目所給的信息中，是否可以做到信息的各種可能的擴(kuò)散，不局限在題目所給的限定的條件.也就是說可以根據(jù)題目所給的現(xiàn)有的條件來把自己的思路打開，依據(jù)書本中現(xiàn)有的定理和數(shù)學(xué)公式，通過自己發(fā)散的思維來找出解此類題目的關(guān)鍵因素，并實(shí)現(xiàn)對(duì)由此問題延伸出的一系列相關(guān)問題的正確解答.如果學(xué)生的發(fā)散性思維得到開發(fā)，學(xué)生本身就會(huì)很樂意自己去學(xué)習(xí)，并且還會(huì)在這種思維變通中，體會(huì)到學(xué)習(xí)的樂趣，以此達(dá)到更好的學(xué)習(xí)效果，這對(duì)教師本身來講也是一種教學(xué)的成功.
在教學(xué)過程中，教師要對(duì)課本的例習(xí)題進(jìn)行深入的挖掘和研究，變換其中的條件，把教材中的例習(xí)題講得精一點(diǎn)、深一點(diǎn).
例如，如圖1 ，利用關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)，作出與ABC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖形.
圖1 圖2
以此問題為例，分析可知若ABC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖形為A′B′C′，要想作出A′B′C′，首先必須引導(dǎo)學(xué)生掌握以下關(guān)鍵因素：（1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱也就是兩個(gè)圖形上任何一點(diǎn)都必須關(guān)于原點(diǎn)相互對(duì)稱；（2）A′B′C′的形狀由其三個(gè)頂點(diǎn)位置來決定，因此作圖過程中，找出ABC三個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的三個(gè)點(diǎn)即可確定A′B′C′三個(gè)頂點(diǎn)；（3）根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的規(guī)律，可將ABC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)確定.
經(jīng)過分析，教師可引導(dǎo)學(xué)生找出該類題型的解題規(guī)律.通過以上分析，該題作為一道作圖題，學(xué)生不難得出該類題型的解題關(guān)鍵是根據(jù)“兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則它們的橫、縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)”的基本規(guī)律，以此來確定ABC的三個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可方便地畫出ABC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖形.
緊接著教師可將此題“變形”來發(fā)散學(xué)生思維.
變式1：變化通行位置，求出關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).
例如，參照?qǐng)D2所示，PQR是ABC經(jīng)過某種變化得到的圖形.若ABC邊上任意一點(diǎn)M坐標(biāo)為（a，b），那么M經(jīng)過這種變化后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為
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引導(dǎo)學(xué)生解題思路分析：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)圖形也就是指兩個(gè)圖形上任何一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后根據(jù)“兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)”的基本規(guī)律我們不難得到，M（a，b）對(duì)應(yīng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（-a，-b）.
變式2：變換圖形的位置，作出關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖形.
例如，ABC在平面直角坐標(biāo)系中各頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，其位置可參照?qǐng)D3所示.
（1）作出ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形A1B1C1，同時(shí)寫出C1的坐標(biāo).
（2）作出ABC關(guān)于直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O對(duì)稱的A2B2C2，同時(shí)寫出點(diǎn)C2的坐標(biāo).
圖3
引導(dǎo)學(xué)生解題思路分析：（1）由于所求的A1B1C1與ABC關(guān)于y軸對(duì)稱，所以可結(jié)合“兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，它們縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)相互為相反數(shù)”這一規(guī)律得出A1、B1、C1三點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由于A2B2C2與ABC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此可結(jié)合“兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則它們橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)”的規(guī)律來得出A2、B2、C2三點(diǎn)坐標(biāo).由此分析，學(xué)生自然可作出如圖4所示的結(jié)果，且求得C1的坐標(biāo)為（-3，2），C2的坐標(biāo)為（-3，3）.
數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出：反思是數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心和動(dòng)力.通過對(duì)例題不斷變式探索，可有效地培養(yǎng)學(xué)生對(duì)新問題的探索精神，同時(shí)也發(fā)散了思維，不會(huì)再因觸及到新題目，而感到一片茫然.教師作為問題的引導(dǎo)者，一定要充分發(fā)揮其應(yīng)有的積極作用，鼓勵(lì)學(xué)生積極主動(dòng)去探索新的問題，解題后要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，培養(yǎng)他們的發(fā)散性思維及發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力.尤其是到了初中階段之后，隨著年齡的不斷增長(zhǎng)，學(xué)生的這種思維也逐步呈現(xiàn)出加速的趨勢(shì).課本例習(xí)題作為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，有些例習(xí)題的條件含而不露，弦外有音，這就為理解片面，審題馬虎的學(xué)生設(shè)置了障礙.因此，我們應(yīng)有效的培養(yǎng)學(xué)生多角度思維模式，努力培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成深入研究問題的好習(xí)慣.
