時間：2023-02-22 19:32:42
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇數(shù)學知識總結(jié)，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
年齡問題：已知兩人的年齡，求若干年前或若干年后兩人年齡之間倍數(shù)關系的應用題，叫做年齡問題。
年齡問題的三個基本特征：
①兩個人的年齡差是不變的;
②兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的;
③兩個人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的;
解題規(guī)律：抓住年齡差是個不變的數(shù)(常數(shù))，而倍數(shù)卻是每年都在變化的這個關鍵。
例：父親今年54歲，兒子今年18歲，幾年前父親的年齡是兒子年齡的7倍
⑴ 父子年齡的差是多少?54 – 18 = 36(歲)
⑵ 幾年前父親年齡比兒子年齡大幾倍? 7 - 1 = 6
⑶ 幾年前兒子多少歲? 36÷6 = 6(歲)
⑷ 幾年前父親年齡是兒子年齡的7倍? 18 – 6 = 12 (年)
答：XX年前父親的年齡是兒子年齡的7倍。
2、小升初數(shù)學知識點(歸一問題特點)
歸一問題的基本特點：
問題中有一個不變的量，一般是那個“單一量”，題目一般用“照這樣的速度”……等詞語來表示。
關鍵問題：根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量;
復合應用題中的某些問題，解題時需先根據(jù)已知條件，求出一個單位量的數(shù)值，如單位面積的產(chǎn)量、單位時間的工作量、單位物品的價格、單位時間所行的距離等等，然后，再根據(jù)題中的條件和問題求出結(jié)果。這樣的應用題就叫做歸一問題，這種解題方法叫做“歸一法”。有些歸一問題可以采取同類數(shù)量之間進行倍數(shù)比較的方法進行解答，這種方法叫做倍比法。
由上所述，解答歸一問題的關鍵是求出單位量的數(shù)值，再根據(jù)題中“照這樣計算”、“用同樣的速度”等句子的含義，抓準題中數(shù)量的對應關系，列出算式，求得問題的解決。
3、小升初數(shù)學知識點(植樹問題總結(jié))
植樹問題基本類型：
在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹
在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都不植樹
在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹
封閉曲線上植樹
基本公式：
棵數(shù)=段數(shù)+1 棵距×段數(shù)=總長 棵數(shù)=段數(shù)-1
棵距×段數(shù)=總長 棵數(shù)=段數(shù) 棵距×段數(shù)=總長
關鍵問題：
確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關系
4、小升初數(shù)學知識點(雞兔同籠問題)
雞兔同籠問題基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設問題，就是把假設錯的那部分置換出來;
基本思路：
①假設，即假設某種現(xiàn)象存在(甲和乙一樣或者乙和甲一樣)：
②假設后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少;
③每個事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個差的原因;
④再根據(jù)這兩個差作適當?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差。
基本公式：
①把所有雞假設成兔子：雞數(shù)=(兔腳數(shù)×總頭數(shù)-總腳數(shù))÷(兔腳數(shù)-雞腳數(shù))
②把所有兔子假設成雞：兔數(shù)=(總腳數(shù)一雞腳數(shù)×總頭數(shù))÷(兔腳數(shù)一雞腳數(shù))
關鍵問題：找出總量的差與單位量的差。
5、小升初數(shù)學知識點(盈虧問題)
盈虧問題基本概念：一定量的對象，按照某種標準分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種標準分組，又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于分組的標準不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關系求對象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭?
基本思路：先將兩種分配方案進行比較，分析由于標準的差異造成結(jié)果的變化，根據(jù)這個關系求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對象的總量.
基本題型：
①一次有余數(shù)，另一次不足;
基本公式：總份數(shù)=(余數(shù)+不足數(shù))÷兩次每份數(shù)的差
②當兩次都有余數(shù);
基本公式：總份數(shù)=(較大余數(shù)一較小余數(shù))÷兩次每份數(shù)的差
③當兩次都不足;
基本公式：總份數(shù)=(較大不足數(shù)一較小不足數(shù))÷兩次每份數(shù)的差
學習是每個一個學生的職責，而學習的動力是靠自己的夢想，也可以這樣說沒有自己的夢想就是對自己的一種不責任的表現(xiàn)，也就和人失走肉沒啥兩樣，下面給大家分享一些關于七年級上冊數(shù)學知識總結(jié)，希望對大家有所幫助。
七年級上冊數(shù)學知識11、三角形由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形。
2、判斷三條線段能否組成三角形。
①a+b>c(ab為最短的兩條線段)
②a-b
3、第三邊取值范圍：a-b
4、對應周長取值范圍
若兩邊分別為a,b則周長的取值范圍是2a
如兩邊分別為5和7則周長的取值范圍是14
5、三角形中三角的關系
(1)、三角形內(nèi)角和定理：三角形的三個內(nèi)角的和等于1800。
n邊行內(nèi)角和公式(n-2)
(2)、三角形按內(nèi)角的大小可分為三類：
(1)銳角三角形，即三角形的三個內(nèi)角都是銳角的三角形;
(2)直角三角形，即有一個內(nèi)角是直角的三角形，我們通常用“RtΔ”表示“直角三角形”,其中直角∠C所對的邊AB稱為直角三角表的斜邊，夾直角的兩邊稱為直角三角形的直角邊。
注：直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的兩個銳角互余。
(3)鈍角三角形，即有一個內(nèi)角是鈍角的三角形。
(3)、判定一個三角形的形狀主要看三角形中角的度數(shù)。
(4)、直角三角形的面積等于兩直角邊乘積的一半。
6、三角形的三條重要線段
(1)、三角形的角平分線：
1、三角形的一個內(nèi)角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線。
2、任意三角形都有三條角平分線，并且它們相交于三角形內(nèi)一點。
(內(nèi)心)
(2)、三角形的中線：
1、在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫做這個三角形的中線。
2、三角形有三條中線，它們相交于三角形內(nèi)一點。
(重心)
3、三角形的中線把這個三角形分成面積相等的兩個三角形
(3)、三角形的高線：
1、從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱為三角形的高。
2、任意三角形都有三條高線，它們所在的直線相交于一點。
(垂心)
3、注意等底等高知識的考試
7、相關命題：
1)三角形中最多有1個直角或鈍角，最多有3個銳角，最少有2個銳角。
2)銳角三角形中的銳角的取值范圍是60≤X
3)任意一個三角形兩角平分線的夾角=90+第三角的一半。
4)鈍角三角形有兩條高在外部。
5)全等圖形的大小(面積、周長)、形狀都相同。
6)面積相等的兩個三角形不一定是全等圖形。
7)能夠完全重合的兩個圖形是全等圖形。
8)三角形具有穩(wěn)定性。
9)三條邊分別對應相等的兩個三角形全等。
10)三個角對應相等的兩個三角形不一定全等。
11)兩個等邊三角形不一定全等。
12)兩角及一邊對應相等的兩個三角形全等。
13)兩邊及一角對應相等的兩個三角形不一定全等。
14)兩邊及它們的夾角對應相等的兩個三角形全等。
15)兩條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。
16)一條斜邊和一直角邊對應相等的兩個三角形全等。
17)一個銳角和一邊(直角邊或斜邊)對應相等的兩個三角形全等。
18)一角和一邊對應相等的兩個直角三角形不一定全等。
19)有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形。
8、全等圖形
1、兩個能夠重合的圖形稱為全等圖形。
2、全等圖形的性質(zhì)：全等圖形的形狀和大小都相同。
9、全等三角形
1、能夠重合的兩個三角形是全等三角形，用符號“≌”連接，讀作“全等于”。
2、用“≌”連接的兩個全等三角形，表示對應頂點的字母寫在對應的位置上。
10、全等三角形的判定
1、三邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或“SSS”。
2、兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫為“角邊角”或“ASA”。
3、兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫為“角角邊”或“AAS”。
4、兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊角邊”或“SAS”。
11、做三角形(3種做法：已知兩邊及夾角、已知兩角及夾邊、已知三邊、已知兩角及一邊可以轉(zhuǎn)化為已知已知兩角及夾邊)。
12、利用三角形全等測距離;
13、、直角三角形全等的條件：在直角三角形中，斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等，簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”。
七年級上冊數(shù)學知識2一理論理解
1、若Y隨X的變化而變化，則X是自變量Y是因變量。
自變量是主動發(fā)生變化的量，因變量是隨著自變量的變化而發(fā)生變化的量，數(shù)值保持不變的量叫做常量。
3、若等腰三角形頂角是y，底角是x，那么y與x的關系式為y=180-2x.
