時間：2022-12-12 18:13:52
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇小數(shù)的產(chǎn)生和意義，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
教學目標：經(jīng)歷小數(shù)計數(shù)單位的產(chǎn)生過程，理解十進制分數(shù)與小數(shù)的聯(lián)系；結(jié)合具體情境理解小數(shù)的意義，溝通小數(shù)和整數(shù)的關(guān)系；在探索小數(shù)意義的過程中鍛煉學生的觀察能力、分析能力、抽象概括和遷移能力。
教學重難點：分數(shù)和小數(shù)的聯(lián)系，理解小數(shù)的意義和小數(shù)的計數(shù)單位。
教具準備：自制1米長的尺子（正面無刻度，背面平均分成10份，其中1份可取下）
教學過程：
一、復(fù)習數(shù)數(shù)，預(yù)伏新知生長點
課件中出示鋪滿屏幕的一大堆小方塊，請學生數(shù)有多少個。（數(shù)不清楚）
師：我們讓電腦來幫幫忙。（整理成十個十個再次出示）現(xiàn)在呢？（還是數(shù)不清楚）那要是這樣呢？（以百為單位再次顯示，學生吃力地數(shù)出一千）現(xiàn)在呢？（變?yōu)檎R的一個千）
師：為什么同樣多的小方塊，我們一開始都數(shù)不清楚，現(xiàn)在怎么這么快就都數(shù)清楚了？一起回顧一下剛才數(shù)小方塊的過程。課件中的小方塊先以個為單位呈現(xiàn)，后逐步轉(zhuǎn)為以十、以百、以千為單位進行呈現(xiàn)，我們數(shù)小方塊的過程也由不清楚逐漸變?yōu)橐幌伦泳湍軋蟪龅脭?shù)。由此可見，數(shù)數(shù)時計數(shù)單位的合理選擇是很重要的。
【設(shè)計意圖：復(fù)習整數(shù)的計數(shù)單位，理解在適當?shù)那榫诚逻x擇適當?shù)挠嫈?shù)單位很重要。每十個小的計數(shù)單位可以合成一個新的比較大的計數(shù)單位，使計數(shù)變得更清晰、更簡便。那么，當計數(shù)單位太大，不夠分時，就自然會想到平均分成十個，得到新的更小的計數(shù)單位再數(shù)，這是小數(shù)意義的一個預(yù)伏的新知生長點。】
二、自主探究，建構(gòu)新知
1.一位小數(shù)的意義
師（出示一把沒有刻度的尺子）：如果我用自然數(shù)1來表示這把尺子的長度，你覺得我們教室門的高大約可以用什么數(shù)字來表示，黑板的長呢？
生1：2，4。
師：那么這支毛筆的長度呢？還能用幾個1來表示嗎？
生2：不能，毛筆的長度還不到1。
師：也就是說現(xiàn)在用1作為計數(shù)單位太大了，那該怎么辦？
生3：我們需要創(chuàng)造一個比1更小的計數(shù)單位。
師：有道理，那么我們把1平均分成幾個小的計數(shù)單位比較好呢？
生4：平均分成10個比較好，因為整數(shù)里也是滿十進一。
師：你很會思考。整數(shù)里是滿十進一，這里就可以是“一分為十”。（多媒體演示：把一把尺子平均分成10份）這樣我們就創(chuàng)造了一個新的比1更小的計數(shù)單位――0.1（十分之一），那接下來（取下自制尺子中的0.1邊演示邊講解）我們就可以以0.1為單位進行計數(shù)和測量物品了。數(shù)數(shù)看1里面一共分成了幾個0.1呢？（板書：1里面有10個0.1）
【設(shè)計意圖：在新知的探究中，教師舍棄了經(jīng)典的方格紙的分割來教學小數(shù)，而采用了空白的一把尺子來加以引入。因為小數(shù)最早產(chǎn)生于人們生產(chǎn)勞動的丈量過程中，采用空白尺子進行教學能更有利于還原小數(shù)產(chǎn)生的實際情境，也更有利于小數(shù)計數(shù)單位的教學。】
師：現(xiàn)在毛筆的長度是幾個0.1呢？3個0.1可以怎么表示？（0.3）那么空白部分有幾個0.1，可以用什么分數(shù)來表示？（0.7）沒錯，有了0.1這個計數(shù)單位以后，我們就可以0.1，0.1地數(shù)了。一起來數(shù)一數(shù)。（結(jié)合課件帶領(lǐng)學生一起從0.1數(shù)到1.0）這個0.1是把1平均分成10份，每一份其實就是分數(shù)里的十分之一，對嗎？所以我們也可以十分之一、十分之一地數(shù)，一起來數(shù)一數(shù)。（結(jié)合課件帶領(lǐng)學生一起從十分之一數(shù)到十分之十）
學生練習，教師巡視，并進行個別指導(dǎo)后全班交流。
師：都做對了嗎？我們再一起來看一看，用0.1作為單位寫出的小數(shù)都有什么共同的特點？轉(zhuǎn)化成的分數(shù)又有什么特點呢？也就是說一位小數(shù)和十分之幾的分數(shù)一樣都是把一個物體平均分成十份，表示這樣的幾份的數(shù)。
（板書：計數(shù)單位 0.1一位小數(shù)？圮十分之幾）
【設(shè)計意圖：兩次數(shù)數(shù)，第一次以0.1為單位數(shù)，第二次以十分之一為單位數(shù)，能更好地幫助學生理解一位小數(shù)都是由0.1累加而成的，十分之幾是由十分之一累加而成的。進一步強化了學生計數(shù)單位的體驗，有利于增強學生對小數(shù)意義的理解。】
2.理解兩位小數(shù)的意義
師：1作為計數(shù)單位太大時，我們創(chuàng)造了比1更小的計數(shù)單位0.1，并用它作為單位解決了一些問題。那么像橡皮這種用0.1測量還是太大的又該怎么辦呢？
生7：需要創(chuàng)造一個比0.1更小的計數(shù)單位。
生8：把0.1再平均分成10份，變成0.01再數(shù)。
師：為什么都是平分成10份呢？
生8：因為整數(shù)計數(shù)單位之間的進率都是十，所以我認為小數(shù)也應(yīng)該是十。
師：有道理，得到了0.01這個計數(shù)單位后，我們就可以0.01，0.01地數(shù)了。我們一起來數(shù)數(shù)看。（多媒體展示，全班跟著數(shù)：從0.0到0.09）再增加一個0.01，小數(shù)點右邊的第二位就滿十了，怎么辦？
生9：向前一位進1。
師：前一位是哪一位？
生9：小數(shù)點右邊的第一位。
師：是的，他從整數(shù)的進位中獲得了啟發(fā)。我們接著往下數(shù)。0.99是由幾個0.01構(gòu)成的呢？
生10：99個0.01.
師：再增加一個0.01又該怎么表示了呢？（演示百分位滿十向十分位進一，十分位滿十向個位進一的過程）
【設(shè)計意圖：兩次數(shù)數(shù)環(huán)節(jié)的教學設(shè)計，能最大限度地利用學生對整數(shù)的認知來構(gòu)建小數(shù)體系，有利于今后小數(shù)計算教學中的算理溝通，為后續(xù)教學鋪路。】
3.拓展延伸
師：你也能像剛才總結(jié)一位小數(shù)一樣給我們的兩位小數(shù)學習做一個總結(jié)嗎？
0.01兩位小數(shù)？圮百分之幾 （板書）
師：根據(jù)剛才的學習，你還能知道三位小數(shù)和四位小數(shù)的意義嗎？
0.001三位小數(shù)？圮千分之幾
0.0001四位小數(shù)？圮萬分之幾（板書）
三、鞏固練習
1.你能根據(jù)計數(shù)單位的不同把下面的小數(shù)分類嗎？再試著說說每一個小數(shù)由有幾個這樣的計數(shù)單位組成。
0.9 0.39 0.032 2.3 0.06 0.102
0.1（ 、 ） 0.01（ 、 ） 0.001（ 、 ）
2.先說說下面各小數(shù)的意義，再用手勢表示下面小數(shù)中的長度：0.8米，0.8厘米；先說說下面各小數(shù)的意義，再用表情表示一下你抱下面的重量時的感受：0.7克，0.07噸。
3.在數(shù)軸中表示小數(shù)。一位不算矮的女老師，她的身高可以用一個一位小數(shù)表示，你猜會是多少米？（1.6米）你能在數(shù)軸中把它表示出來嗎？一位男的高個子體育老師，他的身高也可以用一位小數(shù)來表示，你猜會是多少米？（1.8米）在數(shù)軸中表示出來。我的身高介于他們兩人之間，但要用兩位小數(shù)才能表示，你猜會是多少？（1.74米）哪里才是1.74呢？
四、回顧總結(jié)
一、明確教學目標，促進認數(shù)教學的有效實施
對于“數(shù)的認識”， 除了認數(shù)、讀數(shù)、寫數(shù)的相關(guān)要求，《數(shù)學課程標準》針對每個學段都提出了明確的要求. 我們教師要在充分理解課標的基礎(chǔ)上，結(jié)合具體教學內(nèi)容，從學生的認知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，合理制定教學目標，促進認數(shù)教學的有效開展.
如10以內(nèi)各數(shù)的認識是小學階段學生認數(shù)的開始. 在現(xiàn)實生活中，很多幼兒園的老師或者家長在孩子上學前就已經(jīng)對他們進行了這些方面的訓(xùn)練. 可以說，在入學前不會數(shù)數(shù)，不認識1，2，3，…的孩子很少很少，這是學生已有的知識經(jīng)驗. 對于這樣的情況，有很多老師會認為，既然學生已經(jīng)會數(shù)數(shù)了，只要寫好數(shù)就行了. 其實這是對于認數(shù)教學認識上的一種偏差. 學生對于10以內(nèi)各數(shù)的認識不應(yīng)該僅僅停留在數(shù)數(shù)這個淺層次上，還有深層次的要求. 例如：① 物體個數(shù)與數(shù)一一對應(yīng)，不能口中按順序數(shù)數(shù)，卻不能與物體個數(shù)對應(yīng). ② 物體個數(shù)與數(shù)字一一對應(yīng)，每個不同的數(shù)量與不同的數(shù)學符號（數(shù)字）對應(yīng). ③ 注意選擇不同的情境和不同的學具，幫助學生理解數(shù)的意義. 如3可以表示所有數(shù)量是3個的物體，而與物體的大小、形狀、質(zhì)量等狀態(tài)無關(guān). ④ 知道數(shù)的作用不但可以用來表示數(shù)量的多少（基數(shù)），還可以表示順序（序數(shù)）和編碼，如3可以表示有3個物體，也可以表示第3個物體. 這些都是我們教師在備課前應(yīng)該考慮到的.
二、營造生活情境，促進認數(shù)教學的有效實施
數(shù)是從人們生活和生產(chǎn)的需要中產(chǎn)生和發(fā)展起來的，它與人們的生活、生產(chǎn)有著十分密切的聯(lián)系. “數(shù)學情境”是聯(lián)系數(shù)學與現(xiàn)實世界的紐帶，是溝通數(shù)學與現(xiàn)實生活的橋梁. 教師利用學生的生活經(jīng)驗，設(shè)計生動有趣、直觀形象的數(shù)學情境，能夠使數(shù)學知識成為看得見、摸得著、聽得到的現(xiàn)實，讓抽象的數(shù)貼近生活，讓多彩的生活為認數(shù)教學服務(wù).
如“小數(shù)的初步認識”教學中，可以創(chuàng)設(shè)學生喜聞樂見的超市情境，將學生置身于現(xiàn)實生活情境中，讓他們根據(jù)已有的知識和生活經(jīng)驗觀察商品價格的特點，從而自然揭示“小數(shù)”、“小數(shù)點”的概念，同時也讓學生感受到小數(shù)在生活中有著廣泛的應(yīng)用，感受到數(shù)學學習活動是有意義的.
又如，在“百分數(shù)的意義和寫法”教學中，布置學生課前收集生活中百分數(shù)的例子，創(chuàng)設(shè)“小小新聞會”的現(xiàn)實情境，引導(dǎo)學生通過對幾條含有百分數(shù)信息的分析和交流，初步感知百分數(shù)，充分發(fā)揮學生收集信息和討論分析的積極性，為師生共同探究百分數(shù)搭好“腳手架”.
三、引領(lǐng)學生感受數(shù)的產(chǎn)生與發(fā)展，促進認數(shù)教學的有效實施
數(shù)學知識的形成過程是漫長、動態(tài)的過程，數(shù)的產(chǎn)生與發(fā)展有著其自身特定的意義. 教學中，教師應(yīng)當有針對性地再現(xiàn)數(shù)發(fā)展的歷史進程，引導(dǎo)學生通過對數(shù)學史的簡單了解，增強對數(shù)學學習的興趣，豐富數(shù)學學習的良好情感，從而加深對數(shù)的意義的理解.