三、挖掘隱含條件，靈活的將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化
初中時(shí)期的學(xué)生對(duì)各種游戲活動(dòng)往往具有較高的興趣，所以在課堂教學(xué)過程中我們能夠按照學(xué)生的心理狀況與教學(xué)知識(shí)來設(shè)計(jì)合理的數(shù)學(xué)游戲，把要求學(xué)生應(yīng)當(dāng)理解和掌握的知識(shí)點(diǎn)滲透到游戲活動(dòng)中來，同時(shí)在這一過程中將數(shù)學(xué)思想滲透給學(xué)生，讓他們?cè)跐撘颇信囵B(yǎng)數(shù)學(xué)思維方式，擺正學(xué)習(xí)態(tài)度，促進(jìn)課堂教學(xué)效率的不斷提升。與此同時(shí)，還能夠借助于數(shù)學(xué)游戲來調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，因?yàn)閿?shù)學(xué)游戲可以把抽象的知識(shí)內(nèi)容變得更加形象化，初中數(shù)學(xué)中常常有很多抽象的知識(shí)點(diǎn)，這些知識(shí)是要求學(xué)生必須掌握的，所以我們?cè)谡n堂教學(xué)中引入游戲，將實(shí)際生活中的案例搬到課堂中來引導(dǎo)學(xué)生理解知識(shí)，讓他們?cè)跐撘颇倪^程中把抽象的知識(shí)點(diǎn)具象化，隨后完成內(nèi)化的過程。在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，作為教師應(yīng)當(dāng)給學(xué)生提供更多觀察和分析的機(jī)會(huì)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力，讓他們實(shí)現(xiàn)終身學(xué)習(xí)。
二、游戲教學(xué)法在初中數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用
（一）在知識(shí)講解中應(yīng)用數(shù)學(xué)游戲
初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中學(xué)生往往會(huì)碰到很多性質(zhì)類、定理類的知識(shí)概念需要掌握和理解，然而因?yàn)椴糠謱W(xué)生自身理解能力和基礎(chǔ)知識(shí)水平不是很高，所以在學(xué)習(xí)過程中對(duì)這部分定理和性質(zhì)應(yīng)用不是非常熟練，理解也不夠透徹。所以我們能夠應(yīng)用合理的數(shù)學(xué)游戲，充分發(fā)揮出游戲活動(dòng)的作用，如對(duì)三角形相關(guān)性質(zhì)與定理的學(xué)習(xí)過程中，因?yàn)槿切涡再|(zhì)較多，初中生學(xué)習(xí)時(shí)好奇心較重，不免會(huì)提出很多有趣的問題。在教學(xué)三角形內(nèi)角和為180€笆保糠盅崳飾裁矗懇獯鶿塹囊苫笪頤悄芄簧杓埔恍蝸罰縟盟親約憾種譜魅切危蟀蚜礁黿羌糲呂叢俸土磽飭礁黿瞧唇釉諞黃穡岱⑾幟芄黃闖梢桓銎澆牽绱艘煥此塹囊晌示湍芄幌N唐淅斫猓頤且竺懇幻屯瀾醒菔荊傭由疃哉庖歡ɡ淼募且鋄1]。
（二）在思維培養(yǎng)中設(shè)置數(shù)學(xué)游戲
初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中，科學(xué)的應(yīng)用游戲教學(xué)法能夠幫助我們更好的培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，同時(shí)在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)游戲活動(dòng)的過程中，教師應(yīng)當(dāng)對(duì)游戲有更加深入的解讀，同時(shí)對(duì)游戲的選擇也必須要重視其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)價(jià)值和趣味性特點(diǎn)。對(duì)數(shù)學(xué)游戲的深入解讀能夠讓學(xué)生逐漸培養(yǎng)和提升數(shù)學(xué)思維。例如說在教學(xué)三視圖的過程中我們能夠設(shè)計(jì)如下的游戲活動(dòng)，拿出一個(gè)透明的水壺?cái)[放在講臺(tái)上，隨后把學(xué)生分為幾個(gè)不同的小組要求他們對(duì)水壺進(jìn)行觀察，借助于不同角度的觀察，學(xué)生所說出的答案和正視圖都存在一定的差別。此時(shí)學(xué)生會(huì)產(chǎn)生疑問，我們順勢(shì)把三視圖的基本概念和應(yīng)用向他們進(jìn)行詳細(xì)的講解，再回頭配合觀察水壺這個(gè)游戲，讓學(xué)生對(duì)三視圖相關(guān)知識(shí)的理解更加深入。
