時間：2022-03-14 09:06:58
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇線性規(guī)劃，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃 模型 決策 應(yīng)用
線性規(guī)劃是運籌學(xué)中一種最常用的方法，線性規(guī)劃在現(xiàn)代管理中起到了重要的作用，線性規(guī)劃所處理的問題是怎樣以最佳的方式在各項經(jīng)濟活動中分配有限的資源，以便最充分地發(fā)揮資源的效能去獲取最佳經(jīng)濟效益。線性規(guī)劃在財務(wù)貿(mào)易、金融、工業(yè)制造、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、交通運輸、人事管理、設(shè)備維修等領(lǐng)域的管理決策分析中均可幫助人們解決實際問題。例如在原料分配問題上，研究如何確定各原料比例，才能降低生產(chǎn)成本，增加利潤；在農(nóng)作物規(guī)劃中，如何安排各種農(nóng)作物的布局，使生產(chǎn)率迅速提高；在生產(chǎn)計劃安排中，選擇什么樣的生產(chǎn)方案才能提高生產(chǎn)產(chǎn)值。線性規(guī)劃為求解這類問題提供了實用性強的理論基礎(chǔ)和具體求解方法。
一、線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型
經(jīng)營管理中研究如何有效地利用現(xiàn)有的人力物力完成更多的任務(wù)，或在預(yù)定的任務(wù)目標(biāo)下，如何耗用最少的人力物力去實現(xiàn)，這個統(tǒng)籌規(guī)劃的問題用可用數(shù)學(xué)語言表達。
線性規(guī)劃模型從數(shù)學(xué)角度來歸納為三點：
（1）每個問題都有一組變量，稱為決策變量，一般記為，一般要求。它是決策者對決策問題需要加以考慮和控制的因素。
（2）每個問題都有決策變量需要滿足一定的條件，問題的限制條件用不等式或等式來表達，它是實現(xiàn)企業(yè)決策目標(biāo)，限制性因素對實現(xiàn)目標(biāo)起約束作用，稱為約束條件。
（3）問題的目標(biāo)通過變量的函數(shù)形式來表達，稱為目標(biāo)函數(shù)，且目標(biāo)值與決策變量之間的關(guān)系是線性關(guān)系，要求在約束條件下，求目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值。
（4）一般的線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型為：
線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)形式特點：
（1）目標(biāo)函數(shù)求最大值（有時求最小值）
（2）約束條件都為等式方程，且右端常數(shù)項bi都大于或等于零
（3）決策變量xj為非負(fù)。
線性規(guī)劃問題的方法是單純形法。理論根據(jù)是：線性規(guī)劃問題的可行域是n維向量空間中的多面凸集，最優(yōu)值如果存在必在凸集的某頂點處達到，頂點所對應(yīng)的可行解稱為基本可行解。單純型法的求解思路是：一般線性規(guī)劃問題具有線性方程組的變量個數(shù)大于方程數(shù)目，此時存在多解，但可從線性方程組中找出一個個的單純型，每個單純型都對應(yīng)一組基本可行解，根據(jù)此解判斷目標(biāo)值是增大還是減小，決定下一步選擇的單純型，這就是迭代，直到實現(xiàn)了目標(biāo)最大化或最小化為止。
但是，通過比較基可行解（頂點）來求解一般線性規(guī)劃問題是不可行的，單純形法的基本思路是有選擇地取基可行解，即從可行域的一個頂點出發(fā)，沿著可行域的邊界移到另一個相鄰的頂點，要求新頂點的目標(biāo)函數(shù)值不比原目標(biāo)函數(shù)值差。如此繼續(xù)，直到無法改進，即可得到最優(yōu)解，或判定無最優(yōu)解。
二、線性規(guī)劃的具體應(yīng)用
線性最優(yōu)化模型已被廣泛應(yīng)用于各類部門，應(yīng)用的范圍涉及各種資源分配、生產(chǎn)規(guī)劃調(diào)度、企業(yè)財政規(guī)劃、庫存和分配、商品推銷和廣告等領(lǐng)域。
1.線性規(guī)劃的在投資組合中的應(yīng)用
如何選擇一個滿意的投資組合，在既定條件下實現(xiàn)一個最有效的風(fēng)險與收益搭配，是投資組合的關(guān)鍵問題，投資者可以利用各投資項目收益率結(jié)合現(xiàn)實的情況對未來一年內(nèi)各種投資產(chǎn)品的收益率做個簡單的預(yù)測，利用單純形法或借助lindo軟件進行求解，從而獲得投資于各項目的最佳投資額。
例如：某先生在5年內(nèi)考慮下列投資，已知：
A.可從第1年年初開始投資，并于次年年末收回投資額的115%；
B.在第3年的年初投資，到第5年年末收回投資額的135%，但投資額不能大于4萬元；
C.在第2年年初投資，到第5年年末收回投資額的145%，但投資額不能超過3萬元；
D.每年年初購買債券，年底歸還，利息為0.06.