如蘇教版第五冊“認識分數(shù)”一課的教學設(shè)計，一般教師都是從公平分物引入，讓學生自覺體會到在平均分的前提下，每份的物品數(shù)量可以用學過的整數(shù)來表示. 而當每份的數(shù)量無法用學過的整數(shù)表示時，像1塊蛋糕平均分給2個人，怎樣分？每人分得多少？1塊蛋糕平均分給4個人、10個人、100個人呢？每人又分得多少？從而逐步產(chǎn)生一個認知上的沖突，“逼迫”學生經(jīng)歷一個再創(chuàng)造的學習過程：從用“半個”這樣的生活用語表示，到用圖形表示，乃至感到困難時，需要創(chuàng)造一種新的數(shù)來表示. 整個設(shè)計不僅有利于學生理解分數(shù)的產(chǎn)生是以平均分為前提，同時體現(xiàn)了分數(shù)的社會屬性. 教師再次引發(fā)思考：究竟用怎樣的數(shù)來表示呢？這時恰當?shù)刂噩F(xiàn)分數(shù)的發(fā)展歷程，學生對于分數(shù)的意義的理解也就水到渠成了.
又如蘇教版教材五年級上冊“認識負數(shù)”一課，教師利用與學生生活密切聯(lián)系的三件事情：① 1路公交車在中間第一站上來了8人，第2站下去了3人. ② 本學期我們四年級轉(zhuǎn)來25名新同學，五年級轉(zhuǎn)走16名同學. ③ 小明媽媽投資股票，3月份賺了5000元，4月份虧了2000元. 引導(dǎo)學生親自動手記錄數(shù)據(jù)，學生在對不同記錄方法的分析、比較中，親身經(jīng)歷“符號化”、“數(shù)學化”的過程，充分體會到負數(shù)產(chǎn)生的必要性. 然后在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學生簡單了解負數(shù)的產(chǎn)生歷史，加深對負數(shù)意義的理解，教學效果事半功倍.
四、強化知識之間的聯(lián)系，促進認數(shù)教學的有效實施
在小學階段，對于數(shù)的認識，從縱向看，包括整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)、百分數(shù)的有關(guān)概念和負數(shù)的初步認識；從橫向看，包括數(shù)的意義、數(shù)的讀法和寫法、數(shù)的大小比較、數(shù)的性質(zhì)、數(shù)的改寫. 有經(jīng)驗的教師都知道：因為學生每天都能接觸到數(shù)，所以對于數(shù)的知識不容易遺忘. 而學生學習的薄弱點更多集中在對數(shù)的概念模糊不清，對于數(shù)的認識沒有整體性，解決問題缺乏靈活性. 我們在教學中必須加強知識之間的溝通，提高有效性.
如在“認識小數(shù)”教學時，教師要抓住小數(shù)與分數(shù)（分母是10，100，1000，…）之間的內(nèi)在聯(lián)系，把小數(shù)的概念建立在十進制分數(shù)的基礎(chǔ)上，借助直觀感性材料米尺、人民幣、1噸等，分別把它們平均分成10份、100份、1000份……這樣的一份或幾份可以用分數(shù)表示，也可以用小數(shù)表示，從而揭示小數(shù)與分數(shù)之間的聯(lián)系：一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾……引導(dǎo)學生探究并揭示小數(shù)的意義.
《詩經(jīng)》上說“如切如磋、如琢如磨”，這是研究課堂教學的一種境界。在研討交流中，我深深為許衛(wèi)兵老師的深入思考（對教材的深入分析、對相關(guān)材料的閱讀、教學想突破的“問題”）所折服，真的是“小數(shù)不小，小數(shù)的世界很大”。對于一線教師與教學研究者來說，小數(shù)的世界之“大”，就“大”在讓我們深入地追問與思考一些問題。
“小數(shù)初步認識”到底“教什么”？
課程改革后，不同版本教材都是“螺旋上升”式地處理“小數(shù)的認識”，各教材的整體設(shè)計不盡相同，但在第一次“認識小數(shù)”時都把握了共同的原則：（1）基于學生的生活經(jīng)驗學習小數(shù)，在具體的“量”中理解小數(shù)的現(xiàn)實意義，這里“具體的‘量’”主要指錢數(shù)、長度；（2）都是“規(guī)定”小數(shù)是十進分數(shù)的另一種表示方法；（3）溝通用“整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)”都能表示同一個“量”，北師大版主要是溝通用“整數(shù)、小數(shù)”表示同一個量；（4）都涉及到純小數(shù)和混小數(shù)的認識。下面以人教版、北師大版、蘇教版為例，簡要概述“小數(shù)的初步認識”的內(nèi)容安排。
人教版在《小數(shù)初步認識》中要學習一位、二位小數(shù)，是從“生活中的小數(shù)（價錢）”引入，理解用小數(shù)表示的價錢是什么意思，通過呈現(xiàn)小數(shù)在生活中的應(yīng)用場景讓學生感受到小數(shù)是一個生活中常見的“數(shù)”，進而以“米制系統(tǒng)”為直觀模型認識一位小數(shù)就是十分之幾的分數(shù)、二位小數(shù)就是百分之幾的分數(shù)，認識小數(shù)數(shù)位上的數(shù)字的“分數(shù)意義”以及“現(xiàn)實意義”。在此基礎(chǔ)上，在“做一做”的活動中，再用整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)表示“錢數(shù)”，進一步讓學生認識到“同一個量，既可以用自然數(shù)表示，也可以用小數(shù)、分數(shù)表示”。其難點是當兩位小數(shù)中十分位、百分位是“0”時如何用小數(shù)表示現(xiàn)實的量。
北師大版也是學習一位、二位小數(shù)，一直以“人民幣”為直觀模型學習小數(shù)（包括小數(shù)的加減運算），借助于小數(shù)位上各數(shù)字的“人民幣”意義學習，不涉及“分數(shù)”（教材中《小數(shù)的初步認識》在前，《分數(shù)的初步認識》在后）。
蘇教版則只學習一位小數(shù)，“米制系統(tǒng)”、“人民幣”兩個直觀模型都用，首先借助“米制系統(tǒng)”模型呈現(xiàn)一位小數(shù)就是“分母是10的分數(shù)”的另一種記法，然后再用“人民幣”認識混小數(shù)，認識“混小數(shù)”能突破學生總認為“小數(shù)是比‘1’小的數(shù)”的錯誤思維定勢。只有蘇教版教材在《小數(shù)初步認識》就提出“整數(shù)部分”、“小數(shù)部分”的概念，認識小數(shù)點左邊的數(shù)是小數(shù)的整數(shù)部分，小數(shù)點右邊的數(shù)是小數(shù)的小數(shù)部分。
在認識小數(shù)的“學具”方面，人教版、蘇教版還使用了“長（正）方形”的面積模型、線段圖模型以及“數(shù)軸”（習題中），而北師大版則不涉及這些直觀“模型”，主要借助人民幣認識小數(shù)。
小數(shù)的含義是“規(guī)定的”還是“發(fā)現(xiàn)”的？
弄清楚了“教什么”，接下來就是“怎么教”的問題：學生如何理解一個概念？教學如何“教”概念？杜威“由生活經(jīng)驗向科學概念的運動過程就是教學”這一重要的教學思想，在學科課堂教學中如何落實？是“告知”學生概念的意義還是讓學生探索、概括發(fā)現(xiàn)概念的意義？尤其教學“認識小數(shù)”時這兩種教學方式容易引發(fā)爭議。
幾乎所有版本的教材都是這樣處理小數(shù)的意義的：5/10米還可以寫成0.5米。即小數(shù)是十進分數(shù)的另一種表達形式，一位小數(shù)就是十分之幾，兩位小數(shù)就是百分之幾，依此類推。
很多教師認識，小數(shù)的意義是“規(guī)定”的，教學時就是告訴學生這個規(guī)定而無需學生探究。但許衛(wèi)兵老師執(zhí)教的《認識小數(shù)》則走了另外一條路：在學生對用小數(shù)表示“錢數(shù)”已有生活經(jīng)驗、知道其現(xiàn)實意義的基礎(chǔ)上，借助于分數(shù)的面積模型，讓學生在“折一折”、“畫一畫”的活動中探究發(fā)現(xiàn)并概括出“零點幾就是十分之幾”、“零點幾的意義和十分之幾的意義相同”的結(jié)論。即學生頭腦中先有“小數(shù)”，然后通過探究發(fā)現(xiàn)“一位小數(shù)實際上就是分母是10的分數(shù)”，讓學生有一種“頓悟”、有一種發(fā)現(xiàn)了隱藏的秘密的快樂。進而再將這一發(fā)現(xiàn)拓展應(yīng)用到“米制”模型，以鞏固對一位小數(shù)的認識和理解。
這樣做符合執(zhí)教者的主旨：確立真正的兒童立場，讓學生的生活經(jīng)驗真正在概念學習中發(fā)揮作用，進而實現(xiàn)概念學習的“案例――原則――模仿――運用”的探究發(fā)現(xiàn)式過程。因此許老師說：從學生生活經(jīng)驗的角度看，將“價錢之間的轉(zhuǎn)化”作為例題素材、“長度之間的轉(zhuǎn)化”作為習題素材更為合適，因為學生缺乏足夠的“小數(shù)表示的長度”這一經(jīng)驗基礎(chǔ)，“5/10米還可以寫成0.5米”這一直接表明分數(shù)、小數(shù)之間關(guān)聯(lián)的結(jié)論，教師除了采用講解的方式直接“告訴”學生，別無他法。
但是，可能有教師會追問：是學生獨立探究發(fā)現(xiàn)“零點幾就是十分之幾”還是規(guī)定“十分之幾就是零點幾”？即小數(shù)的意義到底是“規(guī)定的”還是“發(fā)現(xiàn)”的？
這個問題要從兩個方面來看。首先，從小數(shù)的產(chǎn)生發(fā)展史看，先有分數(shù)后有小數(shù)，小數(shù)的意義是“人為”規(guī)定的。16世紀荷蘭的數(shù)學家、物理學家，同時也是一位軍人的斯蒂文最早發(fā)明小數(shù)，當時是為了便于計算復(fù)雜的利息問題。斯蒂文發(fā)現(xiàn)，當利率都是以10、100、1000等作為分母時，按照復(fù)利計算的利息問題將變得簡單，其結(jié)果都是以分母是10、100、1000等的分數(shù)表示。但還是不太便于比較大小和計算，于是他發(fā)現(xiàn)用“小數(shù)”（當時的小數(shù)書寫形式不是現(xiàn)在的樣子，沒有小數(shù)點）表示非常方便，于是創(chuàng)造出“十進小數(shù)”，進行小數(shù)的四則計算非常簡單，類似于自然數(shù)的四則計算。從其發(fā)生的本源來看，小數(shù)是基于十進分數(shù)而創(chuàng)造出來的，是“原創(chuàng)的”。實際上，人為的“約定”、“規(guī)定”就是人的一種創(chuàng)造，是一種新的頓悟與發(fā)現(xiàn)。
其次，從學生學習的角度看，通過個別案例的探索，發(fā)現(xiàn)（對于學生而言是教師引領(lǐng)下的“真正發(fā)現(xiàn)”）小數(shù)的含義是學生的“再創(chuàng)造”過程。讓學生經(jīng)歷這個“再創(chuàng)造”過程遠比告知學生“十分之幾就可以記作零點幾”更有價值，也就是許老師執(zhí)教本節(jié)課的目的所在。
那么這樣做的價值何在？價值就在于讓學生體驗發(fā)現(xiàn)秘密的快樂。荷蘭著名數(shù)學家、數(shù)學教育家弗賴登塔爾在《作為教育任務(wù)的數(shù)學》中說：“要知道，泄露一個可以由學生自主發(fā)現(xiàn)的秘密，那是‘壞’的教學法，甚至是罪惡。”這符合他一貫倡導(dǎo)的數(shù)學學習觀：數(shù)學學習就是“再創(chuàng)造”的過程。許老師執(zhí)教的“認識小數(shù)”就落實了這一數(shù)學觀，讓學生經(jīng)歷“再創(chuàng)造”與發(fā)現(xiàn)的過程，體驗到獨立發(fā)現(xiàn)秘密的樂趣，這才是學生可持續(xù)學習能力培養(yǎng)的深層動力。