（三）在講解概念時(shí)設(shè)置數(shù)學(xué)游戲
講解數(shù)學(xué)概念時(shí)常常不容易吸引學(xué)生的注意力，學(xué)生學(xué)習(xí)起來也較為乏味，因此我們應(yīng)用數(shù)學(xué)游戲來讓這部分知識(shí)變得有趣起來，調(diào)動(dòng)他們的學(xué)習(xí)積極性。如在教學(xué)平面直角坐標(biāo)系的各象限中的坐標(biāo)符號(hào)時(shí)，我們能夠設(shè)置如下的游戲：首先向?qū)W生解釋要求兩位學(xué)生手牽手，這樣表示有序?qū)崝?shù)即是平面中的某點(diǎn)坐標(biāo)，位于左邊的學(xué)生代表橫坐標(biāo)，位于右邊的學(xué)生代表縱坐標(biāo)，面朝大家為正數(shù)，背向大家為負(fù)數(shù)；隨后我們邀請(qǐng)任意兩位同學(xué)手牽手站在講臺(tái)上，蒙住雙眼，在地上畫出直角坐標(biāo)系，要求兩名同學(xué)不斷變換方向。隨后提問：誰可以根據(jù)他們面對(duì)的方向帶這兩名同學(xué)回到各個(gè)象限中？借助于這一游戲讓學(xué)生更加深刻的了解了平面直角坐標(biāo)系的應(yīng)用，進(jìn)而強(qiáng)化了他們對(duì)知識(shí)的理解。
（四）在鞏固新知時(shí)應(yīng)用數(shù)學(xué)游戲
所謂溫故而知新，鞏固和復(fù)習(xí)知識(shí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要的一部分，在過去的課堂教學(xué)過程中，當(dāng)學(xué)生基本掌握新學(xué)的知識(shí)內(nèi)容后，教師常常會(huì)選擇一些練習(xí)題來幫助學(xué)生鞏固教學(xué)，然而這樣較為傳統(tǒng)的“題海戰(zhàn)術(shù)”很難調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。在鞏固知識(shí)內(nèi)容的過程中，我們能夠考慮應(yīng)用游戲活動(dòng)，讓游戲變?yōu)榫毩?xí)，這樣一來往往能夠起到更好的鞏固效果。例如說在教學(xué)了概率這部分知識(shí)之后，為了進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)概率的理解和認(rèn)識(shí)，讓他們感受到概率在實(shí)際生活中的應(yīng)用，我們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)轉(zhuǎn)盤游戲。事先制作好兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，一個(gè)分為三部分，標(biāo)上1、2、3，一個(gè)分為兩部分，標(biāo)上4、5，這時(shí)任意邀請(qǐng)兩位學(xué)生來轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤，兩人轉(zhuǎn)完一次為一輪游戲。學(xué)生A的獲勝要求是兩個(gè)轉(zhuǎn)盤之和為6、7，否則學(xué)生B獲勝。其他同學(xué)自己選擇支持的一方。在得到結(jié)果后我們要求學(xué)生思考這一游戲是否公平，為什么，并計(jì)算出概率[2]。
三、結(jié)語(yǔ)
總而言之，初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中設(shè)計(jì)科學(xué)合理的數(shù)學(xué)游戲來輔助教學(xué)活動(dòng)，能夠讓學(xué)生更容易理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，充分調(diào)動(dòng)其學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)其學(xué)習(xí)信心。作為一線數(shù)學(xué)教學(xué)，我們更應(yīng)當(dāng)進(jìn)一步深入探索更新更好的教學(xué)方法，積極總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，讓數(shù)學(xué)課堂更加豐富多彩，充滿趣味。
參考文獻(xiàn)：