2、能確定變量之間的關系式：相關公式①路程=速度×時間②長方形周長=2×(長+寬)③梯形面積=(上底+下底)×高÷2④本息和=本金+利率×本金×時間。
⑤總價=單價×總量。⑥平均速度=總路程÷總時間
二、列表法：采用數(shù)表相結(jié)合的形式，運用表格可以表示兩個變量之間的關系。列表時要選取能代表自變量的一些數(shù)據(jù)，并按從小到大的順序列出，再分別求出因變量的對應值。列表法的特點是直觀，可以直接從表中找出自變量與因變量的對應值，但缺點是具有局限性，只能表示因變量的一部分。
三.關系式法：關系式是利用數(shù)學式子來表示變量之間關系的等式，利用關系式，可以根據(jù)任何一個自變量的值求出相應的因變量的值，也可以已知因變量的值求出相應的自變量的值。
四、圖像注意：a.認真理解圖象的含義，注意選擇一個能反映題意的圖象;b.從橫軸和縱軸的實際意義理解圖象上特殊點的含義(坐標)，特別是圖像的起點、拐點、交點
八、事物變化趨勢的描述：對事物變化趨勢的描述一般有兩種：
1.隨著自變量x的逐漸增加(大)，因變量y逐漸增加(大)(或者用函數(shù)語言描述也可：因變量y隨著自變量x的增加(大)而增加(大));
2.隨著自變量x的逐漸增加(大)，因變量y逐漸減小(或者用函數(shù)語言描述也可：因變量y隨著自變量x的增加(大)而減小).
注意：如果在整個過程中事物的變化趨勢不一樣，可以采用分段描述.例如在什么范圍內(nèi)隨著自變量x的逐漸增加(大)，因變量y逐漸增加(大)等等.
九、估計(或者估算)對事物的估計(或者估算)有三種：
1.利用事物的變化規(guī)律進行估計(或者估算).例如：自變量x每增加一定量，因變量y的變化情況;平均每次(年)的變化情況(平均每次的變化量=(尾數(shù)-首數(shù))/次數(shù)或相差年數(shù))等等;
2.利用圖象：首先根據(jù)若干個對應組值，作出相應的圖象，再在圖象上找到對應的點對應的因變量y的值;
3.利用關系式：首先求出關系式，然后直接代入求值即可.
七年級上冊數(shù)學知識3一、事件:
1、事件分為必然事件、不可能事件、不確定事件。
2、必然事件：事先就能肯定一定會發(fā)生的事件。
也就是指該事件每次一定發(fā)生，不可能不發(fā)生，即發(fā)生的可能是100%(或1)。
3、不可能事件：事先就能肯定一定不會發(fā)生的事件。
也就是指該事件每次都完全沒有機會發(fā)生，即發(fā)生的可能性為零。
4、不確定事件：事先無法肯定會不會發(fā)生的事件，也就是說該事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，即發(fā)生的可能性在0和1之間。
二、等可能性：是指幾種事件發(fā)生的可能性相等。
1、概率：是反映事件發(fā)生的可能性的大小的量，它是一個比例數(shù)，一般用P來表示，P(A)=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)/所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)。
2、必然事件發(fā)生的概率為1，記作P(必然事件)=1;
3、不可能事件發(fā)生的概率為0，記作P(不可能事件)=0;
4、不確定事件發(fā)生的概率在0—1之間，記作0
三、幾何概率
1、事件A發(fā)生的概率等于此事件A發(fā)生的可能結(jié)果所組成的面積(用SA表示)除以所有可能結(jié)果組成圖形的面積(用S全表示)，所以幾何概率公式可表示為P(A)=SA/S全，這是因為事件發(fā)生在每個單位面積上的概率是相同的。
2、求幾何概率：
(1)首先分析事件所占的面積與總面積的關系;
(2)然后計算出各部分的面積;
（1）乘法與因式分解
a2-b2=(a+b)(a-b)；a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)。
（2）三角不等式
|a+b|≤|a|+|b|；|a-b|≤|a|+|b|；|a|≤b-b≤a≤b；|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|。
（3）一元二次方程的解：-b+√(b2-4ac)/2a-b-b+√(b2-4ac)/2a。
（4）根與系數(shù)的關系：X1+X2=-b/aX1*X2=c/a，注:韋達定理。
（5）判別式
1）b2-4a=0，注:方程有相等的兩實根。
2）b2-4ac>0，注:方程有一個實根。
【摘 要】整理課作為對知識鞏固、運用的一個重要環(huán)節(jié)，是學生將知識深入、細化的一個過程，它不是進行對學生所學知識的簡單復習，而是一種更深層次的學習，使學生達到牢固掌握教學知識的目的。生本課堂的最終目的就是以學生是否學的積極、高效、輕松為評價標準。而如何就生本課實現(xiàn)對學生的有效引導，激發(fā)學生自主學習也成為了教師亟待解決的一個問題。本文也就生本課堂的數(shù)學知識整理課教學策略進行了探討。
關鍵詞 生本課堂；數(shù)學知識；整理課；教學策略
一堂生動、成功的生本課堂旨在大部分時間都是在教師的引導下，學生進行自主學習、合作討論，成為課堂的主人，這種教學方式，以教師最少的語言啟發(fā)學生的數(shù)學思維，促進學生智慧的提升，讓學生在數(shù)學課堂愉悅的氛圍中實現(xiàn)對知識的有效整理，進一步鞏固學生的基礎知識，培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力，提高教學質(zhì)量。
一、生本課堂數(shù)學知識整理課教學的意義與流程
數(shù)學知識整理課在整個教學體系中是必不可少的，可以進一步幫助學生掌握數(shù)學難點。教師則應該加強對知識整理課的重視程度，以此來激發(fā)學生的數(shù)學思維，幫助教師進一步彌補在數(shù)學教學中的不足之處，提高數(shù)學教學質(zhì)量。因此，在每一個單元的數(shù)學學習結(jié)束之后，都要組織學生進行一次系統(tǒng)性的知識整理課程予以總結(jié)、復習，將所學過的知識點串聯(lián)起來，幫助學生深入掌握數(shù)學難點。
就生本課堂的基本流程來看，具體包括以下幾個方面：首先，前置性作業(yè)，在數(shù)學教學活動中，教師先引導學生自己去領悟課程，不僅僅依靠于教師的講解，做到把握課程基點；其次，合作學習，生本課堂的原則本就是實現(xiàn)學生為課堂的主人，教師作為引導，在數(shù)學學習中，教師應該激勵每一位學生積極參與到教學活動中來，以團隊合作的形式幫助學生得到不同程度的提升；最后，總結(jié)匯報，學生合作學習之后，組織學生進行小組的總結(jié)匯報，要求每位學生都要就學習過程中遇到的問題及解決方式進行發(fā)言。
二、生本課堂的數(shù)學知識整理課教學策略
（一）前置性作業(yè)
數(shù)學知識本就難點較多，解題方法靈活多樣，需要學生具有嚴謹?shù)臄?shù)學思維才能實現(xiàn)對數(shù)學知識的掌握。因此，在數(shù)學教學活動中，教師不應該只是一味的向?qū)W生傳授知識，而應該引導學生自主探索、學習，總結(jié)數(shù)學中的難點，進而通過教師的針對性講解把握數(shù)學精髓。在數(shù)學知識整理課程中，教師應該引導學生對上一個階段中所學習的數(shù)學知識進行梳理、總結(jié)，比如在進行《圓的周長計算》這一節(jié)課程的學習時，教師就可以針對性的設計一個研究表格，讓學生們通過測量圓的直徑與周長，填入表格中，以此來發(fā)現(xiàn)規(guī)律；在進行圓的計算公式推導之前，可以為學生布置這樣的前置性作業(yè)問題：通過自學你掌握了哪些問題？解釋一下為什么車輪會設計成圓形？以此來加深學生對圓相關知識的掌握。
（二）合作學習
隨著當前教育的不斷改革，新教學體制提倡在教學活動中實現(xiàn)學生的主體地位，培養(yǎng)學生的合作精神，因此在生本課堂的數(shù)學知識整理課教學中，教師應該引導學生實現(xiàn)合作學習，讓每一個學生在小組活動中發(fā)揮自身價值，積極總結(jié)數(shù)學課程中的知識點或者難點，進行組間交流，促使小組學生通過討論理清數(shù)學知識點框架，牢固掌握每一個數(shù)學知識點。在生本課堂的數(shù)學知識整理課教學中進行合作學習，教師必須要堅持以下幾點原則：首先，明確每一組學生的學習任務；其次，鼓勵小組學生積極進行組內(nèi)交流或組間討論，起到對數(shù)學知識查缺補漏的作用；最后，保證每一位學生在小組合作中都能夠發(fā)揮自身價值，并完成組內(nèi)作業(yè)，使每一位學生的數(shù)學能力都能夠得到不同程度的提升。例如，也是學習《圓的周長計算》這一節(jié)課程時，學生進行對圓的周長與直徑測量并填入研究表格中，對兩者之間的規(guī)律發(fā)現(xiàn)是學習的重點，學生自己很難精準把握。這時讓學生進行小組學習，通過學生的交流與合作，難點問題很快就會迎刃而解。