用可視化的“形”認識抽象的“數(shù)”的意義何在？
用可視化的“形”認識抽象的“數(shù)”的意義，即如許老師所強調(diào)的：有了與現(xiàn)實生活、與兒童經(jīng)驗的對接，學生對小數(shù)的認識也就得以通過“慢鏡頭”來完成。教學不應(yīng)停留在教師直接的講解和“告訴”，而應(yīng)讓學生充分展開探索過程，借助于直觀圖示的形象支撐，建立起了一位小數(shù)的“直觀模型”（長方形等分、涂色）。然后將一位小數(shù)（純小數(shù)、混小數(shù)）的認識拓展到“米制系統(tǒng)”，進而再在半抽象半形象的“數(shù)軸”上認識小數(shù)（從“米尺”到“數(shù)軸”的抽象過程非常巧妙）。
從借助“面積模型”、“線段圖模型”到“數(shù)軸”來認識小數(shù)，所用的工具從直觀形象到半抽象半形象，符合學生的認知特點，有助于學生數(shù)學學習過程的順利展開與實施。其實更為重要的是，恰當?shù)剡\用這些直觀模型為學生理解和運用“數(shù)形結(jié)合”思想積累了數(shù)學活動經(jīng)驗，使學生逐步學會“用形象來滋養(yǎng)抽象，用直覺來涵養(yǎng)思維”，這是幫助學生清晰地掌握數(shù)學知識的重要“法寶”。數(shù)學活動經(jīng)驗的積累與豐富不能夠依賴教師的“告知”與重復(fù)性的“練習”，需要學生的親自探究與體驗，借助于多種模型和途徑（可以說，這三種直觀模型貫穿于小學數(shù)學教學的始終）充分地展開探究過程，學生的體驗與感受就越強烈，理解就越深刻，數(shù)學活動經(jīng)驗就越豐富和靈活。
“告知”式的教學可能“省時”、“省力”，但這是短期效果；“慢鏡頭”教學從短期看“費事”、“費時”、“費力”，但其長期效果不容忽視：有助于教師深入解讀教學內(nèi)容，研究學生的數(shù)學學習條件與路徑，設(shè)計有價值的數(shù)學活動；有助于提升教師的執(zhí)教能力；有助于學生經(jīng)歷探究發(fā)現(xiàn)過程，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，感受體驗探究發(fā)現(xiàn)的樂趣，真正落實“三維教學目標”的整合。
人教版數(shù)學四年級下冊第32-33頁。
教學目標：
1.進一步認識小數(shù)，會進行小數(shù)和分數(shù)的轉(zhuǎn)化。
2.結(jié)合生活經(jīng)驗，了解小數(shù)的產(chǎn)生，通過推理等。
3.明確一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾……實際也就是讓學生明白，每相鄰兩個小數(shù)單位之間的進率是10。
教學過程：
一、從生活中感知小數(shù)的意義
課前準備：讓學生用米尺測量自己喜歡的物體。如：課桌的高度、長度、自己的身高、同學的身高……
思考：在測量中，你發(fā)現(xiàn)了什么？遇到了什么困難？
課堂中讓學生說出自己測量出的數(shù)據(jù)，就會發(fā)現(xiàn)學生報出的數(shù)據(jù)中有小數(shù)的存在，讓學生自己感知，在測量時，往往不能正好得到整數(shù)的結(jié)果，這時要用小數(shù)來表示。并指導(dǎo)學生看圖，看看自己測量時碰到的情況是否和圖中小朋友碰到的情況一樣。
在進行測量和計算時，往往不能正好得到整數(shù)的結(jié)果，這時也常用小數(shù)來表示。
二、從探究中感知小數(shù)的意義
把1m平均分成1000。
小數(shù)的計數(shù)單位是十分之一、百分之一、千分之……?分別寫作0.1、0.01、0.001……
每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進率是（ ）。
分數(shù)：____ ____ ____
小數(shù)：____ ____ ____
1.運用米和分米的關(guān)系探究一位小數(shù)的改寫。
教師出示尺子圖，師生共同探究，讓學生把1米平均分成10份，讓學生說出1米=（ ）分米，再讓學生標出米尺上的1分米、2分米、3分米……10分米。教師巡視指導(dǎo)，并讓學生說出1分米處實際就是1米的（ ）分之（ ）處，2分米處實際就是1米的（ ）分之（ ）處，3分米處實際就是（ ）米的（ ）分之（ ）處，以此類推，說到10分米處（即10分之10處），讓學生說出10分之10處就是1米處。再讓學生說出1/1米寫成小數(shù)就是0.1米，2/10米寫成小數(shù)就是（ ）米，3/10米寫成小數(shù)就是（ ）米，一直寫到10/10米就是1米。
2.運用米和厘米的關(guān)系，探究兩位小數(shù)的改寫。
出示把1米平均分成100份的尺子D，請學生說出1米=（ ）厘米，接著讓學生說出1米平均分成1 00份的一份實際就是（ ）厘米，即1厘米處實際就是1/100米處，也就是（0.01）米處，2厘米處實際就是（ ）分之（ ）米，也就是（ ）（填小數(shù)）米處，3厘米處就是（ ）分之（ ）米，也就是（ ）（填小數(shù)）米處。讓學生盡量多說一些數(shù)字，教師點名抽查學生說的情況。
3.運用認識米和毫米的關(guān)系，探究三位小數(shù)的改寫。
出示把1米平均分成1000份尺子圖，請學生說出1米=（ ）毫米，接著讓學生說出1毫米實際就是1/1000米處，也就是（0.001）米處，2毫米實際就是2/1000米處，也就是（0.002）米處，3毫米實際就是3/1000米處，也就是（0.003）米處，以此類推，讓學生盡量多說說。教師根據(jù)學生實際點名讓學生說，多提問幾個學生。
三、動手操作。感知小數(shù)的意義
1.涂一涂。
（1）教師在黑板上畫出10個大小相同的圓，并把每個圓平均分成10份，點名讓學生分別上黑板涂出第1個圓的1份、2份、3份、4份、5份、6份、7份、8份、9份、10份。并讓學生在圖形下面寫出所表示的分數(shù)是（ ）分之（ ），小數(shù)是（ ）。同時，全體學生也一同練習。師生共同檢查學生填寫情況。如果有錯誤，讓別的學生給予訂正。
（2）教師出示三個平均分成100份的正方形，點名讓第一個學生涂出9格，第二個學生涂出15格，第三個學生涂出33格。涂好后在下面分別寫上分數(shù)和小數(shù)。其他學生也一起練習。
2.解決問題，感知小數(shù)在生活中的意義。
（1）小東的爸爸有1000元錢，交電話費150元，買牙膏用了25元，買小菜用了15元，交電話費用了這些錢的幾分之幾？買牙膏用了這些錢的幾分之幾？買小菜用了這些錢的幾分之幾？
（2）變一變。（把老師念的分數(shù)改寫成小數(shù)，小數(shù)改寫成分數(shù)。）如：
師：千分之二 生寫：0.002
師：百分之二 生寫：0.02
師：十分之二 生寫：0.2
（教師根據(jù)實際設(shè)計，以學生熟練掌握為標準。）
教師巡視學生做題情況，對有困難的學生及時給予指導(dǎo)。
四、總結(jié)小數(shù)的意義
1.從以上的內(nèi)容我們可以看出，分母是10、100、1000……的分數(shù)可以用小數(shù)表示。
下面是“小數(shù)的性質(zhì)”教學時，教師遭遇到的尷尬情形。
師：以元為單位，3角怎么表示？
生：0.3元。
師：那30分呢？
生：0.30元。
師：以米為單位，3分米怎么表示？
生：0.3米。
師：那30厘米呢？
生：0.30米。
師：你發(fā)現(xiàn)了什么？
生：0.3元=0.30元，0.3米=0.30米。
教師擦去單位名稱，剩下0.3=0.30，問：那現(xiàn)在相等嗎？
很多學生頓了一下后回答：不相等！
教師一愣，有點惱怒地告誡學生：不相等？！想清楚了再回答。它們相等嗎？
生（齊聲）：相等！
……
【“問”：病歷記錄】
課后，教師找來這些發(fā)出“異”見的學生，咨詢他們當時認為“0.3≠0.30”的真實想法。
生1：“我當時是這么想的，0.3元≠0.30米，所以0.3≠0.30。”
生2：“我當時也覺得0.3≠0.30，因為0.3和0.30的后面可以隨便跟什么單位，比如0.3千克和0.30克也不相等。”
生3：“我的想法跟他們一樣，0.3和0.30有時候相等，有時候不相等，后面的單位相同時，0.3=0.30；后面的單位不相同時，0.3≠0.30，所以0.3和0.30在沒有單位的情況下就無法比較。”
……
教師又問：“上完課，現(xiàn)在你們知道0.3=0.30了吧？”學生點頭。
接著教師假設(shè)：“如果課一開始直接讓你們比較0.3與0.30的大小，你們覺得自己會嗎？”
生1：“我覺得自己會比較的。我會把它們看成0.3元和0.30元，0.3元=3角，0.30元=30分=3角，所以0.3=0.30。”
生2：“我會這么想，在它們后面添上單位“米”，0.3米=3分米，0.30米=30厘米=3分米，所以0.3=0.30。“
生3：“我會把它們畫成這樣的圖（如下圖），它們涂色部分的面積相等，所以0.3=0.30。”
……
教師好奇地問前兩位學生：“你們怎么會想到添上這兩個單位的？”結(jié)果他們回答說是以前在認識小數(shù)的時候老師都是這么教的。
最后，教師不無遺憾地跟這些學生說道：“瞧，現(xiàn)在你們挺清楚的嘛，當時怎么就糊涂了呢？！”他們不好意思地吐了吐舌頭。接著一個孩子說出了讓人瞠目結(jié)舌的秘密：“是老師把我弄糊涂了。老師問我們：‘那現(xiàn)在相等嗎？’，讓我誤以為老師是在故意反過來問，正好前面有‘元’和‘米’，于是就想岔了。”其他學生也若有所思。
【“切”：病理診治】
這一節(jié)課出現(xiàn)的病癥并不是這一節(jié)課所形成的，而是以前一連串教學中的問題慢慢積累而成的，只不過這一節(jié)課設(shè)置的情境成了問題的導(dǎo)火索，使學生對知識的誤解暴露無遺。
在這節(jié)課中，“元”和“米”為何在學生頭腦中留下這么深刻的印象，以至于陷在生活的“泥潭”而不能自拔，一是因為教材在教學小數(shù)的意義（認識小數(shù)第一次安排在三年級，第二次安排在五年級）、小數(shù)的大小等內(nèi)容時都是回到購物和測量這兩大學生常見的生活情境之中理解知識、解決問題，結(jié)果導(dǎo)致學生“留戀”于生活“走不出來”；二是因為一些教師在教學的時候過多、過久滯留于生活情境之中，對知識抽象不足或抽象太晚，結(jié)果導(dǎo)致學生“流連”于生活“走不出來”。
充分利用學生生活中的數(shù)學進行教學是數(shù)學教學“生活化”的主要做法，這種由生活實踐形成的各種數(shù)學知識和技能具有直接性的特點，這種直接性十分有利于調(diào)動學生學習的積極性，而且置身于實際情境往往也有利于主體更好地發(fā)揮自己的聰明才智，有助于學生更快更好地理解和掌握抽象的知識。然而，也正由于它是與各個具體情境直接相聯(lián)系的，與實物、事物對應(yīng)性強，因此相應(yīng)的知識和技能的可遷移性差，概括性、抽象性水平低，從而就表現(xiàn)出一定的局限性。如建構(gòu)主義所指明的那樣，在數(shù)學教學中通過“貼近生活”得以調(diào)動的學生的生活經(jīng)驗就未必如我們所期望的那樣，恰能為抽象的數(shù)學概念或知識的學習提供合適的基礎(chǔ)，還可能包括許多不相干的，甚至是有一定干擾性的成分，對學生的數(shù)學學習產(chǎn)生負面效應(yīng)：影響學生完成從特殊到一般的抽象過程。
上述課例中，學生根據(jù)教師創(chuàng)設(shè)的情境，由自身生活中的經(jīng)驗，很快得出“0.3元=0.30元”和“0.3米=0.30米”，此時的0.3和0.30都有具體的含義，學生的思維一如既往地被框在具體的情境中，無法一下子跳出來、轉(zhuǎn)過來。正因為生活中用的大多是名數(shù)，它們有具體的含義，所以當數(shù)后面沒有單位名稱時，學生的腦海中還“留戀”或“流連”在單位名稱上，無法確定具體含義，于是就認為它們不相等，可以說，正是這種思想的局限性影響了知識的正遷移。