2.線性規(guī)劃在運輸問題中的應(yīng)用
運輸問題涉及空運、水運、公路運輸、鐵路運輸、管道運輸、場內(nèi)運輸?shù)?，公路運輸除了汽車調(diào)度計劃外，還有行使路線選擇和時刻表的安排等等問題，這些問題都可以運用線性規(guī)劃模型來解決?！斑\輸問題”就是將數(shù)量和單位運價都是給定的某種物資從供應(yīng)站運送到消費站或庫存站，在滿足供銷平衡的同時，定出流量與流向，達到總運輸成本最小。
例：某汽車零件制造商，在不同的地方開設(shè)了3個工廠，從這些工廠將汽車零件運至設(shè)在全國各地的4個倉庫，并希望運費最小，下表列出了運價以及3個工廠供應(yīng)量和4個倉庫的需求量，請求出運費最小的運輸方案。
（2）根據(jù)位勢法或閉回路法來判斷該方案是否是最優(yōu)，如果不是，就對該方案用閉回路方法進行調(diào)整和改進直至求出最優(yōu)方案。經(jīng)過計算，最后當(dāng)所有的檢驗數(shù)均為非負(fù)時可得最優(yōu)方案，當(dāng)前的最優(yōu)方案為其余全為零，可得最小運輸值為。
3.線性規(guī)劃在分配任務(wù)上的應(yīng)用
例：（指派問題）有一份中文說明書，需譯成英、日、德、俄四種文字，分別記作：E、J、G、R，現(xiàn)在有甲、乙、丙、丁四人，他們將中文說明書翻譯成不同的語種的說明書所需時間如表所示，問應(yīng)指派何人去完成何工作，使所需總時間最少？
4.線性規(guī)劃模型在生產(chǎn)計劃問題上的應(yīng)用
線性規(guī)劃可以運用在生產(chǎn)計劃的問題上，對于生產(chǎn)性企業(yè)而言，生產(chǎn)計劃是企業(yè)經(jīng)濟效益的關(guān)鍵因素，科學(xué)合理的生產(chǎn)計劃能夠使整體的經(jīng)濟效益發(fā)揮到最佳水平，使用線性規(guī)劃方法要充分利用現(xiàn)有資源，考慮到企業(yè)的生產(chǎn)能力，資源的擁有量以及生產(chǎn)產(chǎn)品的單件利潤等因素來進行計劃安排生產(chǎn)，以謀求最大的利潤或最小的成本。
例如（飼料配比問題）某配合飼料廠生產(chǎn)以雞飼料為主的配合飼料，現(xiàn)準(zhǔn)備研制一種新的肉用仔雞專用飼料，所用原料的營養(yǎng)成分和飼養(yǎng)標(biāo)準(zhǔn)見表，希望這種新飼料既能滿足肉用仔雞的喂養(yǎng)需要又使總成本盡可能低，應(yīng)如何設(shè)計配比方案？建立線性規(guī)劃模型。
三、總結(jié)
線性規(guī)劃是企業(yè)生產(chǎn)過程中決策制定的理論依據(jù)，決策的合理與否直接影響到企業(yè)的經(jīng)濟效益，本文通過實際例子闡述了線性規(guī)劃模型在生產(chǎn)計劃，運輸問題，任務(wù)分配問題，投資問題等問題的實際應(yīng)用，體現(xiàn)了線性規(guī)劃模型在實際生產(chǎn)和生活中的重要性，總之，線性規(guī)劃法是一種比較先進和科學(xué)的進行經(jīng)濟管理的方法，利用線性規(guī)劃解決實際問題具有較大的實用價值。
參考文獻：
[1]運籌學(xué)教材編寫組.運籌學(xué)（第三版）.清華大學(xué)出版社.