（三）總結(jié)匯報
在生本課堂的數(shù)學知識整理課堂中，實現(xiàn)小組的數(shù)學知識點總結(jié)匯報，在這個過程中教師應該要求學生將組內(nèi)總結(jié)的數(shù)學知識點系統(tǒng)、全面的向全班學生做匯報，例如就長方體這一節(jié)課程的知識點來說，當組內(nèi)每個學生將長方體相關的知識點匯報完畢之后，教師應該引導學生對其中存在的疑問或者是不足之處予以提出，實現(xiàn)組間的交流互動。另外，在每小組成員進行知識點總結(jié)匯報的時候，教師應該對其他小組的作業(yè)完成情況予以檢查或者是點撥。在這其中需要注意的有以下兩個方面：首先，對學生的作業(yè)點撥盡量語言精簡，把握重點，縮短教師的話語時間，留給學生足夠的思考空間；其次，教師對學生的點撥應該是積極向上的，不應該含有打擊話語，應該要對學生起到激勵作用，進一步提升學生對數(shù)學學習的興趣。
三、結(jié)束語
總而言之，知識整理在數(shù)學教學體系中占據(jù)著至關重要的位置，對數(shù)學教學起到重要作用，可以將繁雜、抽象的數(shù)學知識通過整理使之系統(tǒng)化、條理化，促進學生更進一步把握數(shù)學知識的難點。同時，生本課堂的主旨就是實現(xiàn)學生在教學活動中的主體地位，教師作為引導者，實現(xiàn)學生的自主學習，之后學生再對自主學習中遇到的疑難之處針對性的聽教師講解，實現(xiàn)根據(jù)學生的學習情況予以動態(tài)講解。通過生本課堂的數(shù)學知識整理課教學策略提高數(shù)學教學質(zhì)量。
參考文獻
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數(shù)學復習思維導圖自主學習能力系統(tǒng)化思維導圖（Mind Mapping）是“世界大腦先生”托尼?巴贊教授在20世紀70年代引入到世界的。思維導圖是運用符號、顏色、圖像、文字等多種信息，以圖文并茂的方式表達和傳遞信息，是促進思維激發(fā)和思維整理的一種可視化思維工具。思維導圖使形象思維與抽象思維有機結(jié)合，促使你更深入地思考，制作思維導圖的過程也就是培養(yǎng)創(chuàng)新思維的過程。然而對于大部分初中生來說，他們的數(shù)學知識是零散的、瑣碎的，即使老師們在復習課中對知識進行總結(jié)和歸納，真正轉(zhuǎn)化為學生自身認知結(jié)構(gòu)中數(shù)學知識成系統(tǒng)的，卻不多。知識只有讓學生自己去動腦思考、動手整理才能把知識轉(zhuǎn)化成自己的知識。學生進行數(shù)學知識的分析、整理、總結(jié)，將已掌握的抽象數(shù)學知識可視化，自己動手制作思維導圖，將知識內(nèi)化為自己的數(shù)學知識，數(shù)學知識系統(tǒng)化，從而培養(yǎng)學生的自主學習能力。
一、數(shù)學思維導圖的制作工具
思維導圖的練習通常是從手繪開始的，學生普通的筆記本再加上一些彩色筆就可以隨心所欲地制作。其特點是：美觀，富有創(chuàng)造性，易形成個人風格但不易保存和傳播。繪制也可以使用計算機軟件MindMapper，MindManager等在電腦上進行，其特點是易修改、保存，方便傳播，但相對手繪可能缺少些創(chuàng)造性和創(chuàng)新。
二、數(shù)學思維導圖的幾點建議
1.制作中先確定主題中心，再圍繞主題去發(fā)散聯(lián)想，是由中央圖形向四周放射的。
2.色彩的運用可以提高記憶的效率，建議使用3種或3種以上的色彩繪圖。
3.運用數(shù)字和標記可使思路更清晰，層次分明。
4.手繪過程中不要過度注重形式的完美，而應放在理清知識要點及其相互關系。
5.不要只是單純的知識點羅列，注意整理知識的同時分析知識關系、進行歸納和總結(jié)。
6.使用思維導圖要經(jīng)歷了解、應用、收益的過程，所以運用時從繪制技巧、內(nèi)容到創(chuàng)造力的發(fā)揮等方面來逐步提高。
三、數(shù)學思維導圖的制作
1.每日復習的思維導圖。每日的數(shù)學復習，大部分是當天一節(jié)數(shù)學課知識的復結(jié)。可對當天數(shù)學知識點進行整理歸納，也可補充在練習運用中遇到的問題、錯題及對難理解知識點的強調(diào)。制作中通常以當天所學課的標題或知識點做中心主題，然后找關鍵詞向外做主分支，然后再對每一個分支做發(fā)散小分支。例如，復習整式這一節(jié)，以整式為中心主題畫在筆記中央，然后分別以單項式、多項式、運用等做關鍵詞為三條主分支，再以單項式為一個小中心主題，以概念、注意問題、舉例為小分支，再以概念為小主題做分支，以此類推，可結(jié)合下圖做參考。繪制中可用顏色或符號等做知識重難點的標記。其他的思維導圖的制作流程可利用此方法去得到。
運用思維導圖來復習當天知識，加強對未掌握知識的再次學習和記憶，幫助學生明確并鞏固當天所學知識，理清思路，提高運用知識解決問題的能力。也為單元知識的掌握及以后的學習做鋪墊。
2.每周復習的思維導圖。一周數(shù)學知識的復習，是幾節(jié)數(shù)學課的整理和總結(jié)。可以把這幾節(jié)的課題作為主分支來呈現(xiàn)，也可將課題歸類出關鍵詞做主分支，然后再以主分支做小主題來做細分支，以此類推。讓學生理清數(shù)學概念及相關概念的區(qū)別與聯(lián)系、性質(zhì)、知識運用，區(qū)分知識的重點和難點，清楚一周所學的知識脈絡，也可相應配合著錯題和典型題來做復習鞏固。
3.單元復習的思維導圖。學生獨立將這一單元的知識進行總結(jié)整理，會讓學生更加清晰的認識本單元的學習內(nèi)容。以單元名為中心主題，利用課本章節(jié)目錄中的課題來做思維導圖的主分支，再以每課題為小主題再做分支。在單元思維導圖做好后，以先前的課時思維導圖為參考做補充和修改完善。
學生也可根據(jù)自己掌握的知識進行歸類整理，明確本單元的概念及相關概念間的區(qū)別和聯(lián)系，找準相關知識的關鍵詞做主分支，然后再對相應知識做分支。部分學生也可將本單元的知識與先前掌握的知識建立聯(lián)系，將新舊知識融合，形成知識網(wǎng)絡。此思維導圖更加鍛煉學生的數(shù)學思維、歸納整理能力和對數(shù)學知識系統(tǒng)性的理解。
單元復習的思維導圖可以呈現(xiàn)數(shù)學知識間的內(nèi)在聯(lián)系，加強本單元知識內(nèi)容的整體認識，形成一個清晰的知識框架。幫助學生構(gòu)建一個有效的知識網(wǎng)絡，培養(yǎng)數(shù)學思維，提升邏輯思維能力。
4.期末總復習的思維導圖。期末總復習可以用單元復習思維導圖做參考來進行制作。需要學生對本學期的知識結(jié)構(gòu)及各知識點的聯(lián)系有所掌握，并在此基礎上進行系統(tǒng)的整理，理清數(shù)學知識的脈絡，構(gòu)建屬于自己的知識系統(tǒng)。在繪制的過程中不必面面俱到，可以抓住重點章節(jié)或某些重要知識展開繪制，學生也可根據(jù)自己的情況進行查漏補缺，對未掌握的知識或難理解的知識來展開繪制。讓學生對整本書的數(shù)學知識有一個系統(tǒng)的認識，形成一個完整的知識脈絡。
5.數(shù)學專題的思維導圖。專題復習將數(shù)學相同類型的知識歸類整理，并在整理過程中發(fā)掘其相通的研究方法，利用舉一反三的形式更容易將知識系統(tǒng)理解并掌握，甚至以前模糊的知識在這個過程中逐步變得清晰。例如研究三角形時，從三角形的概念要素出發(fā)，研究邊、角、內(nèi)部的線段，并研究其特點，然后再研究特殊的三角形的性質(zhì)。就可以以此為基礎來類比總結(jié)四邊形、平行四邊形的相關知識。將所學的知識連成知識網(wǎng)絡，使數(shù)學知識系統(tǒng)化，同時訓練了學生的數(shù)學思維和發(fā)散思維。
運用思維導圖復習數(shù)學，培養(yǎng)學生的自主學習能力，鍛煉學生的數(shù)學思維，讓學生學會將數(shù)學知識系統(tǒng)化。同時繪制的過程也是創(chuàng)作的過程，讓學生自己繪制杰作的同時，體驗數(shù)學的樂趣，并從中獲得成就感，提高學習能力，開發(fā)個人潛能。
參考文獻：
[1]李林英.思維導圖與學習――學習科學與技術(shù)新探[M].北京：北京師范大學出版社，2011.9.