要解決這一種陷于生活的“泥潭”而不能自拔的問題，有效克服低層次、低水平學習的局面，需要教師從知識的“上游”和教學的“上端”加以整治，改變抽象程度不高的知識表征方式和教學表達方式。按照知識的序列，三年級的“小數(shù)的初步認識”是知識的起步，教材采用了學生熟悉的測量和購物情境，利用“米”與“分米”、“元”與“角”之間的進率關(guān)系來幫助學生理解十分之幾就是零點幾的關(guān)系。在認識小數(shù)第一課時，教師就應(yīng)該做好知識的抽象工作，當借助情境推出知識后，教學就應(yīng)該去情景化，把學生的注意力集中在知識的“本身”――本課研究的是“數(shù)”。
認識一個事物就是把這個對象從與它相關(guān)的事物中相剝離的過程。然而，在實際教學過程中，學生在研究小數(shù)和分數(shù)之間的關(guān)系時，常常始終“帶”著情境中的數(shù)量，知識抽象得并不“干凈”。因此，對測量情境中產(chǎn)生的小數(shù)，教師要么框出其中的“數(shù)”，如：
要么用紅色粉筆突出其中的“數(shù)”，要么在黑板上擦去或在屏幕上隱去其后的單位名稱，僅把“數(shù)”留在學生的視野里。
緊隨其后，教師應(yīng)進一步抓住購物情境中產(chǎn)生的小數(shù)與測量情境中產(chǎn)生的小數(shù)進行意義的比對與同化。例如，“0.5元”與“0.5米”去除單位后小數(shù)意義相同，都表示，然后把小數(shù)的意義通過“方形圖線段圖數(shù)軸圖”反映出來，讓學生領(lǐng)悟小數(shù)在數(shù)學中的不同表征方式，進而強化小數(shù)的意義，引導(dǎo)學生排除生活情境的干擾，走向數(shù)學的最深處。
一旦前期的知識抽象徹底，等到教學“小數(shù)的性質(zhì)”時，學生就不會那么容易受困于生活情境之中，而能夠清楚地明白教師所提出的“0.3和0.30是否相等”這一問題指向的是數(shù)的大小比較，與數(shù)量無關(guān)。
從上述課例中，我們還能夠發(fā)現(xiàn)另外一個涉及教師教學行為的問題。學生之所以會去牽扯小數(shù)的數(shù)量，一方面與教學從生活引入有關(guān)，另一方面與教師問話有關(guān)，“那現(xiàn)在相等嗎”讓學生誤以為教師說的是反話，從而想方設(shè)法證明0.3和0.30不相等。之所以會產(chǎn)生這樣的誤解，是因為在以往的教學中，限于時間，教師大多會直接擦去單位名稱直接揭示“0.3=0.30”，而不會多此一問，反之，如果教師突然多此一問，就會讓學生以為教師故此一問，是反話正說。由此可見，教師的“反常”會引起學生的懷疑，從而誤入歧途。當然，如果學生基礎(chǔ)扎實，不管教師怎樣說、怎樣問，都會意志堅定。
其實，教到“小數(shù)的性質(zhì)”這一步，學生的學習已經(jīng)多次經(jīng)歷了從生活到數(shù)學、從特殊到一般的過程，已具有了豐富的生活經(jīng)驗和數(shù)學經(jīng)驗。只要知識抽象得徹底，“小數(shù)的性質(zhì)”這一節(jié)課不妨換一種教學路線，采用從一般到特殊的思路來設(shè)計教學：課一開始，讓學生直接思考“0.3和0.30是否相等”這一數(shù)學問題，估計會有許多學生憑直覺會猜測0.3和0.30相等，教師就可以充分利用學生的這種想法甚至爭議，引導(dǎo)學生去自己尋找方法來證明自己的觀點或別人的觀點。此時，學生會主動遷移以前的相關(guān)經(jīng)驗，像上述課后訪談中的那些學生的想法一樣，或利用購物或測量的生活情境來尋找答案，或通過畫圖（不畫圖亦可）直接從這些小數(shù)所表示的分數(shù)意義上來說明問題，當然也可能有學生把0.3和0.30放入前一節(jié)課剛學的數(shù)位順序表中來解釋。而教師可以事先為學生提供米尺、方格紙、數(shù)位順序表等探索工具。
從數(shù)學回溯到生活，這樣“倒行逆施”的教法可以最大程度上避開生活對學生思考問題的負面影響。在這里，學生成功地運用了“關(guān)系映射反演”原則：給每個數(shù)加上一個單位，比如“米”，這樣就形成了“數(shù)”與“長度”的一一對應(yīng)關(guān)系，“長度”是“數(shù)”在這個映射下的像。利用生活經(jīng)驗和數(shù)學經(jīng)驗，得到了像之間的關(guān)系（0.3米=0.30米），然后利用“反演”得出這兩個像的原像之間的關(guān)系（0.3=0.30）。學生運用“關(guān)系映射反演”原則來解決問題，從一般到特殊，從而有效地避免了由生活經(jīng)驗（特殊）到數(shù)學知識（一般）所帶來的“意外”。
當然，為了使學生適應(yīng)這樣的思考問題、研究問題的方式，我們在教學五年級的“小數(shù)的再認識”時，就可以嘗試改變“小數(shù)的初步認識”時所遵循的“生活應(yīng)用數(shù)學發(fā)現(xiàn)”的一般教學程序，而采用“數(shù)學發(fā)現(xiàn)生活解釋”這樣逆向行駛：先讓學生根據(jù)已知的“一位小數(shù)表示十分之幾”猜想出“兩位小數(shù)表示百分之幾、三位小數(shù)表示千分之幾……”，然后讓學生回到購物和測量的生活情境中尋找依據(jù)，在此正好與教材例題實現(xiàn)對接。
這樣反其道而行之的教學思路，還有一個更大的好處是，可以有效地改變慣常和平常的教學方式，充分發(fā)揮學生的主體作用，真正讓學習變成學生自己的事。因為人的思維和人體的健康系統(tǒng)具有免疫自檢自適應(yīng)功能一樣，學生在尋找知識解釋方法、尋找知識解釋工具的過程中，會根據(jù)知識的意義進行自適應(yīng)的不斷嘗試和不斷調(diào)整，所以，教師不必擔心學生找不到知識的“家”。
綜上所述，生活并不總是對學生的學習產(chǎn)生“正能量”，它有時也會阻擾學生更深入的學習。經(jīng)驗是理解的基礎(chǔ)，提供了把未知的信息模塊連接到已有經(jīng)驗結(jié)構(gòu)中去的背景和方法，但有時也會產(chǎn)生誤導(dǎo)。希望我們的教師都能明白這一點，千萬不要不分階段、不分場合、不分對象都來“生活化”一下，如果一味這樣教學，就可能會弄巧成拙。
一、突出主體，先行自學
先學后教不是不教，而是教的目的和方式有別于先前，重在學前引導(dǎo)、學中輔導(dǎo)、學后督導(dǎo)。在“先學后教，當堂訓(xùn)練”的教學中，每一步都離不開教師。就如同汽車要上高速公路，若沒有引橋和匝道，就上不去；如司機駕車沒有路標，就可能走錯路。教師要當好“引橋”“路標”，發(fā)揮主導(dǎo)作用，這是學生學得好的前提。
1.巧設(shè)提綱，為先學導(dǎo)航
“先學后教”的“學”不是學生盲目的自學，應(yīng)是學生帶著教師布置的任務(wù)、有既定目標的自學。為了提升“先學”的質(zhì)量與效率，教師應(yīng)根據(jù)所教的內(nèi)容、學生實際情況及思維特點，抓住知識點、突出重點“靠船下篙”，精心設(shè)計每堂課的“導(dǎo)學提綱”，為學生的先行自學、思考、交流明確方向。如 《精打細算――小數(shù)除以整數(shù)》 （北師大版四下）一課，其目標為：結(jié)合具體情境，體會小數(shù)除法在日常生活中的應(yīng)用，進一步體會除法的意義；理解、掌握常見的基本數(shù)量關(guān)系；正確掌握小數(shù)除以整數(shù)的計算方法。由此，依據(jù)教學目標擬定如下導(dǎo)學提綱：
（1）要解決情境圖中的問題，為什么用除法列式？這兩道算式與以前學過的除法不同在哪里？由此，你想說些什么？
（2）你想怎樣算出“11.5÷5”？你是怎樣理解書上的兩個豎式的？
（3）你看懂了“12.96÷6”的計算過程嗎？遇到什么困難？除到哪一位出現(xiàn)了問題？你想怎樣解決？
（4）現(xiàn)在，你認為小數(shù)除以整數(shù)的一般計算方法是怎樣的？
教師通過提綱形式的導(dǎo)學，讓學生在先學即預(yù)習的時候有章可循，有法可依，思路明確。經(jīng)過這樣有目標、系統(tǒng)性的導(dǎo)學，學生對將要學習的新課內(nèi)容有了一定的了解，對方法有了初步的掌握，為之后課堂上師生、生生之間的互動交流、合作探究提供了智力支持，創(chuàng)造了良好的條件。
2.依據(jù)提綱，先行自學
“先學”，就是讓學生圍繞“導(dǎo)學提綱”結(jié)合具體的例子，通過獨立思考、相互討論、互為補充等方式，解讀數(shù)學文本，找出已知和未知，建立起新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系，還有哪些困惑和疑難，為有針對性地“后教”打下基礎(chǔ)。其流程如下：
匯報展示：檢查學生自學效果，明確教的內(nèi)容。
師：哪一組先來匯報？
生1：我們小組想?yún)R報第一個問題，即“為什么用除法列式”。我們的理由是：因為小數(shù)除法與整數(shù)除法的意義相同，所以用除法列式。這兩道算式與以前學過的除法不同的是它們的被除數(shù)都是小數(shù)。
師：還有其他意見嗎？
生2：我們小組有不同的意見！我們通過討論、交流發(fā)現(xiàn)：“11.5÷5、12.96÷6”，這里的11.5與12.96表示總價；5與6表示瓶數(shù)（即數(shù)量）；而11.5÷5、12.96÷6所得的商表示單價（即一瓶牛奶的價錢）。因為，單價（一瓶牛奶的價錢）=總價÷數(shù)量（瓶數(shù)），所以用除法計算。（這樣學生掌握應(yīng)用題結(jié)構(gòu)的基本數(shù)量關(guān)系是伴隨著對四則計算意義的理解和實際問題的“數(shù)學化”思考實現(xiàn)的。）
生3：我們小組匯報第二個問題。我們是把小數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)來計算，即11.5元=115角，115角÷5=23角，23角=2.3元。
生4：我是列豎式計算的，如下式，我是這樣想的：先用11除以5得2，2寫在個位1的頭上，再用1.5除以5得0.3，3寫在5的頭上。
師：大家還有什么意見嗎？
生5：××同學（生4），豎式的余數(shù)15可以點上小數(shù)點嗎？（該生說不清。）
生6：為什么商的小數(shù)點要與被除數(shù)的小數(shù)點對齊？
生4：這是規(guī)定的，因為小數(shù)加法中和的小數(shù)點要與加數(shù)的小數(shù)點對齊，所以，我認為商的小數(shù)點要與被除數(shù)的小數(shù)點對齊。（這是學生知識點的“盲區(qū)”，也是本課時教學的重點、難點。在學生們的相互交流中，為教師的后教找準了“切入”點。）
生7：我匯報第三個問題，即12.9÷6。（學生對照豎式說思考與困惑）當除到小數(shù)部分還有余數(shù)時，我不知道怎么辦，請大家?guī)椭摇?/p>
（在余數(shù)的后面補“0”繼續(xù)除是本節(jié)課的教學難點，即“后教”的重點）
……
這樣，學生結(jié)合具體的例子，圍繞“導(dǎo)學提綱”進行自學，對小數(shù)除以整數(shù)的意義、算理等有了一定的認識，然后集體交流、討論，學生循序漸進理解和掌握了知識，由淺入深的教學，教師教得輕松，學生學得扎實。
二、立足疑惑，靈動點撥
先學后教的“教”不是系統(tǒng)講授，而是靈動的“點撥”（即引在重點上，導(dǎo)在疑難處，點在困惑時），教師應(yīng)根據(jù)學生的自學情況進行點撥與引導(dǎo)，或規(guī)范其不準確的表達或解答其疑惑的問題，或糾正其錯誤的理解。如前所述：商的小數(shù)點為什么要與被除數(shù)的小數(shù)點對齊是本節(jié)課重點目標。當學生通過自主學習、小組合作交流，即經(jīng)過努力，依然對小數(shù)除法算理的理解有障礙時，教師就應(yīng)該轉(zhuǎn)變角色，做到“該出手時就出手”，參與到學生的討論之中。比如，可以通過“元角分”和小數(shù)意義等知識的提示，引導(dǎo)學生步步深入，由表及里，去認識知識（即小數(shù)除以整數(shù)的計算法則）的本質(zhì)。
具體可從以下方面適時引領(lǐng)：