[2]巴玉強.數(shù)學(xué)線性規(guī)劃在企業(yè)管理中的應(yīng)用分析.經(jīng)管空間.2012年3月.
[3]王波.線性規(guī)劃在壽險精算中的應(yīng)用.數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識.2006年11月第36卷第11期.
[4]曹亞群.線性規(guī)劃在物流工程中的應(yīng)用.宿州學(xué)院學(xué)報.2010年11月第25卷第11期.
[5]唐加冕，周京徽.線性規(guī)劃問題在經(jīng)濟生活中的應(yīng)用.商業(yè)時代.2011年9月.
[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)模型 初等變換 檢驗數(shù) 最優(yōu)解
運籌學(xué)發(fā)展歷史不長，但內(nèi)容豐富，涉及面廣，應(yīng)用范圍大，形成了相當(dāng)龐大的學(xué)科。線性規(guī)劃是運籌學(xué)中研究較早、發(fā)展較快、應(yīng)用廣泛、方法較成熟的一個重要分支，它是輔助人們進行科學(xué)管理的一種數(shù)學(xué)方法。在經(jīng)濟管理、交通運輸、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等經(jīng)濟活動中，提高經(jīng)濟效益是人們不可缺少的要求，建立數(shù)學(xué)模型運用矩陣求規(guī)劃問題的最優(yōu)解尤為重要。
一、線性規(guī)劃問題
1.線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型的一般形式：
設(shè)有n個變量，滿足
s稱為目標(biāo)函數(shù),式(1)稱為約束條件.一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。滿足線性約束條件的解叫做可行解，使S取最大值或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解。
2.線性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)形式
只要引入新的非負(fù)變量（稱為松弛變量），不妨設(shè)不等式組中每一個不等式加一個松弛變量后變?yōu)榈仁剑@樣就可以使不等式組(1)變?yōu)榫€性方程組，作為線性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)形式。即
滿足（2）的解成為線性規(guī)劃的最優(yōu)解，相應(yīng)的s值稱為該問題的最優(yōu)值。
二、運用矩陣解線性規(guī)劃最優(yōu)解
矩陣在經(jīng)濟分析中有著廣泛的應(yīng)用，可以利用矩陣的理論和方法，對標(biāo)準(zhǔn)形式中線性方程組的增廣矩陣作一系列的行初等變換，根據(jù)檢驗數(shù)的值可判定基變量為多少時，規(guī)劃問題有最優(yōu)解及最優(yōu)值，最優(yōu)解及最優(yōu)值是多少，從而解決線性規(guī)劃最優(yōu)解問題。
在方程（2）中若S把視為一個變量，寫為
方程（3）是一個n+m+1個未知量，m+1個方程的線性方程組，解法如下
[第一步]
記方程（3）的增廣矩陣為
矩陣L中的最后一行的數(shù)稱為檢驗數(shù)，從S=0做起。
[第二步]
當(dāng)所有檢驗數(shù)為非負(fù)數(shù)時，轉(zhuǎn)入第三步。當(dāng)檢驗數(shù)有負(fù)數(shù)時，轉(zhuǎn)入第五步。
[第三步]
最小比值原則：用矩陣L中的第一列前m行大于0的元素除同行對應(yīng)的最后一列的元素，即。取比值最小者，記為。此時稱為主元，所在的行稱為主元行，所在的列稱為主元列。(若第一列的前m個元素沒有正數(shù)，就試第二列，依次類推)
對矩陣作初等行變換，將主元變?yōu)?，所在列的其他元素變?yōu)?；重復(fù)類似的變換運算，依次繼續(xù)作若干次得到矩陣,在中必有m行m列的元素構(gòu)成一個m階單位矩陣，不妨設(shè)的前m行m列是m階單位矩陣，于是，矩陣為
[第四步]
①的單位矩陣所在的列的檢驗數(shù)都為0，而其余檢驗數(shù)非負(fù)時，則所求的最優(yōu)值為
(中最后一行最后一列的元素數(shù)值)
矩陣中單位矩陣所在各行的最后一列元素，為所求相應(yīng)變量（稱為基變量）的值，其他變量取值均為0（稱為非基變量）這樣得到的解為所求的最優(yōu)解。
②的檢驗數(shù)有負(fù)數(shù)時，轉(zhuǎn)入第五步。
[第五步]
所有檢驗數(shù)為負(fù)數(shù)時，取其絕對值最大者所在的列為主元列，返回第三步作行初等變換，從而求出最優(yōu)解及最優(yōu)值。
三、解決經(jīng)濟中的實際問題
例如 為制造兩種類型的產(chǎn)品，倉庫最多提供80的鋼材，已知每制造一件Ⅰ型產(chǎn)品需要耗鋼2kg，最少需生產(chǎn)10件，而每件售價50元；每制造一件Ⅱ型產(chǎn)品需要耗鋼1kg，最少需生產(chǎn)40件，而每件售價30元。試選擇最優(yōu)生產(chǎn)方案，以獲最大收入?