關鍵詞：數(shù)學復習；縱橫發(fā)展；智慧生長
中圖分類號：G622 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）07-209-01
小學數(shù)學課，一般有新授課、練習課、綜合實踐課、復習課等課型。多數(shù)教師會更多地關注和研究前三種數(shù)學課，而很少去研討復習課。因此，很多教師在進行某一數(shù)學知識復習時，只是“講―練―再講”，或者是“練―講―再練”這種“燙剩飯”式的模式。這樣的復習課不可能激起學生的興趣和求知欲，只能增加學生對數(shù)學學習的厭惡情緒。怎么才能提高數(shù)學復習課的效率和質(zhì)量？首先，我們不能將小學數(shù)學復習課上成練習課，也不能上成評講課，更不能弄成“題海戰(zhàn)”。如果我們將數(shù)學比作一片森林，那么，要復習的某一數(shù)學知識，就是這片森林中正在成長的一株小樹。我們的復習課，就相當于幫助這株小樹長高，長粗，長P。
一、復習課，要增強小學生數(shù)學能力縱向生長的力量
我們判斷一棵小樹的生命力，首先要看它是否長高和根是否扎深。小樹生長，既要向下生根，又要向上參天，小樹的根伸得越遠扎得越深才能穩(wěn)定而牢固，小樹長得快，長得高，才可能多得陽光，多得雨露。
同樣道理，幫助小學生對某一數(shù)學知識的復習，我們必須關注學生這一數(shù)學知識的縱向生長和發(fā)展，促使它盡快“根深莖高”，并增加它具有可持續(xù)生長的力量。
我們在進行某個單元數(shù)學知識復習時，不僅要重視學生剛學習的這部分數(shù)學知識的鞏固、理解和掌握，還應當加固生成它的數(shù)學基礎，更要為今后數(shù)學學習，為由這一數(shù)學知識生發(fā)出來的數(shù)學知識作好鋪墊、孕伏、遷移做準備。就是說，數(shù)學復習課要讓數(shù)學知識可以向縱向生長。
如，加法，在小學數(shù)學教材中，把它分成“10以內(nèi)加法”―“20以內(nèi)的加法”―“100以內(nèi)的加法”―“1000以內(nèi)的加法”―“萬以數(shù)的加法”―“多位數(shù)的加法”―小數(shù)加法―分數(shù)加法等螺旋式上升編排的。
我們在組織學生進行“100以內(nèi)加法復習”時，應當引導學生自己總結(jié)出：個位滿10就向十位進1，十位滿10要向百位進1。而老師可以在學生總結(jié)的基礎上，明確地概括出：同學們總結(jié)的非常好，不論哪一位滿10，都要向它的高一位進1。教師可以緊接著拋出一個問題：“百位如果要滿10呢？”這個問題拋出后，教師不必要讓學生立即回答，可以讓學生課后思考，與同學討論，與家長交流。讓學生帶著問題離開課堂，讓復習向數(shù)學學科延伸，向?qū)W生的生活延伸。
在“100以內(nèi)加法復習”中，還應當引導學生將本單元與以前20以內(nèi)加法進行融合。如，可以出示39+4=（ ），39+24=（ ）怎樣算比較簡便？先讓學生嘗試，了解學生的算法，如果學生想到將39湊40很好，如果學生想不到，我們教師可以引導學生：“9+4”我們在一年級時是怎樣算的，“將9湊成10，我們能將39湊成整十嗎？這樣不但讓學生學會了一計算方法，還讓學生的思維做到有根有據(jù)。同時也加強學生根基，還為學生今后學習像“299+243”等簡便計算發(fā)揮“遷移”和“先行組織者”的正能量做好準備工作。
二、復習課，要增強小學生數(shù)學能力橫向生長的力量
一棵小樹是否充滿生長的力量，除了看它縱向生長的趨勢，還要看它橫向生長的狀態(tài)，它枝繁葉茂了，樹莖顯著粗狀了，那就說明這棵小樹充滿了強勁的生長力量。同樣的道理，復習某一數(shù)學知識，也要考慮這一知識和其它數(shù)學知識的關系，即“橫向”生長。它們橫向聯(lián)系的越密切，越牢固，它的生長力量越強勁。
因此，我們在進行小學數(shù)學復習時，要重視讓數(shù)學知識產(chǎn)生橫向的生長力。
如，我們在復習減法時，不能不去考慮加法，加法和減法它們像數(shù)學這棵“樹”上極其重要的幾乎同時長出的兩個“枝丫”，它們互為依托，互為促進。
再如，長度、面積、體積等，它們完全是不同三個描述空間的重要量，但它們又是同等重要的有內(nèi)在聯(lián)系概念。我們復習體積時，我們不能不去將體積向面積和長度拓展。
三、復習課，要增強小學生數(shù)學智慧生長的力量
小學生只有將所學的數(shù)學知識用于解決實際問題，才能得到鞏固和發(fā)展，他們的數(shù)學智慧才得到提高。
如，當學生學習完“取近似值”后，讓學生解決這樣一道實際問題：“1千克黃豆可以榨0.15千克油，張爺爺用110千克的黃豆榨油，他至少要準備每個能裝5千克油的油桶多少個？”
關鍵詞：小學數(shù)學；教學；數(shù)學思想
數(shù)學思想，是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系反映到人的意識中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果，它是對數(shù)學事實、概念、命題、規(guī)律、定理、公式、法則、方法和技巧等的本質(zhì)認識，是從某些具體的數(shù)學內(nèi)容和對數(shù)學的認識過程中提煉上升的數(shù)學觀念。“基本思想”是數(shù)學思想中最核心的部分，數(shù)學中基本的數(shù)學思想方法有抽象思想、概括思想、歸納思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想、分類思想、類比思想、函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、符號與模型思想等。
事實上，單純的知識積累，容易隨著時間的流逝而逐漸被遺忘，而方法的掌握與思想的形成則使學生受益終生，正所謂“授人以魚，不如授之以漁”。從數(shù)學教材體系來看，整個中小學數(shù)學教材中貫穿著兩條主線，一條是寫進教材的基礎數(shù)學知識，是明線，一直都很受重視；另一條則是數(shù)學能力的培養(yǎng)和數(shù)學思想方法的滲透，是暗線，較少或沒有被直接寫進教材，但對學生的學習和成長卻十分重要，也越來越引起了廣大數(shù)學教育者的重視。數(shù)學思想具有不可替代的價值：一方面，數(shù)學思想可以幫助學生更好地學習數(shù)學知識。只有認識到隱藏在具體數(shù)學知識背后的數(shù)學思想，才能深刻理解和牢固掌握具體的數(shù)學知識。同時，數(shù)學思想具有較高的抽象性和概括性，有助于使學生將相關的新知識納入到已有的認知結(jié)構(gòu)中進行深化整合。另一方面，數(shù)學思想能培養(yǎng)學生的創(chuàng)造能力。
一、備課時準確定位，立足數(shù)學本質(zhì)，挖掘并滲透數(shù)學思想
數(shù)學的定義、概念等都是在教材中明顯的、“有形”的知識，學生都能直接“拿來”使用，而數(shù)學思想?yún)s是“無形”的、”默會”的知識，只能通過學習過程中的交流、思考從知識的背后總結(jié)出來，使之更加明朗地呈現(xiàn)并運用到以后的數(shù)學學習和問題解決中。要想做到這一點，就需要教師在備課時精心設計，準確把握住基礎知識和思想方法的關聯(lián)點，在教學目標中明確說明本課教學內(nèi)容要滲透哪一種數(shù)學思想方法。因此教師在備課過程中，首先要準確把握教材，精心設計，理解編者的意圖，明確每一堂課的知識所要滲透的數(shù)學方法；同時，要充分考慮學情，思考要用什么樣的教學方法讓學生主動地探究知識，什么樣的學習方式能讓學生比較容易地完成教學目標，怎樣幫助學生循序漸進地領會數(shù)學思想。備課時還可以通過創(chuàng)設恰當?shù)膶W習情境啟迪學生思考探究，在具體實踐中潛移默化地培養(yǎng)學生的數(shù)學思想方法。教師只有在備課時做到心中有數(shù)，才能在教學中游刃有余地幫助學生領悟數(shù)學知識中蘊含的數(shù)學思想。
二、抓實課堂教學，在知識的形成過程中體會數(shù)學思想
數(shù)學思想是在知識的學習和解決問題的過程中形成的。因此，教學中公式的推導、方法的總結(jié)、概念的歸納、結(jié)論的形成以及規(guī)律的揭示等過程，都是向?qū)W生傳授數(shù)學思想及方法的極好機會。