（1）在直觀對比中感知。如，先引導(dǎo)學生把11.5元轉(zhuǎn)化成115角再除，如左下豎式。再把所得的商23角及被除數(shù)115角化成以元為單位，如右下豎式。讓學生初步直觀感知“商的小數(shù)點與被除數(shù)的小數(shù)點對齊”這一原理。
（2）在數(shù)的組成中提升。學生就“商的小數(shù)點為什么要與被除數(shù)的小數(shù)點對齊”有了初步的感知后，可結(jié)合數(shù)的組成（即小數(shù)的意義）相關(guān)知識，引導(dǎo)學生對著豎式，說說計算思路。如先用整數(shù)部分的11除以5，得到商2，余數(shù)是1；再把小數(shù)部分的5落下來，和余數(shù)1合成1.5，這里的1.5表示15個0.1（或15個 ），15個0.1除以5，得到3個0.1，所以要把3寫在十分位上，因此，11.5除以5得數(shù)是2.3。這樣，通過教師適時、恰到好處地點撥引導(dǎo)，以及生生間的互為補充，我認為學生對小數(shù)除法的計算思路（即算理）會慢慢清晰起來。
再如，生7在計算12.9÷6時，除到小數(shù)部分還有余數(shù)，不知如何解決，需尋求幫助。此時，應(yīng)發(fā)揮集體智慧，解決問題。如：
師：誰來幫助解決該問題？
生8：我們可以幫助他們，除到小數(shù)部分還有余數(shù)的時候，可以在余數(shù)的末尾補“0”，然后繼續(xù)除。因為小數(shù)的末尾添上“0”或去掉“0”，小數(shù)的大小不變。但我們的困惑是“3”是什么意思，而在“3”后補一個“0”變?yōu)?0，那“30”又是何意呢？
在余數(shù)的后面補“0”繼續(xù)除是本節(jié)課的教學難點。當學生在知識難點處深感困惑時，教師應(yīng)發(fā)揮主導(dǎo)作用。如：
師：同學們，這里的9是9個0.1，除以6得1個0.1，還余下3個0.1，不夠6除，所以在“3”的后面添“0”，為“30”，30表示30個0.01，除以6得5個0.01（如右式）……
歸納小結(jié)：
師：你有什么收獲？現(xiàn)在，你認為小數(shù)除以整數(shù)的一般計算方法是怎樣的？
生1：通過本節(jié)課的學習，我知道了小數(shù)除法與整數(shù)除法的意義相同。
生2：商的小數(shù)點要與被除數(shù)的小數(shù)點對齊，從高位除起。
生3：當小數(shù)部分有余數(shù)時，可以在余數(shù)的末尾補“0”，然后繼續(xù)除。
在學生交流、討論的基礎(chǔ)上總結(jié)出除法的計算法則：除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法，按照整數(shù)除法的法則去除，商的小數(shù)點要和被除數(shù)的小數(shù)點對齊；如果除到被除數(shù)的末尾仍有余數(shù)，就在余數(shù)后面添“0”再繼續(xù)除。
三、巧設(shè)練習，當堂訓(xùn)練――提升能力
學生的數(shù)學能力不僅在于他們掌握數(shù)學知識的多少，而是看他們能否把所學的數(shù)學知識、思維方式遷移到實際問題中去，形成學習新知識的能力。而練習是學生掌握知識、形成技能、發(fā)展智力的重要手段。因此，教師在精心設(shè)計例題教學的同時，應(yīng)該精心設(shè)計練習、充分運用練習達到教學目標。如，本課時在完成新知學習后，可設(shè)計以下練習：
1.在下面豎式上點上商的小數(shù)點（想想有什么竅門）
2.練習套餐
請根據(jù)自己的實際選擇其中一組或幾組計算。比比看，誰算得又快又對。
（1）計算比拼：
93.2÷4= 75.15÷5= 25÷4=
（2）解決問題：
①6個蘋果1.26千克，平均每個蘋果多少千克？
②小紅買6個蘋果共花去3.12元，平均每個蘋果多少元？
（3）計算接力（拓展題）：
35.2÷11= 7.79÷95=
練后反饋：
師：大家都做得差不多吧？下面我們一起校對一下。誰愿意把自己的作業(yè)拿到前面展示一下？同桌交換批改。
師：校對完后，看看自己的練習情況，你覺得哪幾道題還存在疑問，在題號前面打上“√”，待會兒我們一起研究。
師：老師收集了大家的錯例，主要集中在下面幾道題目上（挑選其中典型錯誤進行展示）。誰來說說這道題怎樣做？需要注意什么？（采用“生教生”的方式進行）
【片斷1】
師：（屏幕出示）這是生活中一些物品的單價。誰愿意讀給大家聽？
1.一支鋼筆9元；
2.一根橡皮筋0.06元；
3.一個乒乓球0.8元；
4.一本筆記本2.35元。
師：這節(jié)課，我們就圍繞這幾條信息，展開研究。繼續(xù)看屏幕。
（在相應(yīng)的條件后出示問題）
買10支鋼筆要多少元？
買7根橡皮筋要多少元？
買3個乒乓球要多少元？
師：這3個問題你能獨立解決嗎？列式計算，不寫答話，寫在作業(yè)紙上。
師：如果不會計算，也沒關(guān)系，把算式列出來就行了。
剖析：計算教學不僅是為了計算而計算，而是要與解決實際問題相結(jié)合，所以這里出示了一組與購物情境有關(guān)的條件和問題，既要求學生說出相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系式，又要求學生根據(jù)乘法的意義說出用乘法計算的理由。讓學生說出列式理由，還因為這節(jié)課是小數(shù)乘法的第一課時，學生面對實際問題，雖然能把整數(shù)乘法的意義遷移到小數(shù)乘法中來，列出乘法算式，但對于他們來說，乘法的使用范圍畢竟擴大了，因此在學生說出列式依據(jù)后，教師明確指出：過去我們求幾個相同整數(shù)的和，用乘法計算比較簡便，現(xiàn)在求幾個相同小數(shù)的和，仍然可以用乘法計算，而且比較簡便。這樣，既關(guān)注了數(shù)學知識的嚴謹性，使學生對乘法意義的認識更加完善，又使接下去的算法探討有了依據(jù)。
【片斷2】
師：0.8×3=2.4（元），這里的2.4元是怎樣算出來的？同桌互相說說看。全班交流，屏幕相機出示。
生1：0.8元=8角，8×3=24（角），24角=2.4元。
師：這是從元角分的單位上理解的。
生2：8（個0.1）×3=24（個0.1），24個0.1是2.4。
師：這是從小數(shù)計數(shù)單位上理解的。
生3：0.8的小數(shù)點不看，用8×3=24，再點小數(shù)點是2.4。
（因為教師備課時沒有預(yù)設(shè)到這種情況，怕耽誤上課時間，更加擔心如果他已經(jīng)知道小數(shù)和整數(shù)相乘的算法，并把算法講出來，教師沒法進行后續(xù)教學，所以在課堂上沒敢追問，而是遲疑片刻后替學生做出了解答）
師：哦，其實你就是把0.8看成了8個0.1。
（課后，我問這位學生是怎樣想的，果不出預(yù)料，他說家長已經(jīng)提前教過他，小數(shù)乘整數(shù)時，就看做整數(shù)乘整數(shù)，再看因數(shù)是幾位小數(shù)，積就是幾位小數(shù)）
生4：0.8＋0.8＋0.8=2.4（元）。
師：這是轉(zhuǎn)化為以前學過的小數(shù)加法來計算。十分位上8×3=24，寫4進2。
師：這里的0.42元又是怎樣算出來的？
師：剛才交流算法的過程中，我們發(fā)現(xiàn)，在計算0.8×3時都用到了8×3，在計算0.06×7時都用到了6×7，也就是說在計算小數(shù)和整數(shù)相乘的時候，都是把它先看做――整數(shù)乘整數(shù)。
板書：先按整數(shù)乘。
剖析：將學生已有的知識基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗與當下的學習內(nèi)容緊密結(jié)合，讓學生在獨立思考、自主探索和合作交流中學會思考、學會學習，這是活力課堂的原點。計算0.8×3等于多少時，不是告訴學生怎樣算，而是鼓勵學生調(diào)動已有的知識經(jīng)驗，運用不同的方法得出結(jié)果，并讓學生體會到數(shù)學知識間的內(nèi)在聯(lián)系，同時滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。
【思考】
葉瀾教授指出：一節(jié)充滿生命活力的課具有四個特點：有意義，有效率，有生成，有遺憾。我想就從這四個方面來思考上述幾個教學片斷。
一、過有意義的數(shù)學生活
“有意義”主要有三層含義：一是學生必須在課堂教學中學到知識，提高能力，陶冶情感，即學有所得；二是學生在學習過程中必須要產(chǎn)生積極的、愉悅的情感體驗，即學有所樂；三是學生在這樣的課堂中不斷被激發(fā)出進一步學習的強烈需求，而且越來越主動地投入到學習中去，即學有所求。當“為什么都用乘法計算？”“0.8×3=2.4（元），這里的2.4元是怎樣算出來的？”等富有挑戰(zhàn)性的問題呈現(xiàn)在每個學生面前時，學生解決問題的欲望會油然而生。在問題解決任務(wù)的驅(qū)動下，學生學習的內(nèi)在需要得到激發(fā)，他們會自然而然地主動投入到解決問題的過程中去。每個學生積極主動的參與為師生積極有效的互動提供了思維涌動的源動力。
二、過有效率的數(shù)學生活
有效率就是說在課堂教學中能使學生在知識與技能，過程與方法，情感、態(tài)度、價值觀等方面有所提高。學生的生活背景、學習基礎(chǔ)、個性差異等迥然不同，因此有效率的課堂不要求每個學生都能達到統(tǒng)一的標準，但必須使每一位學生都有不同程度的提高。本教學設(shè)計讓學生解釋“為什么都用乘法計算？”用已有的知識解決新的問題“0.8×3”的積是多少，并指出“如果不會計算，也沒關(guān)系，把算式列出來就行了”等，體現(xiàn)了尊重兒童的差異，遵循兒童的認知規(guī)律，突出了“自主”“開放”的課堂價值取向。
三、過有生成的數(shù)學生活
有生成就是要求我們在課堂教學中強調(diào)動態(tài)生成，但是并不忽視有效預(yù)設(shè)的重要性。相反，動態(tài)生成的課堂更需要教師課前的有效預(yù)設(shè)。只是課前的有效預(yù)設(shè)不能成為課堂教學的全部，不能成為束縛學生動態(tài)生成的枷鎖。本教學設(shè)計教師為了形成師生積極有效高質(zhì)量的互動，促進課堂教學的動態(tài)生成，有意識地從原來封閉的控制式的教學向開放的教學轉(zhuǎn)化。
四、過有遺憾的數(shù)學生活
當然，真實的教學不是盡善盡美的，是存在不足的。關(guān)鍵是課后，能否像圍棋運動員那樣“賽后復(fù)盤”，回顧課堂中的每一個環(huán)節(jié)，想想怎樣處理更合適。
關(guān)鍵詞：計數(shù)；抽象；對應(yīng)；自然數(shù)；分數(shù)
數(shù)是什么？瀏覽中小學數(shù)學教材，對數(shù)的認識不斷深入，數(shù)代表的意義越來越抽象化，數(shù)域慢慢擴大。下面，按照中小學對數(shù)認識的順序來談?wù)勚行W數(shù)學中學了哪些數(shù)，這些數(shù)表示的意義是什么？為什么這樣表示？
一、自然數(shù)
自然數(shù)是對自然界中的實物進行抽象對應(yīng)的符號，而抽象對應(yīng)的方法又在不斷的改進中，所以要深層次理解數(shù)的意義，必須要了解數(shù)產(chǎn)生的歷史和計數(shù)原理。
遠古時代，為了記錄勞動成果，人們發(fā)明了石子計數(shù)、結(jié)繩計數(shù)、刻痕計數(shù)。以一群羊為例，一頭羊?qū)?yīng)一個石子，繩結(jié)或刻痕。一頭羊有眾多的屬性，羊角的形狀，羊毛的長短等，這樣計數(shù)，依據(jù)的是羊的什么屬性呢？（1）羊的獨立性，每一只羊是獨立的。（2）羊的整體性，以一整只羊為一個單位。（3）計數(shù)的群體具有相同的屬性。計數(shù)的方法是一對一的抽象對應(yīng)。
人類在不斷發(fā)展，需要記錄的數(shù)越來越大，于是增大了計數(shù)單位，以一個大的石子代表十只羊或者更多，盡管這樣，原始的計數(shù)方法還是有很多不足之處，人們就發(fā)明了一些文字符號，如阿拉伯數(shù)字并且沿用至今。