設(shè)生產(chǎn)Ⅰ型產(chǎn)品件，生產(chǎn)型產(chǎn)品件，獲得的收入為R
則此規(guī)劃問題的一般形式為
引入非負(fù)的松弛變量，標(biāo)準(zhǔn)形式為
對應(yīng)的方程組
方程組的增廣矩陣為
末行檢驗數(shù)中有兩個負(fù)數(shù)，絕對值最大者為-50，取-50所在的列為主元列，用最小比值原則，第二行為主元行，為主元。進行行初等變換得：
檢驗數(shù)中仍有負(fù)數(shù)，同樣，-50所在第四列為主元列，按最小比值原則，取為主元。進行行初等變換得：
仍有負(fù)檢驗數(shù)-5，同樣的方法取為主元。進行行初等變換得：
以上矩陣前三行的第1，2，4列構(gòu)成一個3階單位矩陣，其所在的列的檢驗數(shù)為0，其余檢驗數(shù)均非負(fù)，所以，為基變量，為非基變量，得到
最優(yōu)解為:件，件，件，件，件
最優(yōu)值為：（元）
故當(dāng)件，件時，獲得最大收入為件，件。
利用可行域的公共部分求參數(shù)
例1 若直線[（3λ+1）x+（1-λ）y+6-6λ=0]與不等式組[x+y-7<0，x-3y+1<0，3x-y-5>0]表示的平面區(qū)域有公共點，則實數(shù)[λ]的取值范圍是（ ）
A. [（-∞，-137）?（9，+∞）] B. [（-137，1）?（9，+∞）]
C. [（1，9）] D. [（-∞，-137）]
解析 畫出可行域，求得可行域的三個頂點[A（2，1），][B（5，2），C（3，4）].
而直線[（3λ+1）x+（1-λ）y+6-6λ=0]恒過定點[P（0，-6），]且斜率為[3λ+1λ-1]，
因為[kPA=72，kPB=85，kPC=103]，
所以由[85<3λ+1λ-1<72]得[λ∈][（-∞，-137）?（9，+∞）].
答案 A
點撥 畫出可行域，求得可行域的三個頂點，確定直線過定點[P]（0，-6），求得直線[PA，PB，PC]的斜率，其中最小值[85]，最大值[72]，則由[85<3λ+1λ-1<72]得[λ]的取值范圍.
利用最值的倍數(shù)關(guān)系求參數(shù)
例2 已知[x]，[y]滿足[y≥x，x+y≤2，x≥a，]且[z=2x+y]的最大值是最小值的[4]倍，則[a]的值是（ ）
A. [34] B. [14] C. [211] D. [4]
解析 畫出[x，y]滿足[y≥x，x+y≤2，x≥a]的可行域如下圖.
由 [y=x，x+y=2]得，[A1，1]，由[x=a，y=x]得，[Ba，a].
當(dāng)直線[z=2x+y]過點[A1，1]時，目標(biāo)函數(shù)[z=2x+y]取得最大值，最大值為3.