例如，數(shù)學上化繁為簡的思想方法是指把復雜的數(shù)學問題簡單化，從簡單的問題入手，找到解決同類問題的關鍵，總結(jié)出解決這類問題的規(guī)律和一般性方法并加以推廣運用。人教版四年級下冊數(shù)學廣角中有這樣一道例題：
同學們在全長100米的小路一邊植樹，每隔5米載一棵（兩端都載）。一共可以栽幾棵樹？
這道題在教學中就可以運用化繁為簡法解決，先以10米、15米、20米的小路為例，讓學生在練習本上用畫線段圖的方法表示出來，這樣不難總結(jié)出植樹問題兩端都栽時的一般性規(guī)律：植樹棵樹=間隔數(shù)+1。學生掌握了這種方法之后，在以后面對復雜數(shù)學問題時就會想到化繁為簡的方法，從簡單的問題入手，找到問題的關鍵和普遍規(guī)律，從而解決問題。
數(shù)學問題的解決是在思想方法的指導下完成的，因此要在數(shù)學課堂教學中重視數(shù)學思想的培養(yǎng)。例如：在講到工作總量和工作效率、時間的關系時，學生必須記住公式：工作總量=工作效率×時間，同時教師可以提出問題讓學生思考：當一個量不變時，另外兩個量會發(fā)生怎樣的變化？總量一定，用的時間越長，效率就越低；假如時間一定，那么工作效率越高，工作總量就會越大。這時可以讓學生通過類比的方法分析路程、速度、時間三者之間的變化關系，然后加以對比，體會數(shù)學知識之間的聯(lián)系和數(shù)學學習中掌握思想方法的必要性和重要性。再如：在教學“比的基本性質(zhì)”時，可以讓學生先找出比和除法、分數(shù)的相同點和不同點，然后回憶除法的性質(zhì)是被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以相同的數(shù)（0除外）商不變，分數(shù)的基本性質(zhì)是分子和分母同時乘或除以相同的數(shù)（0除外）分數(shù)的大小不變，再用猜測、操作、驗證等方法推導出比的基本性質(zhì)就是比的前項和后項同時乘或除以相同的數(shù)（0除外）比值不變。這就運用了類比、歸納的思想方法，讓學生從對既有知識的回顧和分析中更好地獲得和吸收新知。
三、練習中及時提煉，在知識的總結(jié)過程中，歸納數(shù)學思想
數(shù)學思想方法是在學生對數(shù)學知識的熟練掌握和運用中逐漸形成的。在進行練習、小結(jié)測驗和知識鞏固時，教師應注重幫助學生根據(jù)所學知識形成自己的解題思維方式，提升思維能力。由于我們的教材是按學生知識結(jié)構(gòu)的發(fā)展規(guī)律編排的，數(shù)學思想方法也蘊涵在數(shù)學知識的體系之中，這就要求教師在課堂教學的小結(jié)、單元總結(jié)或復習測驗時及時歸納梳理，使數(shù)學思想更加鮮明地呈現(xiàn)出來。
四、應用中不斷深化，引導學生養(yǎng)成反思習慣，增強數(shù)學思想的應用意識
數(shù)學思想方法的發(fā)展和數(shù)學問題解決相輔相成，不可分割：數(shù)學問題的解決需要思想方法的指導，而數(shù)學思想方法又是在解決問題的過程中產(chǎn)生的。現(xiàn)實生活中學生在學習時往往只注重對知識的記憶，卻忽視了知識本身所蘊含的基本思想方法，從而只看表面而沒有抓住問題的實質(zhì)。而數(shù)學思想恰恰可以在數(shù)學知識的實際應用中獲得深化，以至內(nèi)化為學生的思維方式，因此在教學中，要充分利用解決實際問題的機會，引導學生反思知識的形成中所包含的數(shù)學思想方法，幫助學生在掌握基本數(shù)學知識的同時，感悟數(shù)學思想，提高思維能力。
文/沈玲玲
【摘要】化歸思想，是結(jié)合“轉(zhuǎn)化”和“歸納”這兩種思想的一種數(shù)學思想。它是指能夠根據(jù)人們的需要把一件事轉(zhuǎn)化為另一件事物，然后歸納出事物要點的思想。數(shù)學教師可把化歸思想融入到數(shù)學教學中，提高數(shù)學教學的效率。
關鍵詞 小學數(shù)學；數(shù)學教學；化歸思想
化歸思想，是結(jié)合“轉(zhuǎn)化”和“歸納”這兩種思想的一種數(shù)學思想。它是指能夠根據(jù)人們的需要把一件事轉(zhuǎn)化為另一件事物，然后歸納出事物要點的思想。應用這種數(shù)學思想，人們能將比較復雜的數(shù)學問題轉(zhuǎn)變?yōu)檩^為簡單的數(shù)學問題。小學數(shù)學教師可將化歸思想滲透到數(shù)學教學中，提高數(shù)學教學的效率。
一、有概念教學的環(huán)節(jié)應用化歸思想
在小學數(shù)學的教學中，部分教師提出一個問題：怎樣能夠讓學生迅速的吸收新的知識？這些教師認為如果直接給學生講述新的知識，學生會覺得新的知識太難，從而不愿意自主的學習數(shù)學知識；然而如果結(jié)合舊的數(shù)學知識引導學生學習新的知識，那又該如何著手開始教學呢？數(shù)學教師可用化歸的思想解決這個難題，即引導學生先回憶一個舊的知識，然后結(jié)合舊知識的特點引導學生理解新的知識。
以小學數(shù)學教師引導學生學習百分數(shù)的應用為例，數(shù)學教師可引導學生做習題1：
冰箱里有一塊體積為45 立方米米的冰塊，當它結(jié)成冰的時候，體積膨脹了，變成50 立方厘米，求冰的體積比以前大了百分之幾？
學生曾經(jīng)學過分數(shù)的計算，他們經(jīng)過思考可以得到這一題的分數(shù)答案為：
教師引導學生思考，如果把這個分數(shù)變成分母為100 的百分數(shù)，那么答案應該為多少呢？學生經(jīng)過思考認為答案應為：
教師可引導學生理解到，對于分母為100 的分數(shù)表示方法，人們會應用一個特殊的寫法，即11/100 可表示為11%。
此時教師可引導學生思考，應當如何計算一件事物的百分比呢？學生經(jīng)過思考以后，就能理解到要求一件事物的百分比，可先求出該事物的分數(shù)比，再將分母變成100，即該事物的百分比。
二、在數(shù)學計算的環(huán)節(jié)應用化歸思想
小學生在做數(shù)學習題的時候，覺得最大的困難就是他們找不到解決數(shù)學問題的要點，于是他們就做不出數(shù)學習題。小學數(shù)學教師可在數(shù)學計算教學的環(huán)節(jié)用化歸思想引導學生思考問題，數(shù)學教師應用這種教學方法，將能初步的培養(yǎng)出小學生抽象思維能力。
以教師引導學生做習題2 為例：
有一件工程，張師傅如何獨立完成，需要花費12 天的時間，李師師傅如果單獨一個人完成要花費15 天的時間。但是張師生病的時候，工作效率要下效40……，而李師傅生病的時候則只下降10%。現(xiàn)在張師傅和李師傅分別完成一個項目，工作完成時兩人的工作進度完全相同，試問張師傅和李師傅共病了幾天？
部分學生看到這道題的時候，就覺得這道題非常困難，他們不知道如何計算這個問題。數(shù)學教師可引導學生思考，這個問題是哪個類型的數(shù)學問題？學生經(jīng)過教師的引導以后，了解到這個應用題就是個工程問題。教師引導學生思考如果把這個數(shù)學問題當作工程問題，那么可以求出工程問題中哪一個重要因素呢？學生經(jīng)過思考以后覺得可以求出張師傅和李師傅生病時的工作效率。學生的解答如下：
教師可引導學生繼續(xù)思考，當知識兩位師傅生病時的工作效率以后，可以如何解這個數(shù)學問題呢？教師可引導學生思考，當已經(jīng)求出工程張師傅和李傅師生病時的工作效率了以后，雖然可以用工程問題解決問題，但是，也可以從另一種角度解決問題。學生經(jīng)過教師的引導，覺得可用方程的思想解決這一數(shù)學問題。學生列的方程如下：
設兩位師傅健康的時間設為x，將兩位師傅生病的時間設為y，那么可得方程式：
教師引導學生從工程問題、方程問題、百分比的計算問題去看待這個數(shù)學習題，學生將能了解到數(shù)學知識和數(shù)學知識之間是可以相互轉(zhuǎn)化的。教師可讓學生理解到當學生遇到一個數(shù)學問題以后，學生可以先思考這是一個怎樣的數(shù)學問題，然后根據(jù)數(shù)學類型著手找到解決問題的方法，接下來，為了解決這個數(shù)學問題，學生可靈活的轉(zhuǎn)化這個數(shù)學問題解決方法的類別。