對比古代計數(shù)方法和阿拉伯數(shù)字，所依據(jù)的羊的屬性相同，其計數(shù)的對應(yīng)方法不同。古代計數(shù)方法是每一只羊?qū)?yīng)一個相同的計數(shù)符號，加大了計數(shù)單位后，對于大的數(shù)還是需要繁多的計數(shù)符號；阿拉伯數(shù)字中，一只羊?qū)?yīng)數(shù)字“1”，兩只羊?qū)?yīng)數(shù)字“2”，以此類推，阿拉伯數(shù)字用不同的簡化符號來對應(yīng)不同的羊。這樣就大大簡化了計數(shù)的文字符號，阿拉伯數(shù)字的位值法，增大了計數(shù)單位，能表示很大的數(shù)，又便于理解和記錄。
阿拉伯數(shù)字對應(yīng)的事物滿足獨立性、整體性（單個事物的整體性作為最基本的計數(shù)符號，多個事物又可以看做新的整體對應(yīng)一個計數(shù)符號）和相同屬性。例如，一片果林的蘋果，一個學校的學生，一個人體內(nèi)的某細胞……這些事物，我們都可以用一些抽象符號來與之對應(yīng)。
數(shù)的發(fā)展初期就是對這些自然界中實際存在的事物進行抽象對應(yīng)的符號，所以這些數(shù)被人們稱作自然數(shù)。
后來人們用“0”來對應(yīng)沒有任何事物的情況，并把它歸納為自然數(shù)。具體代表沒有什么事物，要依據(jù)所研究的對象了，“0”作為一種最特殊的狀況，在實際研究過程中，都會作為一個特例拿出來單獨討論。
二、分數(shù)
自然數(shù)和分數(shù)的本質(zhì)區(qū)別在于，自然數(shù)與分數(shù)分別體現(xiàn)事物的整體與均分的思想。均分也要選擇一定的整體作為基礎(chǔ)，以一堆西瓜為例，首先它滿足自然數(shù)計數(shù)的三點：獨立性、整體性、相同屬性，因此，它可以計作“0，1，2，3，4…”，那么，被分成塊的西瓜用什么符號來表示呢？于是人們發(fā)明了分數(shù)。
把西瓜分成八份，取一份對應(yīng)符號“1/8”（此分數(shù)的計數(shù)單位），取兩份對應(yīng)符號“2/8”，以此類推，取八份對應(yīng)符號“8/8”，以自然數(shù)計數(shù)也可對應(yīng)“1”。
對于這類均分的事物，就可以用分數(shù)來對應(yīng)，分數(shù)就是這些事物對應(yīng)的抽象符號。這些事物同樣滿足獨立性、整體性、相同屬性。
小數(shù)作為一種特殊的分數(shù)，其計數(shù)單位為：“1/10，1/100，1/1000……”為什么有了分數(shù)，還要發(fā)明小數(shù)呢？在計算和解決一些實際數(shù)學問題過程中，分數(shù)有諸多不便的地方：（1）有些事物不能清楚地知道被均分成了多少份而取了幾份。（2）分數(shù)單位不統(tǒng)一帶來的不便。因此發(fā)明了小數(shù)，小數(shù)作為分數(shù)的近似，不必像分數(shù)這樣精確，而小數(shù)又統(tǒng)一了計數(shù)單位。小數(shù)沿用了整數(shù)的位值法，在任意一個整數(shù)中，任意選中一個數(shù)字，左邊一位數(shù)的計數(shù)單位是當前這位數(shù)的10倍，所以個位的計數(shù)單位為“1”，第一位小數(shù)上的數(shù)字的計數(shù)單位為“1/10”，因此稱作“十分位”，以此類推。
三、負數(shù)
生活中會有這樣一些量，收入和支出，升高的量和降低的量，增加的量和減少的量……以收入和支出為例，收入5元，支出5元，但是這兩個5代表的意義不同，所以單單一個數(shù)字“5”是不能表達他們的不同的，要在前面加上一些描述性語言來區(qū)分，即收入和支出，這些語言也是一些抽象的符號，不過沒有數(shù)學符號簡潔。
于是人們用“+”和“-”來表示這種具有相反意義的關(guān)系，這樣數(shù)字前面加上正負號表示了更多的抽象意義。
引入負數(shù)以后，數(shù)字所抽象對應(yīng)的事物就從自然界的實物拓寬到一些事件，以及人類自定義的一些抽象概念。例如：海拔高度，海平面零米是人為規(guī)定的臨界點，高出和低于海平面高度的數(shù)字前面分別加上“+”于“-”，正號可省略。要用負數(shù)來抽象對應(yīng)事物，必須要注意：（1）臨界點是什么？即“0”表示什么。（2）相反意義的量是什么？（3）確定數(shù)值。
四、有理數(shù)
把自然數(shù)向負數(shù)擴充，正整數(shù)、零、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)；正分數(shù)、負分數(shù)統(tǒng)稱為分數(shù)；整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。整數(shù)、分數(shù)、正數(shù)、負數(shù)都可以顧名思義，而有理數(shù)卻讓我費解了，更有道理的數(shù)？
有理數(shù)是對“Rational number”的直譯。這詞源自古希臘，詞根為“ratio”，比率的意思。不難理解，有理數(shù)表示的是能化成比率的數(shù)。分數(shù)自然能看作一個比例，整數(shù)又能化成分數(shù)，因此，所有的有理數(shù)都能化成比例。有理數(shù)的意義在前面已經(jīng)說明，就不在此累述。
五、無理數(shù)
在研究一些開方數(shù)和圓周率時，人們發(fā)現(xiàn)一些不能表示成比例的數(shù)，對比有理數(shù)，就稱這些數(shù)為無理數(shù)。無理數(shù)可分為正無理數(shù)、負無理數(shù)，所有的無理數(shù)可化為無限不循環(huán)小數(shù)。無理數(shù)的意義可以類比有理數(shù)得到。
六、復(fù)數(shù)
復(fù)數(shù)是指能寫成如下形式的數(shù)a+bi，這里a和b是實數(shù)，i是虛數(shù)單位（即-1開根）。其代表的意義在中小學階段不作要求，就不作說明。
參考文獻：
關(guān)鍵詞：1奇數(shù) ， 2偶數(shù)， 3對立性， 4 同一性 ， 5哲理整小數(shù)， 6 哲理整性質(zhì)，7對立統(tǒng)一，8派生子集合， 9為什么1+1=2？等等
1、奇數(shù)與偶數(shù)的對立性和同一性（理性地認識奇數(shù)與偶數(shù)這對擁有哲學和數(shù)學意義的矛盾）：
如果從自然辯證法（現(xiàn)代哲學）、數(shù)學角度出發(fā)去認識奇數(shù)與偶數(shù)這一對矛盾，偶數(shù)能被2整除、奇數(shù)不能被2整除的傳統(tǒng)理論，只談了差異、排斥與對立的一面，換言之，僅僅涉及到了奇數(shù)與偶數(shù)（矛盾）的對立性，沒有涉及到奇數(shù)與偶數(shù)（矛盾）的同一性與差異中的共性，很顯然是非完整的理性認識、帶有片面性，…，如果奇數(shù)與偶數(shù)是一對帶有數(shù)學意義的哲學矛盾，則這一矛盾的兩個方面不僅具有對立性與不同性、而且還存在著同一性與差異中的共性，如果存在著差異中的共性與同一性，必須探索尋求科學依據(jù)，不能憑空而論，自然辯證法（現(xiàn)代哲學）和辯證數(shù)值邏輯共同發(fā)現(xiàn)：在數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中，派生子集合，即小數(shù)0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……，…的絕對值比其他普通小數(shù)的絕對值整裝（不要被它小數(shù)性質(zhì)的現(xiàn)象、假象所迷惑），因而從系統(tǒng)的發(fā)展變化的過程中差別、產(chǎn)生分化出來、占據(jù)整數(shù)的位置（即派生子集合），充當“整數(shù)”，體現(xiàn)其哲理整性質(zhì)，為奇數(shù)能被2哲理整除提供科學依據(jù)，為奇數(shù)與偶數(shù)這一對哲學矛盾提供同一性的科學依據(jù)，因此，自然辯證法（現(xiàn)代哲學）為怎樣正確回答為什么1+1=2？這一數(shù)學真理開辟了前進道路、指明了前進方向，所以，偶數(shù)能被2整除，奇數(shù)不能被2整除確著實能被2哲理整除，不僅存在著對立性，尤其存在著共性與同一性，即異中之同、差異中的共性，換言之，奇數(shù)與偶數(shù)存在著同一性、存在著相反相成對立統(tǒng)一的辯證關(guān)系，奇數(shù)與偶數(shù)不僅是擁有數(shù)學意義的矛盾，更是一對擁有哲學內(nèi)涵的矛盾，那么當然需要辯證認識與辯證推理，當然更需要自然辯證法（現(xiàn)代哲學）的指導(dǎo)與哲學專家的鼎力支持，…。
2、哲理整小數(shù)及其哲理整性質(zhì)：
我們將小數(shù)0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，……，…以及它們的哲理整性質(zhì)統(tǒng)稱為哲理整小數(shù)，…。
何為哲理整性質(zhì)？：即其他普通小數(shù)的絕對值比哲理整小數(shù)的絕對值更零散，換言之，哲理整小數(shù)的絕對值比其他普通小數(shù)的絕對值“整裝”，這一相比較而言而得到的“整裝”性質(zhì)與整數(shù)的整裝性質(zhì)構(gòu)成異中之同、差異中的共性，我們將這一差異中的共性與同一性稱之為哲理整性質(zhì)，盡管二者是相對而言的，然而亦是一個客觀存在，它為奇數(shù)能被2哲理整除提供了客觀上的科學依據(jù)，這是自然辯證法的重大發(fā)現(xiàn)和自然辯證法的重大勝利！這是世界觀的認識問題，很顯然，哲理整小數(shù)具有相互矛盾的雙重性質(zhì)：其一是哲理整性質(zhì)、其二是普通小數(shù)的性質(zhì)，惟獨哲理整小數(shù)擁有哲理整性質(zhì)，其他普通小數(shù)并不具備哲理整性質(zhì)，特此說明，…。
3、哲理整小數(shù)的哲學與數(shù)學意義：
哲理整小數(shù)的哲學與數(shù)學意義：它揭示著奇數(shù)與偶數(shù)相反相成對立統(tǒng)一，為奇數(shù)與偶數(shù)提供同一性，為奇數(shù)能被2 哲理整除、為數(shù)學真理為什么1+1=2？提供科學依據(jù)，奇數(shù)與偶數(shù)是一對既屬于哲學范疇又屬于數(shù)學范疇的綜合矛盾，整數(shù)與哲理整小數(shù)為偶數(shù)能被2整除、為奇數(shù)能被2哲理整除提供完整科學依據(jù)，單純的數(shù)學角度去認識似乎無法正確理解與接受，相反相成，老子先生早在兩千多年前就提出來了，即相反的事物擁有同一性，奇數(shù)與偶數(shù)這對哲學矛盾也不例外，哲理整小數(shù)的哲學與數(shù)學意義主要是為奇數(shù)能被2哲理整除、為奇數(shù)與偶數(shù)相反相成對立統(tǒng)一提供科學依據(jù)，即為奇數(shù)與偶數(shù)提供了哲學意義的同一性，自然辯證法（現(xiàn)代哲學）為完整數(shù)學真理指明了前進方向！這是自然辯證法（現(xiàn)代哲學）的重大勝利！
4、哲理整小數(shù)擁有哲理整性質(zhì)的科學依據(jù)和其來源：
很顯然，哲理整小數(shù)具有相互矛盾的雙重性質(zhì)：其一是哲理整性質(zhì)、其二是普通小數(shù)的性質(zhì)，分數(shù)有分數(shù)單位，1/2是最大的分數(shù)單位，那么則0.5是最大的小數(shù)單位，最大的小數(shù)單位“0.5”以及辯證數(shù)值邏輯中派生子集合為哲理整小數(shù)具有哲理整性質(zhì)提供科學依據(jù)，因而，偶數(shù)能被2整除、奇數(shù)不能被2整除，如果將其極端絕對化了排斥掉了奇數(shù)與偶數(shù)二者的同一性，即如果排斥掉了奇數(shù)能被2哲理整除的性質(zhì)，就要阻礙完整數(shù)學真理向前發(fā)展與突破，導(dǎo)致不可思議，千百年來數(shù)學基礎(chǔ)數(shù)值邏輯自身的發(fā)展史充分地證明了這一點，偶數(shù)能被2整除，奇數(shù)不能被2整除的傳統(tǒng)理論沒有回答為什么1+1=2？，這是因為奇數(shù)不能被2整除，理論上無法直接承認、接受2是數(shù)學公理；這也是算術(shù)（經(jīng)典數(shù)論）的一大遺憾，盡管高深的數(shù)理邏輯具有無窮無盡的力量與作用，由于它不能完全徹底取代數(shù)值邏輯的巨大意義與作用，因此偶數(shù)能被2整除，奇數(shù)不能被2整除的傳統(tǒng)理論只把完整的數(shù)學真理認識了一半（僅僅涉及到了矛盾的對立性），另一半，即同一性，奇數(shù)能被2哲理整除亦很重要與必要，…。