當(dāng)直線[z=2x+y]過點[Ba，a]時，目標(biāo)函數(shù)[z=2x+y]取得最小值，最小值為[3a].
由條件得，[3=4×3a，]所以[a=14].
答案 B
點撥 由題意可先作出不等式表示的平面區(qū)域，再由[z=2x+y]可得[y=-2x+z]，則[z]表示直線[y=-2x+z]在[y]軸上的截距，截距越大，[z]越大，可求[z]的最大值與最小值.
利用充分條件關(guān)系求可行域的面積最小值
例3 已知[Ω]為[xOy]平面內(nèi)的一個區(qū)域.[p]：點[（a，b）∈{（x，y）|x-y+2≤0，x≥0，3x+y-6≤0}];[q]：點[（a，b）∈Ω].如果[p]是[q]的充分條件，那么區(qū)域[Ω]的面積的最小值是 .
解析 命題[p]對應(yīng)的平面區(qū)域為如圖陰影部分.
則由題意可知，[C（0，2），B（0，6）].
由[x-y+2=0，3x+y-6=0，?x=1，y=3.]
即[D（1，3）]，所以三角形[BCD]的面積為[12×6-2×1=2]，[p]是[q]的充分條件，那么區(qū)域[Ω]的面積的最小值是2.
答案 2
點撥 先利用線性規(guī)劃作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域[BCD]，然后利用[p]是[q]的充分條件，確定平面區(qū)域[BCD]與[Ω]之間的面積關(guān)系.
利用可行域求向量射影的取值范圍
例4 已知實數(shù)[x，y]滿足約束條件[x+2y≥2，2x+y≤4，4x-y≥-1.]若[a=x，y，b=3，-1]，設(shè)[z]表示向量[a]在向量[b]方向上射影的數(shù)量，則[z]的取值范圍是（ ）
A.[-32，6] B.[-1，6]
C.[-3210，610] D.[-110，610]
解析 畫出約束條件的可行域，由可行域知：[a=（x，y）=2，0]時，[a]在[b]方向上的射影的數(shù)量最大，此時[a?b=6]，所以[a]在[b]方向上的射影的數(shù)量為[610];當(dāng)[a=12，3]時，[a]在[b]方向上的射影的數(shù)量最小，此時[a?b=-32]，所以[a]在[b]方向上的射影的數(shù)量為[-3210].所以[z]的取值范圍是[[-3210，610]].
答案 C
點撥 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用向量投影的定義計算[z]的表達式，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.
可行域中的最值問題與基本不等式結(jié)合
例5 若目標(biāo)函數(shù)[z=ax+by（a>0，b>0）]滿足約束條件[2x-y-6≤0，x-y+2≥0，]且最大值為40，則[5a+1b]的最小值為（ ）
A. [256] B. 4 C. [94] D. 1
解析 不等式表示的平面區(qū)域陰影部分，
當(dāng)直線[z=ax+by（a>0，b>0）]過直線[x-y+2=0]與直線[2x-y-6=0]的交點（8，10）時，目標(biāo)函數(shù)[z=ax+by（a>0，b>0）]取得最大40，即[4a+5b=20]，
而[5a+1b=5a+1b×4a+5b20=54+5b4a+a5b≥94].