三、在總結(jié)知識的環(huán)節(jié)應用化歸思想
在傳統(tǒng)的數(shù)學教學方法中，教師會為學生總結(jié)這一節(jié)課學習到的數(shù)學知識，這種數(shù)學教學方法存在很大的弊端。學生如果沒有參與數(shù)學知識總結(jié)的過程，他們將不能系統(tǒng)地理解教師總結(jié)的數(shù)學知識，學生也得不到驗證數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的機會。數(shù)學教師可應用化歸的方法引導學生總結(jié)數(shù)學知識系統(tǒng)，讓學生在總結(jié)的過程中驗證知識結(jié)構(gòu)。比如教師可引導學生總結(jié)一套分數(shù)、小數(shù)、百分數(shù)的異同，讓學生在總結(jié)的過程中驗證知識結(jié)果。
總之，小學數(shù)學教師如果能在教學中應用化歸的思想引導學生學習，將能引導學生把舊的知識轉(zhuǎn)化為新的知識、能引導學生自主的解決數(shù)學問題、能引導學生自主的建立知識結(jié)構(gòu)，從而提高數(shù)學教學的效率。
參考文獻
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關鍵詞：高中數(shù)學；反思解題；課堂教學；教學探討
中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）21-370-01
在長期的傳統(tǒng)數(shù)學解題教學實踐活動中，不少教師往往通過布置學生大量練習題來提升學生解題能力，也就是所謂的“題海戰(zhàn)術(shù)”中見“真經(jīng)”。而并沒有科學地引導學生對所學的知識、所解析過的練習題進行較為系統(tǒng)的反思與梳理，通過反思與梳理提升對知識的認知水平與層次，通過反思與梳理增強對諸多練習模式的深度認識，通過反思與梳理獲得較為科學有效的鑰匙套路。多年來高中數(shù)學解題教學實踐經(jīng)驗表明，反思解題是有效提升數(shù)學學習質(zhì)量與效果，提升數(shù)學解題技巧與技能的重要思維策略，有助于學生數(shù)學學習素養(yǎng)的提升，有助于學生觸類旁通地較為系統(tǒng)地掌握數(shù)學知識體系，夯實數(shù)學基礎與數(shù)學解題基本技能。
一、積極引領學生通過自我設問反思數(shù)學解題基礎
在高中數(shù)學解題實踐過程中，自我設問是自主探究數(shù)學知識體系的一個重要手段，也是促使學生加強數(shù)學知識體系認識的一種方法，是一種非常有助于厚實數(shù)學基礎、增強數(shù)學解題基本技能的良好思維習慣，可以促使學生更加自覺加強對所學知識的系統(tǒng)探究和深入剖析，提升對數(shù)學學習的品質(zhì)與層次，還有助于學生不斷總結(jié)解題經(jīng)驗和教訓。比如，在解題實踐過程中，通過自我設問：“這道習題的慣例求解過程是這樣的，是否還可以找到更為簡便快捷的方法加以解題呢？”、“在解析這道習題過程中，我怎么會出現(xiàn)這種思維定勢呢？我怎么會出現(xiàn)這樣的錯誤呢？”、“本道習題考察我應掌握哪些數(shù)學知識點？”、“本道習題所關聯(lián)的數(shù)學知識涉及到哪些？”……。如此通過自我設問，促使學生學會從更高數(shù)學思維層次理解與分析數(shù)學知識，有助于促使學生自主從多方位、多角度思考數(shù)學問題，有助于提升他們數(shù)據(jù)思維品質(zhì)。
例如，這道習題“一元二次方程x2+kx+2=0有p、q兩實根，而且存在（p/q）2+（q/p） 2≤7，試求解實數(shù)k的取值范圍。”由這道習題可以引領學生學會分析原題進行自我設問：“這道習題考察的關鍵知識點是什么？”由此將關注點聚焦于“韋達定理”，從而引出“p+q=-k”與“pq=2”兩個式子，繼而將其代入（p/q）2+（q/p） 2≤7不等式中，等到（k2-4）2≤36，由此獲得本題的答案。
二、積極引領學生通過自我總結(jié)反思數(shù)學解題方法
在高中數(shù)學習題解答實踐過程中，積極引領學生加強自我總結(jié)反思解題基本思維和基本套路，可以非常有效地促使學生深化對數(shù)學知識應用的認知深度，有助于綜合總結(jié)與梳理出習題解答的多種思維、多種策略和多種方法，有助于鞏固傳統(tǒng)一般性數(shù)學解題技能，還有助于促進學生創(chuàng)新數(shù)學解題技能。因此，教師在組織學生進行數(shù)學習題解答教學實踐過程中，可以積極引入一些經(jīng)典的數(shù)學習題讓他們進行自主探究，繼而給他們講授多種典型解題方法，然后引導他們進行自主總結(jié)解題思維規(guī)律，獲得對應題型解答的技巧，從而總結(jié)出一些較為常用的解題方法，比如，歸納法、待定系數(shù)法、分析綜合法、反證法、配方法等等。并總結(jié)出知識遷移思維、數(shù)形結(jié)合思維、分類討論思維、函數(shù)與方程思維等等諸多經(jīng)典數(shù)學思維。
例如，對于這樣一道習題：“已知ABC的三個內(nèi)角∠A、∠B、∠C之間的關系滿足‘∠A+∠B=2∠C’與‘1/cosA + 1/cosC = /cos B’兩等式，試求出cos[（A-C）/2]的值”。對此，教師可以引領學生對“三角形”與“三角函數(shù)”相關定律進行總結(jié)梳理，比如，通過梳理三角形三個內(nèi)角之和為180度，可以推導出∠C為60度，于是∠B的數(shù)值可以由∠A來表示，即引入“換元”思維，得到∠B=120-∠A，接著再聯(lián)合“1/cosA + 1/cosC = /cos B”等式進行求解，逐步導出cos[（A-C）/2]= /2。
三、積極引領學生加強自我評價反思數(shù)學解題技能
在高中數(shù)學課堂教學實踐活動中，以積極的教學方式方法加強教學評價，有助于提升課堂教學質(zhì)量與效果。同樣，對于數(shù)學習題解答實踐過程中，積極引導學生加強習題解答的自我評價，有助于提升學生自主學習數(shù)學與解答數(shù)學問題的動力，有助于提升數(shù)學學習的精神內(nèi)涵，從而激發(fā)數(shù)學學習的積極性、自覺性、興趣性與自主性。高中數(shù)學新課程標準明確提出，教師在引領學生進行數(shù)學解題實踐教學活動中，在注重引入多元化課堂評價，除了教師的評價之外，還應積極引入學生與學生之間的互評，以及學生自己對自己的自我評價地。例如，對于某一道習題的解答過程，自我評價對習題的審題是否科學與高效，對習題解答過程所引入的思維方向是否正確，解題的套路是否科學、合理與規(guī)范，驗證解題的整個過程的正確性來確保最終答案的正確性，等等。由此不斷拓寬數(shù)學解題中的反思途徑，促進探索解題規(guī)律能力，不斷拓寬數(shù)學知識面與數(shù)學鑰匙技能。
綜上，高中數(shù)學習題解答離不開反思，離開反思必然導致數(shù)學知識學習與數(shù)學解題技能難以有效提升，離開了反思便難以有效促進數(shù)學學習的質(zhì)量與效果。只有加強解題反思，才能促使演對所學知識進行“舉一反三”與“融會貫通”，才能使學生對所學知識進行系統(tǒng)的理解與把握，提升數(shù)學思維品質(zhì)，增強數(shù)學學習素養(yǎng)。
參考文獻：
[1] 王磊樂.高中數(shù)學反思解題教學的探究[J].課程教育研究上，2014（4）.
【關鍵詞】 小學數(shù)學；探究式教學；教學方法應用
探究式教學法是指學生在學習概念和原理時，教師只是給他們一些事例和問題，讓學生自己通過閱讀、觀察、實驗、思考、討論、聽講等途徑去獨立探究，自行發(fā)現(xiàn)并掌握相應的原理和結(jié)論的一種有效教學方法. 結(jié)合小學數(shù)學邏輯性和探究性的特點，一線數(shù)學教師如果能夠采用有效的措施，促進探究式教學在小學數(shù)學中的應用，則學生在數(shù)學學習的過程中能夠獲得良好的機會對數(shù)學知識進行自主探究，進而學生對于知識的理解程度以及自主學習的能力都能得到良好的提升.