5、奇數(shù)與偶數(shù)存在著對立性與同一性的辯證關(guān)系以及蘊含著深刻哲學意義的數(shù)學真理為什么1+1=2？：
本文將奇數(shù)與偶數(shù)這一對具有數(shù)學內(nèi)涵下的哲學矛盾簡單的歸納為：偶數(shù)能被2整除，奇數(shù)不能被2整除確著實能被2哲理整除，奇數(shù)與偶數(shù)不僅存在著對立性，而且還存在著共性和同一性，即異中之同，差異中的共性，偶數(shù)能被2整除、奇數(shù)能被2哲理整除就是異中之同，差異中的共性與同一性(偶數(shù)能被2整除、奇數(shù)不能被2整除就是指二者差異、排斥與對立性)，因此說，奇數(shù)與偶數(shù)（整數(shù)與哲理整小數(shù)）二者存在著相反相成、對立統(tǒng)一的辯證關(guān)系，它揭示著2是數(shù)學公理系統(tǒng)的首要公理，自然辯證法、數(shù)學二位一體，辯證統(tǒng)一，這是世界觀的認識問題，有什么樣的世界觀就有什么樣的認識論、方法論，為什么1+1=2？我們的回答既簡單又深刻：偶數(shù)能被2整除，奇數(shù)不能被2整除確著實能被2哲理整除，奇數(shù)與偶數(shù)相反相成對立統(tǒng)一、擁有對立性與同一性，2是數(shù)學首要公理，是啊！它真的既簡單又深刻，它簡單的表面上看似是小學生的基本知識，但它深刻地不可思議、不可理喻、難以理解與接受，世上有那么多的為什么，為什么迄今為止還沒有數(shù)學真理為什么1+1=2？出籠？是它客觀上根本不存在還是我們地球人類沒有對它形成理性認識？本文對此進行了探索性地回答，不妥之處敬請諒解，…。
參考文獻
1、《辯證唯物主義和歷史唯物主義原理》，中國人民大學出版社出版。
2、《哲學名詞解釋》，人民出版社出版。
3、《古今數(shù)學思想》（北京大學數(shù)學系數(shù)學史翻譯組譯）上海科學技術(shù)出版社出版，1981年7月。原作者：（美國）M.克萊因 著
數(shù)學概念是反映數(shù)學對象的本質(zhì)屬性和特征的思維形式。小學數(shù)學中反映數(shù)和形本質(zhì)屬性的數(shù)字、圖形、符號、名詞術(shù)語和定義、法則等都是數(shù)學概念。概念教學是數(shù)學教學的一個重要組成部分，它具有極強的基礎(chǔ)性，概念教學的效果如何將直接影響學生對數(shù)學知識的理解和掌握，關(guān)系到學生解題能力的培養(yǎng)與提高。因此,教師指導(dǎo)學生學習概念時，就要根據(jù)不同概念的不同特征，遵循兒童的認識規(guī)律和認知特點，采取適當?shù)姆椒ǎ锤兄⑿纬伞㈧柟毯瓦\用四個階段進行教學。
一、發(fā)現(xiàn)概念 領(lǐng)悟概念
小學生的認知特征是從具體逐漸過渡到抽象。進行概念教學時,教師應(yīng)盡可能將數(shù)學知識與學生在日常生活的、熟悉的、具體的材料相聯(lián)系，這樣就有利于抽象的數(shù)學概念具體化、形象化，便于學生的理解,同時也能激發(fā)學生的思維和探索新知的欲望。例如學習“百分數(shù)的意義”時，教師出示一組在日常生活中經(jīng)常見的數(shù)據(jù)：有一商場的衣服降價10%；六⑶班同學的體育合格率達98%；今年城鎮(zhèn)人口人均收入比去年增長12.5%……讓學生初步感知什么樣的數(shù)是百分數(shù)。學生根據(jù)上述的材料會提出一系列的問題：百分數(shù)的意義是什么？有什么作用？怎樣讀？怎樣寫？百分數(shù)與分數(shù)有什么不同……有了這樣的開始，再來學習“百分數(shù)”的概念就顯得輕松自然了。再如:開始學習“角”，教師憑借常見的直觀實物（五角星、三角板等），幫助學生理解“角”的意義。
對于發(fā)展性概念，一般采用課前預(yù)習、課堂復(fù)習的方式，讓學生在已有知識和智力能力的基礎(chǔ)上，通過已有的概念去認識新的概念，使新概念在已有的概念中深化，產(chǎn)生新的知識，即在舊概念的基礎(chǔ)上引入新概念。如，講“比的化簡”時為了講清“最簡單的整數(shù)比”這一概念，可以引導(dǎo)學生回憶運用分數(shù)的基本性質(zhì)約分的道理，復(fù)習“最簡分數(shù)”的概念，這樣，學生很快理解了“最簡單的整數(shù)比”就是“比的前項和后項是互質(zhì)數(shù)的比”。再進一步指出化簡比的方法與約分方法相同，但要注意如果比的前項和后項有小數(shù)或分數(shù)，必須轉(zhuǎn)化成整數(shù)比再化簡。這樣，學生在學習中，就能找出新概念與已有的相關(guān)概念的聯(lián)系與區(qū)別，實現(xiàn)知識的遷移，同時也鞏固了舊知識。
二、探究概念、形成概念
當學生感知概念后，為了讓學生準確把握概念，必須通過比較、分析、綜合、概括等思維活動和學習手段，來剔除知識的非本質(zhì)屬性，抽取其基本屬性，認真分析概念的內(nèi)涵和外延，并找準概念中的重點難點給學生講解，幫助學生構(gòu)建自己正確、清晰的知識框架。如揭示倒數(shù)概念時，應(yīng)重點強調(diào)“乘積為1”、“互為”兩個重點，讓學生明白兩個數(shù)互為倒數(shù)是表示兩個數(shù)的關(guān)系，一個數(shù)是不能稱為倒數(shù)的。再如,什么叫循環(huán)小數(shù)？課本是這樣定義的:“一個數(shù)的小數(shù)部分,從某一位起，一個數(shù)字或者幾個數(shù)字依次不斷重復(fù)出現(xiàn)，這樣的數(shù)叫循環(huán)小數(shù)。”這里要抓住兩點，①前提是一個數(shù)的小數(shù)部分，與整數(shù)部分沒關(guān)系，②屬性是一個數(shù)字或幾個數(shù)字重復(fù)出現(xiàn)，且是依次不斷的。明確了這兩點就能迅速的判斷出某些數(shù)字是不是循環(huán)小數(shù)，如7777.777、7.32132、2.2020020002……這樣的小數(shù)都不具備循環(huán)小數(shù)的本質(zhì)屬性，所以都不是循環(huán)小數(shù)。而0.324324……、0.146262……具備了循環(huán)小數(shù)的本質(zhì)屬性,它們都是循環(huán)小數(shù)。
在小學階段的數(shù)學概念教學中，可采用直觀引進教學，因勢利導(dǎo)，通過觀察和語言描述提供感性材料，抽象出事物的本質(zhì)屬性；可通過分析比較概念的關(guān)系或幾何圖形的位置、形狀等變化，突出概念的內(nèi)涵和外延；可充分感知，形成正確表象，給概念下定義。
數(shù)學中的一些概念是相互聯(lián)系的,既有相同點,又有不同之處。劃清了異同界線,才能建立明確的概念。而對這類概念,應(yīng)用對比的方法找出它們之間的聯(lián)系、區(qū)別，使學生更加準確地理解和牢固記憶學過的概念。如教學“質(zhì)數(shù)和合數(shù)”時，先給出一些自然數(shù)，讓學生分別找出這些數(shù)的所有因數(shù)，再比較每個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)；然后根據(jù)因數(shù)的個數(shù)把這些數(shù)進行分類，①只有一個因數(shù)的，②只有1和它本身兩個因數(shù)的，③除了1和它本身，還有別的因數(shù)的，即因數(shù)有三個或三個以上的；最后引導(dǎo)學生根據(jù)三類數(shù)的不同特點，總結(jié)出“質(zhì)數(shù)”和“合數(shù)”的定義。
在數(shù)學概念教學中，如果能夠把握概念的內(nèi)涵，把握概念教學的層次，把握概念之間的聯(lián)系和區(qū)別，突出每一個概念的重點難點，使學生不僅了解這個概念是如何表述的，而且了解描述這個概念的條件是什么，結(jié)論是什么，那么，必然能提高學生的認識水平和掌握概念的能力。
三、強化概念 鞏固概念
在學生理解和形成概念基礎(chǔ)上，讓學生在不同題型、不同方式的訓(xùn)練中，深化對概念的理解。引導(dǎo)學生研究、討論，積極思維，才能使學生深刻理解概念的內(nèi)涵，抓住本質(zhì)屬性，從而使學生正確地、全面地理解概念，并在理解的基礎(chǔ)上記憶、鞏固概念，這樣學生所學到的結(jié)論就不單純是文字的結(jié)論，而是對概念全面的理解和掌握。比如，在“分數(shù)的意義”教學時，當學生形成概念后，對分數(shù)意義理解應(yīng)有三次飛躍。第一次是大量感性直觀的認識，結(jié)合具體事物描述分數(shù)是一個什么樣的數(shù)，理解分數(shù)是平均分得到的，理解誰是誰的幾分之幾；第二次飛躍是由具體到抽象，把單位“1”平均分成若干份、1份或幾份……從具體事物中抽象出來，然后概括出分數(shù)的定義，這是感性的飛躍；第三次飛躍是對單位“1”的理解與擴展，單位“1”不僅可以表示一個物體、一個圖形、一個計量單位，還可以是一個群體等，最后抽象出：分誰，誰就是單位“1”，這樣單位“1”與自然數(shù)的“1”的區(qū)別就更加明確了。這樣的三個層次不是一蹴而就的，要展現(xiàn)出知識的發(fā)展過程，引導(dǎo)學生在知識的發(fā)展中去理解分數(shù)，這個過程不是一個結(jié)論所能代替的。再如學習了“比的意義”后，可根據(jù)比與除法、分數(shù)之間關(guān)系設(shè)計練習，從中明確“除法是一種運算，分數(shù)是一個數(shù)，比是表示兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系。”
四、運用概念、發(fā)展概念
策略一：創(chuàng)設(shè)復(fù)習情境，集中呈現(xiàn)知識，梳理知識網(wǎng)絡(luò)
一般來說，復(fù)習課在設(shè)計時，都假定基本的概念、法則、性質(zhì)、定律已是學生熟知的知識，但是這些知識在學生頭腦中是分散的、無序的，因此，需要再現(xiàn)這些知識，并梳理、儲存這些知識結(jié)構(gòu)。
1.設(shè)計有效情境，集中呈現(xiàn)基礎(chǔ)知識
畢業(yè)班數(shù)學單元復(fù)習的內(nèi)容多，而且是學生已經(jīng)學習過的內(nèi)容，因此，對基礎(chǔ)知識的呈現(xiàn)就不能像新授課那樣依次切入，也不必過分關(guān)注知識呈現(xiàn)的有序性和邏輯性，而往往采用某種綜合情境或數(shù)學題組的形式集中呈現(xiàn)各種有關(guān)的基本知識，對這些知識的來龍去脈也并非都是一一分析，大多是在學生相互交流中回憶、完善。
2.采用多種數(shù)學思維方法，梳理、儲存知識結(jié)構(gòu)
復(fù)習課中的基本知識，一般來說也不是簡單再現(xiàn)和機械重復(fù)，關(guān)鍵是要把平時相對獨立地進行教學的概念、法則、性質(zhì)、規(guī)律、方法等以再現(xiàn)、整理、歸納等辦法串起來，進而加深學生對知識的理解、溝通，使之條理化、系統(tǒng)化。在知識結(jié)構(gòu)的梳理與建構(gòu)過程中，必須依據(jù)復(fù)習內(nèi)容的特點選擇合適的方法，通常有列表結(jié)構(gòu)編織、樹狀結(jié)構(gòu)編織、網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)編織等。