一、工商管理的概念
工商管理的產(chǎn)生是國家出于對市場經(jīng)濟秩序的構(gòu)建與其健康發(fā)展的目的,主要是通過對市場經(jīng)濟經(jīng)營行為的監(jiān)督管理以及相關(guān)執(zhí)法。通過將強制懲戒與行政教育相結(jié)合的方法,達到規(guī)范市場經(jīng)濟的目的,為市場經(jīng)濟的發(fā)展?fàn)I造良好的環(huán)境。
二、工商管理的職能
(1)對市場經(jīng)濟的監(jiān)管力度。工商管理部門是由政府依法組織,針對市場經(jīng)濟的自由性,對企業(yè)和盈利機構(gòu)進行監(jiān)督管理的工作執(zhí)法部門。工商管理在政府工作中的首要職能就是市場監(jiān)管,即對社會中的工商企業(yè)、外資企業(yè)等盈利性機構(gòu)進行依法監(jiān)督管理,維護市場的經(jīng)營秩序,對于企業(yè)的違規(guī)違紀(jì)行為進行依法懲處,調(diào)節(jié)市場經(jīng)濟各部分的和諧共處。(2)對市場經(jīng)濟發(fā)展的服務(wù)。工商管理的對象是經(jīng)濟環(huán)境中的經(jīng)濟活動,服務(wù)于社會主義的市場經(jīng)濟建設(shè),通過提高服務(wù)性維護和促進商品經(jīng)濟的良性發(fā)展。工商管理可以通過對市場經(jīng)濟的調(diào)節(jié),維護市場經(jīng)濟的有序運行,服務(wù)廣大消費者。
三、線性規(guī)劃在工商管理中的應(yīng)用
首先,線性規(guī)劃可以用于生產(chǎn)計劃確定后的優(yōu)化,主要內(nèi)容包括:(1)合理利用材料問題:在保證生產(chǎn)正常進行的條件下,以最少的材料達到最大的使用效果。(2)配料問題:在原料供應(yīng)的數(shù)量限制下,如何搭配才能獲得最大收益。(3)投資問題:從投資項目中選取最佳組合,使有限的投資得到最大的回報。(4)產(chǎn)品生產(chǎn)計劃:合理利用人力、物力、財力等,使獲利最大。(5)勞動力安排:用最少的勞動力滿足工作的需要。(6)運輸問題:對產(chǎn)品的調(diào)運方案進行細(xì)致制定,減少運費。其次,線性規(guī)劃支持企業(yè)未來的決策。管理者必須分析未來的經(jīng)濟發(fā)展趨勢,分析未來的消費趨勢,并預(yù)測同行的產(chǎn)銷動向,根據(jù)分析結(jié)果,確定自身企業(yè)的產(chǎn)品價格和促銷策略,然后將這些數(shù)據(jù)進行線性規(guī)劃,得出企業(yè)發(fā)展的最佳路線。工商企業(yè)的生產(chǎn)計劃管理問題分析完全符合線性規(guī)劃建模的條件,因此可以運用線性規(guī)劃來分析生產(chǎn)計劃方案的優(yōu)化問題。但是,應(yīng)用線性規(guī)劃的方法對企業(yè)的生產(chǎn)計劃問題進行分析,首先必須滿足幾點要求:(1)明確目標(biāo)函數(shù)。生產(chǎn)計劃的經(jīng)濟分析是一種定量分析方法,以企業(yè)利潤作為評價目標(biāo)值,其最終目的是制定可以使企業(yè)利潤最大化的生產(chǎn)計劃決策,因此,企業(yè)利潤最大化是生產(chǎn)決策分析的目標(biāo)函數(shù)。(2)明確約束條件。企業(yè)的生產(chǎn)能力,原材料,設(shè)備使用,市場需求狀況等諸多限制因素與生產(chǎn)計劃分析是密切相關(guān)的,這些限制因素就被稱為生產(chǎn)分析中目標(biāo)函數(shù)的約束條件。約束條件對于企業(yè)生產(chǎn)計劃分析的影響很大,不同約束條件下,決策分析的結(jié)論也會有很大區(qū)別。比如,就企業(yè)在市場活動中所處的狀態(tài)可以分為三種:第一,能力不足狀態(tài),企業(yè)的生產(chǎn)能力無法滿足市場需求;第二,能力過剩狀態(tài),即企業(yè)生產(chǎn)能力超過市場需求,產(chǎn)品出現(xiàn)剩余;第三,中間狀態(tài),即所謂的收支平衡。企業(yè)自身的狀態(tài)是不確定的,在三種狀態(tài)之間不斷變換。(3)明確產(chǎn)品的單間利潤。單間利潤不僅要考慮到產(chǎn)品的單間收入,還要考慮生產(chǎn)所消耗的各項成本和費用。綜上所述,生產(chǎn)計劃決策分析的基本方法是以利潤最大化為目標(biāo),明確未知變量,確定約束條件,然后建立線性規(guī)劃模型,最終實現(xiàn)效益最大化的生產(chǎn)計劃。
四、應(yīng)注意的問題