1. 合理設立問題，為學生的課程探究提供有效的指引
探究式教學法的原理即是教師在學生對課程相關概念和原理進行探究時，給予學生一定的事例和問題，引導學生進行有效的探究. 而數(shù)學課程本身的邏輯性和數(shù)學知識的復雜性又對數(shù)學教學提出了嚴峻的挑戰(zhàn)，傳統(tǒng)的教師講授學生被動聽課的模式只能將數(shù)學知識機械化的傳授給學生，其具體的教學效果無法得到有效的體現(xiàn)，學生對于數(shù)學知識的理解程度也無法深化. 因此，探究式教學法在小學數(shù)學課程教學應用過程中，教師也同樣需要改變傳統(tǒng)的備課方式，以有效的素材來為學生準備相關的問題，進而在知識探究的過程中，為學生把握好關鍵的節(jié)點，同時也幫助學生明確探究的方向. 而整個問題的設立對教師教學工作提出了新的要求，傳統(tǒng)的按照教材進行概念內(nèi)容的備課已經(jīng)無法滿足探究式教學的要求，教師在備課的過程中應當結(jié)合實際生活以及網(wǎng)絡材料，設立相互關聯(lián)、緊密聯(lián)系的引導性問題.
以小學數(shù)學平面幾何《圓》這一章節(jié)知識教學為例，如果教師只是按照教材將圓的定義以及圓相關的直徑、π、周長、面積等知識進行機械化的傳授，學生通過課程雖然也能夠?qū)A的知識進行記憶了解，但是其對于知識的掌握程度卻很難深入. 而如果教師采用探究式教學方法，在課程教學的過程中，設立用繩子測量圓周長為多少？圓的直徑如何確立？實際圓的直徑為多少？圓周長與直徑的關系？多個圓內(nèi)圓周長與直徑關系的共同點？等問題，則學生在實際的知識探究過程中，能夠在教師的指引下逐步的通過課堂小實驗和小問題來發(fā)現(xiàn)圓周率的規(guī)律，進而對圓與其相關知識了解的更加透徹. 這種模式下，數(shù)學平面幾何的教學效果在學生探究下能夠得到顯著的強化.
2. 公平對話環(huán)境的建立，為學生營造良好的課堂氛圍
數(shù)學知識雖然具有嚴密的邏輯性的特點，但是數(shù)學知識來源于生活，又走向生活，因此數(shù)學知識在探究的過程中往往具有非常大的開放性. 而受傳統(tǒng)教學模式的影響，學生習慣于被動式聽課的方式，很少對教師所講授的內(nèi)容進行主動的探究與提問，因此，在探究式教學模式開展的過程中，如果教師不能為學生營造一個良好的課堂氛圍，即使探究式教學方法在小學數(shù)學課程中被引用，學生無效的探索也只能使得探究式教學方法變成一種形式主義. 因此，現(xiàn)階段，在教學模式改革的過程中，教師要以公平對話的環(huán)境，為學生營造良好的課堂氛圍，強化教學效果的發(fā)揮.
以混合運算課程教學為例，在實際的知識探究過程中，學生一定會按照傳統(tǒng)計算模式來進行混合運算的嘗試練習，因此很多學生會直接按照順序進行運算，進而導致運算結(jié)果的錯誤. 教師在這種情況下，一定要給予學生犯錯誤的機會，讓學生能夠拿出整個運算結(jié)果與教師分享，進而在這種公平對話的環(huán)境中，激發(fā)學生對于知識探討的熱情，并不斷的鼓勵學生從錯誤中找出正確的知識. 只有在這種方法下，學生對于知識探究的勇氣才能夠被體現(xiàn)出來，同時課堂討論的氛圍也能夠被充分的調(diào)動出來.
3. 及時的課程總結(jié)，強化探究式教學的效果
任何教學方法下獲得的教學效果如果不能及時的進行鞏固訓練，則其教學效果也無法得到維持和延伸. 探究式教學方法在小學數(shù)學課程中的應用同樣如此，如果教師只是注重探究式教學方法的過程和結(jié)果，而不重視課程內(nèi)容的總結(jié)和回顧，則整個課程教學的效果無法得到有效的強化與維持. 探究式教學方法的采用，給予了學生數(shù)學知識探討的平臺，在這種教學模式下，學生通過教師的引導與啟發(fā)，可以自主的對數(shù)學知識進行探究并逐步的加深自己對數(shù)學知識的理解.
課程的及時總結(jié)并不僅僅在于課程內(nèi)容的及時回顧，也在于對整個探究過程的有效總結(jié). 在探究式教學模式下，教師一方面要對整個數(shù)學知識的探究做好詳細的記錄，進而在課程最后對學生在課程中的表現(xiàn)，以及對于探究中出現(xiàn)的相關問題進行點評，以對課程探究的模式進行完善，對課程的核心內(nèi)容再次鞏固. 另一方面，在課程最后教師也應當對探究過程中沒有涉及全面的知識進行補充講解，以保證課程知識的完善性以及課程標準的有效落實，進而使得探究式教學法在小學數(shù)學應用中既能發(fā)揮其獨有的特色，又能按照課程標準保持原有教學要求的效果.
結(jié)束語
小學數(shù)學課程的嚴密邏輯性和知識探究性的特點與探究式教學方法不謀而合，為了提升教學階段學生對于數(shù)學知識理解的深度以及優(yōu)化學生的學習方法，教師應當結(jié)合自己的實際教學經(jīng)驗，將探究式教學有效的應用于小學數(shù)學課程教學中. 在實際教學的過程中，教師要合理設立問題，為學生的課程探究提供有效的指引；同時要建立公平的對話環(huán)境，為學生營造良好的課堂氛圍；最后也要及時的進行課程總結(jié)，進而強化探究式教學的效果. 在多種有效措施的使用下，一線教師一定能夠?qū)⑻骄渴浇虒W法對小學數(shù)學課程教學的良好促進效果發(fā)揮到極致.
【參考文獻】
由于高中生學習的科目、知識比較多，時間緊湊，高中數(shù)學知識結(jié)構(gòu)雜亂、無條理、抽象性等特點，在有限的時間里學生很難理清數(shù)學復習內(nèi)容。因此，高中教師從學生反映的情況提出了思維導圖教學模式，通過有效的學習復習方法，從而提高學習效率和教學質(zhì)量。
一、高中數(shù)學復習課教學現(xiàn)狀
高中數(shù)學復習課教學，大多數(shù)學生都會出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：老師上課講的知識都能聽懂，課本中的例題也能看懂，但到做練習題或者考試的時候，學生就容易出錯和解答不出來。當老師評講試卷或者練習題時，學生就會懊惱自己不應該失分，出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象的原因是：學生對數(shù)學的基本知識概念掌握不全，沒有理清數(shù)學知識間的邏輯關系，大腦沒有形成數(shù)學認知結(jié)構(gòu)圖；另外，學生的思維能力比較差，所學的知識不能很好的運用在試題練習中。
傳統(tǒng)的數(shù)學復習課教學，主要是加深對數(shù)學基本知識的學習和記憶，而現(xiàn)代的高中數(shù)學復習課教學主要是引導學生理解基礎知識、掌握結(jié)構(gòu)大綱、鞏固復習重要的知識理論，為了深化知識內(nèi)涵，分析思考數(shù)學知識之間的關聯(lián)和邏輯關系，從而讓學生大腦記憶系統(tǒng)中形成一個數(shù)學知識結(jié)構(gòu)體系“數(shù)學認知結(jié)構(gòu)圖”。通過認知結(jié)構(gòu)圖，學生對數(shù)學的知識概念不再是雜亂無章，而是有條理、思路清晰、知識間的邏輯關系分明的架構(gòu)體系。學生大腦記憶系統(tǒng)中存在數(shù)學認知結(jié)構(gòu)圖，在解答試卷或者是練習題時，通過題目給出的信息，從大腦記憶中獲取相關信息進行思考，從而得出問題結(jié)果。因此，數(shù)學復習課教學使學生大腦記憶中形成一個認知結(jié)構(gòu)體系，并有認知結(jié)構(gòu)的能力。
由于高中生科目、學的知識比較多，學習時間比較緊湊，高中教師也忙于構(gòu)建教學方案和復習練習題課的教學，所以高中生很少進行數(shù)學復習課的教學。其次，高中的復習課教學主要圍繞教學中的基礎知識進行復習，大多數(shù)學生基本上已經(jīng)掌握基礎知識，重復學習基礎知識，容易使學生對學習失去興趣，沒有新鮮感。另外就是教師進行數(shù)學復習課教學時講解知識講得比較快，很多知識只是一帶而過，使得學生不能很好地掌握知識要點，概念規(guī)律理解不清楚。
針對高中數(shù)學復習課教學中出現(xiàn)的問題，應當積極引導學生弄清數(shù)學知識之間的邏輯關系，構(gòu)建完整的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)圖，提高學生的創(chuàng)新思維能力，使學生得到全面發(fā)展。如何提高教學質(zhì)量和復習課教學效率是有待解決的問題。