策略二：突出重點內(nèi)容，提高單位時間內(nèi)的復(fù)習效益
一節(jié)課只有短短的40分鐘，是不可能面面俱到的，而應(yīng)有重點地復(fù)習。可以突出教材中的重點內(nèi)容進行復(fù)習，也可以突出學生學習過程中的難點內(nèi)容進行復(fù)習。復(fù)習訓(xùn)練的設(shè)計要有一定的基礎(chǔ)性、綜合性、啟發(fā)性、代表性與典型性，適當注意知識點之間的疊加訓(xùn)練設(shè)計，注意訓(xùn)練呈現(xiàn)形式與呈現(xiàn)素材的多樣性，舍棄“題海戰(zhàn)術(shù)”，避免機械重復(fù)的訓(xùn)練，能夠使學生通過訓(xùn)練有新的收獲。
如在六年級下冊總復(fù)習第一課時《整數(shù)、小數(shù)的意義和讀寫方法》的教學中，我們需要準確地定位復(fù)習內(nèi)容應(yīng)更側(cè)重于“小數(shù)的意義和讀寫方法”，因為在“帶小數(shù)”的復(fù)習中也包含了整數(shù)的意義及讀寫方法的知識在內(nèi)。
策略三：突出學生的主體地位，關(guān)注過程性目標的落實
教師在新授課的教學或許已經(jīng)充分考慮并體現(xiàn)了學生的主體地位，但一進入復(fù)習階段則又回到了“唯師獨尊”的局面，“滿堂灌”的情況并不鮮見。復(fù)習課的教學中應(yīng)想方設(shè)法讓學生積極參與到復(fù)習的全過程，如知識的呈現(xiàn)與梳理及自主命題等方面都可組織學生自主完成。凡是學生看得懂、講得來、做得出的內(nèi)容與題目，都要讓學生獨立完成，教師不能包辦代替。同時，教師在復(fù)習過程中要注重對學生復(fù)習方法的指導(dǎo)，尤其是對學困生復(fù)習活動的指導(dǎo)，將輔導(dǎo)補差工作與課堂教學同步進行。
需要指出的是，“突出學生的主體地位讓學生自主復(fù)習”必須以學生已有的知識經(jīng)驗為基礎(chǔ)。為了更好地達成這一點，教師可有針對性地指導(dǎo)學生課前預(yù)習復(fù)習內(nèi)容，對復(fù)習對象能基本達到再認甚至再現(xiàn)的水平。教師在引導(dǎo)學生對知識進行復(fù)習的同時，還需要加強對學生復(fù)習方法的指導(dǎo)。
如在《整數(shù)、小數(shù)的意義和讀寫方法》復(fù)習課的教學中，我安排學生課前自主預(yù)習課本內(nèi)容，學生對各知識點已經(jīng)有了較為清晰的認知，而將復(fù)習的重點轉(zhuǎn)移到對知識的整理、分析中來。通過看、讀、交流來再認要復(fù)習的知識;通過交流、師生共同整理完成“整數(shù)部分”知識的復(fù)習，并加強對復(fù)習方法的指導(dǎo);再通過學生自主交流、自主整理完成“小數(shù)部分”知識的復(fù)習，并及時引導(dǎo)學生將整數(shù)知識與小數(shù)知識進行聯(lián)系、對比，體會知識之間的內(nèi)在聯(lián)系。
策略四：題組訓(xùn)練溝通聯(lián)系，挖掘單元知識所蘊涵的內(nèi)在價值
新課程明確指出，教材僅僅是我們教學的基本線索和基本素材，在具體的教學過程中，我們“不僅要考慮數(shù)學自身的特點，更應(yīng)遵循學生數(shù)學學習的心理規(guī)律，強調(diào)從學生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，數(shù)學教學活動必須建立在學生的認知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上”。這就是說，數(shù)學教學活動要以學生的發(fā)展為本，要把學生的個人知識、直接經(jīng)驗和現(xiàn)實世界作為數(shù)學教學的重要資源。
策略五：重視元認知能力培養(yǎng)，使復(fù)習成為學生自我發(fā)展的過程
在復(fù)習課教學中，不同學習個體之間認知水平的差異很大，而班級授課制條件下分層施教往往會顯得“力不從心”。這就使培養(yǎng)學習者自我監(jiān)督、自我檢查、自我反省、自我調(diào)節(jié)的意識和能力（即元認知能力），成為教學的必然要求。復(fù)習課教學中培養(yǎng)學生的元認知能力，可以采用以下方法：（1）自我提問法。可用于知識整理過程中，也可以用于知識運用過程中。（2）相互提問法。兩個或多個學生之間、師生之間就解決問題的計劃（應(yīng)該怎么做）、監(jiān)控（是否這樣做了）、評價（做的怎樣）、反思（成功與失敗的原因）互相提問。（3）分層練習法。練習設(shè)計既要確保達成基本教學目標，又要體現(xiàn)一定的彈性，以滿足不同層次學生的發(fā)展要求。要逐步培養(yǎng)學生自我評價的能力，要使學生逐步學會選擇自己力所能及以至具有挑戰(zhàn)性的練習。實踐證明，在復(fù)習課教學中培養(yǎng)和訓(xùn)練學生的元認知能力，能促進學生的認知結(jié)構(gòu)進一步完善，更能使學生在選擇學習策略、監(jiān)控和調(diào)節(jié)學習過程的同時，促進自身思維品質(zhì)和思維能力的提高。
策略六：注意培養(yǎng)復(fù)習興趣，注重數(shù)學文化的傳承，拓展數(shù)學視野，完善認知結(jié)構(gòu)
傳統(tǒng)的復(fù)習課教學中，學生只是一個“容器”，他們必須被動地接受從“另一個容器”中倒入的“水”。時至今日，我們在努力改變教學方式的同時還需注重對學生復(fù)習興趣的培養(yǎng)。學生復(fù)習的興趣與復(fù)習的效益是“兩個成正比例關(guān)系的量”。教學中要讓學生體會復(fù)習知識的發(fā)生與發(fā)展過程，感受數(shù)學文化的博大精深，豐富認知，激發(fā)學習興趣，提高復(fù)習效果。
課程改革的核心是學生學習方式的改革，目前小學數(shù)學課堂教學改革中，學生先自學然后匯報所得成為許多老師經(jīng)常采用的教學方法，然而，由于學生的認知能力的局限，有因為不同學生間的差異，對某個數(shù)學問題的理解不僅相同，這種“信息差”是課堂教學的資源，有時也會構(gòu)成學習的羈絆，使學生停留在問題的表面，滿足于一知半解，不利于學生主動建構(gòu)，不利于學術(shù)數(shù)學思維能力的培養(yǎng)。如何使我們的數(shù)學課堂既有溫度，又有深度，是教師們普遍關(guān)心的問題，這里教師的導(dǎo)學起到至關(guān)重要的作用。
蘇教版國標本第十冊教材《分數(shù)與小數(shù)的互化》一課內(nèi)容較多，理解難度不大，與學生的舊知聯(lián)系很緊密，適合采用自主探究式教學方式。教學中可留有空間，無論是教師提出的有效問題還是學生在學習過程中產(chǎn)生的問題都可以有效驅(qū)動課堂，讓課堂煥發(fā)活力。
[案例描述]
片段1：問題引入
1.師出示例9，指名說出圖意。
師：從圖中你獲得了什么數(shù)學信息？
生1：我知道兩人做彩帶李娟用了0.5米長，張玲用了米。
生2：我還知道她們兩人一個用小數(shù)表示彩帶長度，另一人用分數(shù)表示。
2.教師追問：你能提出什么問題？會列式解答嗎？
生1：兩人一共用了多少彩帶？用0.5+
生2：李娟用的長度是張玲的幾分之幾？用0.5÷。
生3：她們誰用的彩帶長？0.5
生4：李娟和張玲相差多少米？-0.5
追問：剛才幾位同學的算式中都有什么共同的地方？（都同時用小數(shù)和分數(shù)）解決這些問題都必須將分數(shù)和小數(shù)怎樣？（轉(zhuǎn)化）
片段2：比較0.5米和米的大小，揭示分數(shù)化成小數(shù)的一般策略。
1.師：怎樣比較0.5米和米的大小？先獨立思考，再小組交流。
2.學生匯報。
生1：跟1米一半比：0.5米就是1米的一半，米超過了1米的一半，所以0.5米
生2：化成小數(shù)比：=3÷4=0.75，0.5
教師追問：把分數(shù)化成小數(shù)0.75的依據(jù)是什么？怎樣把分數(shù)化成小數(shù)？
生3：化成分數(shù)比，=，
生4：畫圖的策略。（具體略）
生5：=1÷2，=3÷4=1.5÷2，可以看出大。
3.比較各種方法，找出一般方法。
師：這些不同的方法有相同之處嗎？你喜歡哪種方法？說說你的理由。
生1：我喜歡第一種方法，因為它最快。
生2：雖然第一種方法快，但是第2種方法比較穩(wěn)，任何時候都能用。
生3：我喜歡畫圖的方法，形象直觀，但不方便。
生4：這些方法的答案是一樣的，其實它們都要化成統(tǒng)一的形式才能比出大小。
師：看來把比較分數(shù)和小數(shù)的大小最一般、最常用的方法是把分數(shù)化成小數(shù)，因而我們有必要研究分數(shù)化成小數(shù)。教師板書：分數(shù)小數(shù)。
片段3：練習分數(shù)化小數(shù)
1.學生練習：做練習九第8題。把分數(shù)化成小數(shù)（除不盡的要保留三位小數(shù)）挑其中的四題、、、，4人板演。
反饋，重點比較化成小數(shù)的結(jié)果，有的學生取準確值，有的學生保留了三位小數(shù)，讓學生比較，質(zhì)疑。
強調(diào)計算要細心、耐心，確定除不盡時才取近似值。
2.教師補充：把化成小數(shù)怎么想的？
生1：只要用35÷100=0.35就可以了。
生2：只要根據(jù)小數(shù)的意義“兩位小數(shù)表示百分之幾”，百分之幾就表示兩位小數(shù)可以直接改寫成0.35。
師：觀察這題可以從兩種不同的角度把分數(shù)化成小數(shù)，再看剛才我們做過的題，你想說什么？你有怎樣的設(shè)想？
生1：把、、先寫成除法算式，再根據(jù)商不變的規(guī)律把它們變成除數(shù)是10、100、1000等分數(shù)，再改寫。但是我就沒有辦法了！
生2：是不是找不到一個整數(shù)和9相乘得10、100、1000……，這個分數(shù)就除不盡呢？
生3：我給生2補充，因為9的質(zhì)因數(shù)是3和3，10、100、1000等數(shù)的質(zhì)因數(shù)里只有2和5，所以9不行。
生4：我還發(fā)現(xiàn)=0.3，但是0.3×3≠1呀？
師：你們提出了非常有價值的2個問題。生1、2和3你們可以合作探究，生4的思路可以用來驗證，你舉的特例以后中學有專門的介紹。這些有趣的問題同學們可以課后再研究。
片段4：教學例10，學習“小數(shù)化成分數(shù)”
1.師：既然分數(shù)可以化成小數(shù)，那么你想到——小數(shù)是否也能化成分數(shù)呢？
2.師：我們學過把小數(shù)化成分數(shù)嗎？你能舉例說說小數(shù)化成分數(shù)的方法嗎？
生：我能，跟剛才的過程相反，一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾……如0.5=等。教師點評：這是根據(jù)——小數(shù)的意義直接改寫。
3.學生獨立完成例10 ，教師指名匯報說小數(shù)化成分數(shù)的依據(jù)。
4.學生進行了必要的練習后，教師讓學生出題進行分小互化。教師根據(jù)學生的出題進行適當點評，指引學生有意識地出題，讓各種類型都成為可能。就在學生覺得自己學得很好很成功時，有學生質(zhì)疑。
生1：現(xiàn)在我已經(jīng)能把任何一個分數(shù)化成小數(shù)，除不盡時可以根據(jù)要求保留相應(yīng)的位數(shù)，但是把小數(shù)化成分數(shù)時，我只能把有限小數(shù)化成分數(shù)，也就是只能化成分母是10、100、1000……這樣的分數(shù)，而我們見過的分數(shù)有很多，可以說任何不是0的自然數(shù)都可以是分母，這樣的分數(shù)是怎樣產(chǎn)生的呢？
生2：我發(fā)現(xiàn)剛才我們始終是把有限小數(shù)化成分數(shù)的，要是遇到循環(huán)小數(shù)時怎么辦呢？是不是先保留再改寫成分數(shù)呢？……
[案例反思]：