(1)設(shè)定約束條件和變量的個數(shù)。約束條件在線性規(guī)劃中是必不可少的,需要特別注意的是最優(yōu)解中非零變量的數(shù)目不能超過模型約束條件的數(shù)目,如果忽視這一點而將由模型得出的最優(yōu)解付諸實施,就會帶來不良的后果。(2)線性規(guī)劃模型的靜態(tài)性。運用線性規(guī)劃的理論和方法進行工商管理時,其模型具有靜態(tài)性,但也只是近似,嚴(yán)格來說,模型中涉及到的價格并不是常數(shù)。這說明線性規(guī)劃模型的靜態(tài)性是近似的,因此,在實際應(yīng)用中,考慮到問題誤差的大小,對問題的界限進行劃分是十分必要的。
類型1 求線性目標(biāo)函數(shù)的最值
例1【2015高考北京，理2】若x，y，滿足x-y≤0x+y≤1x≥0則z=x+2y的最大值為（ ）
點評：對線性規(guī)劃問題，先作出可行域，再作出目標(biāo)函數(shù)，利用線性目標(biāo)函數(shù)中直線的縱截距的幾何意義，結(jié)合可行域即可找出取最值的點，通過解方程組即可求出最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)，求出最值。此題主要考查線性相關(guān)問題和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，同時考查學(xué)生的作圖能力與運算能力。
類型2 簡單線性規(guī)劃的實際應(yīng)用
例2【2015高考陜西，理10】某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料.已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品需原料及每天原料的可用限額如表所示，如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為（ ）
A.12萬元 B.16萬元
C.17萬元 D.18萬元
【解析】設(shè)該企業(yè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為x、y噸，則利潤z=3x+4y
由題意可列3x+2y≤12x+2y≤8x≥0y≥0，其表示如圖陰影部分區(qū)域：
當(dāng)直線3x+4y-z=0過點A（2，3）時，z取得最大值，所以zmax=3×2+4×3=18，故選D。
點評：利用圖解法解決線性規(guī)劃問題，要注意合理利用表格，幫助理清繁雜的數(shù)據(jù)；另一方面約束條件要注意實際問題的要求。如果要求整點，則要用平移法驗證。
規(guī)律總結(jié)：與線性規(guī)劃有關(guān)的應(yīng)用問題，通常涉及最優(yōu)化問題。其一般步驟是：一設(shè)未知數(shù)，確定線性約束條件及目標(biāo)函數(shù)；二是轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃模型；三解該線性規(guī)劃問題，求出最優(yōu)解；四調(diào)整最優(yōu)解。
類型3 線性規(guī)劃的綜合問題及求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值
類型4 含有參數(shù)的線性規(guī)劃問題
例 【2015高考山東，理6】已知x，y滿足約束條件x-y≥0x+y≤2y≥0，若z=ax+y的最大值為4，則a=（ ）
【解析】不等式組x-y≥0x+y≤2y≥0在直角坐標(biāo)系中所表示的平面區(qū)域如上圖中的陰影部分所示，若z=ax+y的最大值為4，則最優(yōu)解可能為x=1，y=1或x=2，y=0，經(jīng)檢驗，x=2，y=0是最優(yōu)解，此時a=2；x=1，y=1不是最優(yōu)解，故選B。
《全日制普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》中關(guān)于線性規(guī)劃內(nèi)容提到：線性規(guī)劃是最優(yōu)化的具體模型之一.在高中數(shù)學(xué)中，線性規(guī)劃問題都是最簡單的線性規(guī)劃 （Linear Programming，簡稱LP） 問題，即線性約束條件下線性（目標(biāo)）函數(shù)最優(yōu)化問題.其數(shù)學(xué)思想在高考解題中具有很強的現(xiàn)實意義，核心是運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，借助平面圖形，求目標(biāo)函數(shù)的最值問題[1].