二、思維導圖在現(xiàn)代數(shù)學復習課教學中的應用
思維導圖是一種現(xiàn)代化、有效的教學模式，在數(shù)學復習課教學中使用思維導圖模式可以引導學生構(gòu)建知識架構(gòu)體系，通過思維導圖的教學形式，學生可以將數(shù)學知識點之間的邏輯關系清晰有條理的整理出來，思維導圖教學模式有助于通過教材實施教學計劃，培養(yǎng)學生的思維想象能力，讓學生養(yǎng)成自主學習的習慣，提高學生對數(shù)學知識的認知能力。通過思維導圖軟件運用在高中數(shù)學復習課教學中，如學習勾三股四原理（圖1所示），用知識大綱網(wǎng)絡圖像將每章的知識要點描述出來，對重要的、典型的圖像利用超鏈接功能，使學生有效的記憶和掌握。學生通過總結(jié)自學的知識網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)體系，發(fā)揮想象，繪制出自己的思維導圖，利用網(wǎng)絡圖像有利于學生對知識點的總結(jié)和分析。
思維導圖有效的使學生有序的整理知識要點，建立知識架構(gòu)體系，靈活運用知識的能力。在高中復習教學中，特別是高三的學生復習，大多數(shù)學生面對試題往往不知所措。其原因是教師的復習方式不合理，沒有根據(jù)學生的學習情況進行復習，只是要求學生反復的練習做題，這樣的復習方式導致學生不能靈活地運用知識，對試題不經(jīng)過分析、思考就任意答題。而思維導圖的教學方式通過學生反映的現(xiàn)象從而改變學生的復習現(xiàn)狀，思維導圖教學模式引導學生數(shù)學知識點進行總結(jié)整理，建立數(shù)學認知結(jié)構(gòu)圖，從而使學生靈活運用知識，這樣的教學模式有效地提高了教學質(zhì)量和復習效率。思維導圖教學模式通過教學評價，第一個優(yōu)點是層次分明的知識結(jié)構(gòu)體系有利于學生更好地掌握知識，并產(chǎn)生新的知識體系；第二個優(yōu)點就是通過實例可以提高學對數(shù)學知識概念的理解與掌握。
【關鍵詞】數(shù)學語言；培養(yǎng)
語言是心靈的窗口。在日常生活中，人與人之間的思想情感交流，主要靠語言。通過語言，可以窺視一個人的心理世界，了解他的思想態(tài)度、為人處世及其世界觀、人生觀和價值觀，從而有針對性地與其進行有效溝通。語言分口頭語言和書面語言。在教學過程中，口頭語言用得最多，也最普遍。在少數(shù)民族地區(qū)，少數(shù)民族學生生來就使用當?shù)厣贁?shù)民族語言，長大到入學年齡，走進學校，才開始接觸使用普通話交流的語言環(huán)境。由于少數(shù)民族學生在入學之前用當?shù)厣贁?shù)民族語言交流慣了，因而到了學校學習使用普通話很不自然，覺得普通話難學。他們聽不懂普通話，不會說普通話，給少數(shù)民族學校的教育教學蒙上了陰影，對提高少數(shù)民族學校教育教學質(zhì)量，推動素質(zhì)教育造成不利。因此，要提高少數(shù)民族地區(qū)學校的教育教學質(zhì)量、推動素質(zhì)教育，不能不重視少數(shù)民族學生普通話表達能力的培養(yǎng)。語文學科如此，數(shù)學學科也要如此。那么，在少數(shù)民族學校的數(shù)學教學中，如何培養(yǎng)少數(shù)民族學生的數(shù)學語言表達能力呢？筆者在這幾年的數(shù)學教學實踐中總結(jié)了如下幾點：
1 利用數(shù)學課本中的情景圖培養(yǎng)學生數(shù)學語言表達能力
數(shù)學課本尤其是低年級數(shù)學課本，為了適應低年級學生識字量不多及其以形象思維為主的特點，每個單元導入數(shù)學知識之前，都配有一副情景圖。這些情景圖內(nèi)容豐富，色彩鮮艷，非常受到小學生的青睞。學生接觸這些情景圖，愛不釋手，總是翻來覆去地看。通過這些情景圖可以激發(fā)學生學習數(shù)學興趣，使學生喜歡學習數(shù)學知識，努力學好數(shù)學這門基礎性的課程。因此，我們可以利用數(shù)學課本的情景圖對學生進行數(shù)學語言表達能力的訓練。我在利用這些情景圖訓練學生數(shù)學語言表達能力時，首先讓學生整體感知情景圖的內(nèi)容，認識圖畫里各種事物的名稱，然后指導學生用連貫的語言把圖畫內(nèi)容表達出來。在看圖說話中如有個別學生出現(xiàn)語塞，我則很耐心地給與引導，使其把話說得完整。例如一年級下冊第8頁“20以內(nèi)的退位減法”的情景圖，我教學這個情景圖時，首先讓學生整體感知這幅圖畫畫的是小朋友在娛樂場所進行的各項活動，引導學生用？“…有的…有的…有的…”的句式進行說話，如有的學生說“星期六的娛樂場所真熱鬧，有的踢足球，有的擲圈圈，有的玩風車，有的數(shù)金魚”等等，對說得好的同學，我則請他帶領全班同學重復地說幾遍，直到熟練，內(nèi)化為自己的語言后，再讓學生細看每項活動，引導學生把每項活動蘊含的數(shù)學知識表達出來。如通過觀察數(shù)氣球的活動，讓學生說出“有15個氣球，賣了9個，還有多少個？”通過看了數(shù)金魚的活動，讓學生說出“有30條金魚，7條黑金魚，紅金魚有多少條？”等等，通過教師有意的訓練，學生不僅提高了數(shù)學語言表達能力，感受數(shù)學知識就在自己的生活里，在自己的身邊，給自己帶來方便，也為學生學習本單元的數(shù)學知識做好鋪墊。
2 利用數(shù)學課本例題培養(yǎng)學生數(shù)學語言表達能力
數(shù)學知識十分廣泛，內(nèi)容豐富多彩，而選入小學數(shù)學課本里的數(shù)學知識，是學生現(xiàn)在乃至將來都必須掌握的基礎知識。小學數(shù)學課本里的基礎知識幾乎以例題的方式呈現(xiàn)。小學低年級數(shù)學課本尤其是一年級數(shù)學課本，每個例題都配有圖畫，這樣使例題形象直觀，學生易于理解掌握。學生在教師的引導下，通過觀察圖畫，理解圖畫進而學會分析例題，理解例題，會做例題，直至通過例題能舉一反三。在教學例題過程中，我們可以利用書本上的插圖和例題的演算過程對學生進行數(shù)學語言訓練，提高學生數(shù)學語言表達的能力。如二年級數(shù)學下冊第49頁用“7、8、9”的乘法口訣求商。我在教學這個例題時，先讓學生看懂圖畫內(nèi)容。使學生知道這幅圖的內(nèi)容是布置教室迎接“六一”兒童節(jié)。同學們在教室里掛著彩旗和彩球等，使人感受到節(jié)日的濃濃氣氛。讓學生仔細觀察彩旗，學生看了彩旗后能很快地說出“有56面小旗，掛成8行，平均每行掛幾面？”的數(shù)學問題，爾后讓學生反復地說，直到熟練，內(nèi)化為自己的語言。再引導學生討論分析題目中的數(shù)量關系，知道這個題目是把56平均分成8份，每份是多少，用除法計算。最后讓學生自己列出算式，教師巡視指導。在這個教學過程中，教師有意讓學生說出畫面內(nèi)容和數(shù)學問題，就是在培養(yǎng)學生的數(shù)學語言表達能力。
3 利用數(shù)學算式培養(yǎng)學生數(shù)學語言表達能力
數(shù)學算式是數(shù)學知識的重要組成部分，是學生接觸數(shù)學知識，學習數(shù)學知識，鞏固數(shù)學知識的重要橋梁和紐帶。在小學數(shù)學中，數(shù)學算式主要有加、減、乘、除四則運算。我在教學數(shù)學算式時，都在有意抽出一些數(shù)學算式訓練學生說話，培養(yǎng)學生數(shù)學語言表達能力。如我讓學生根據(jù)“5+3=8”這個算式說話。有的學生說“樹上有5只小鳥，又飛來3只，樹上現(xiàn)在一共有8只小鳥。”有的說“魚缸里有5只紅金魚，3只黑金魚，一共有8只金魚。”又如用“28÷7=4”的算式說話。有的說“有28個學生在做操，7個人排成一排，可以排成4排。”有的說“在六一兒童節(jié)到來時，小明做了28朵花，小紅做了7朵花，小明做的花是小紅的4倍。”還有的說“同學們用28盆花擺圖案，要擺成4個圖案，平均每個圖案用7盆”等等。數(shù)學算式看起來比較枯燥乏味，但只要教師精心安排，引導得法，是可以激起學生說話的興趣和熱情。學生用算式說話，不僅理解了算式的含義，還大大提高了學生的思維能力和想象能力。
4 利用數(shù)學每個單元的結(jié)束語培養(yǎng)學生數(shù)學語言表達能力