綜觀最近幾年高考約束條件下目標(biāo)函數(shù)最值考題，其內(nèi)容都是對簡單的線性規(guī)劃問題的引申與深化.這涉及應(yīng)用數(shù)學(xué)中最優(yōu)化（Optimization）問題，其模型一般包括變量、約束條件和目標(biāo)函數(shù)三要素.根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和約束條件性質(zhì)，對最優(yōu)化問題作進一步分類：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性的，則稱線性規(guī)劃；當(dāng)目標(biāo)函數(shù)或約束中有一非線性函數(shù)時，則稱非線性規(guī)劃；當(dāng)目標(biāo)函數(shù)是二次的，而約束是線性時，則稱為二次規(guī)劃.
筆者基于當(dāng)前高考有關(guān)考題與命題趨勢，從最優(yōu)化視角對高考有關(guān)最值考題的約束條件與目標(biāo)函數(shù)作表1所示分類，嘗試對高中數(shù)學(xué)教材有關(guān)線性規(guī)劃內(nèi)容拓展.其中線性約束條件一般是指二元一次不等式組；非線性約束條件一般是指一個二元非一次不等式（組）（有時也可能是表示曲線或圓的函數(shù)）；線性函數(shù)關(guān)系是指直線，而非線性函數(shù)關(guān)系是指非直線，包括各種曲線、折線、不連續(xù)的線等.適當(dāng)對線性（非線性）約束條件下線性（非線性）目標(biāo)函數(shù)問題“模型構(gòu)建”，利用其函數(shù)的幾何意義，借助作圖解決高考最值問題，這是從一個新的角度對求最值問題的理解.
一、“LC - LF”最值類
“LC - LF”最值類問題，即指線性約束條件下線性函數(shù)的最值問題.一般這類考題線性約束條件是一個二元一次不等式組，目標(biāo)函數(shù)是一個二元一次函數(shù)，可行域就是線性約束條件中不等式所對應(yīng)的方程組所表示的直線所圍成的區(qū)域，在可行域解中的使得目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值的點的坐標(biāo)即簡單線性規(guī)劃的最優(yōu)解.
【解題本質(zhì)】這類考題的解決，重要在于能夠正確理解線性約束條件所表示的幾何意義，并畫出其圖形， 通過目標(biāo)函數(shù)[z=ax+by（a≠0）]中直線[l：ax+by=0]的平移法，利用直線[y=-abx+zb]的縱截距[zb]解決最值問題（當(dāng)[b]為正值時將直線[l：ax+by=0]向上平移使目標(biāo)函數(shù)取得最大值，反之[b]為負(fù)值時向下移動使目標(biāo)函數(shù)取得最小值）；當(dāng)線性目標(biāo)直線的斜率與約束條件的邊界相等時，最優(yōu)解有無數(shù)多個.解題過程中關(guān)鍵是突破“畫”（畫出線性約束條件所表示的可行域）、 “移”（作平行直線）、“求”（解方程組求出最優(yōu)解）.這種求最值的方法也稱“角點法”[2].
二、“LC-NLF” 最值類
2.了解線性規(guī)劃問題的圖象法，并能用線性規(guī)劃的方法解決一些簡單的實際問題。
教學(xué)重點
1.二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域;
2.應(yīng)用線性規(guī)劃的方法解決一些簡單的實際問題。
教學(xué)難點
線性規(guī)劃在實際問題的應(yīng)用
高考展望
1.線性規(guī)劃是教材的新增內(nèi)容，高考中對這方面的知識涉及的還比較少，但今后將會成為新高考的熱點之一;
2.在高考中一般不會單獨出現(xiàn)，往往都是隱含在其他數(shù)學(xué)內(nèi)容的問題之中，就是說常結(jié)合其他數(shù)學(xué)內(nèi)容考查，往往都是容易題
知識整合
1.二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域：一般地，二元一次不等式在平面直角坐標(biāo)系中表示直線某一側(cè)所有點組成的__________。我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域_________邊界直線。當(dāng)我們在坐標(biāo)系中畫不等式所表示的平面區(qū)域時,此區(qū)域應(yīng)___________邊界直線，則把邊界直線畫成____________.
2.由于對在直線同一側(cè)的所有點，把它的坐標(biāo)代入，所得到實數(shù)的符號都__________，所以只需在此直線的某一側(cè)取一個特殊點，從的_________即可判斷>0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域
3.二元一次不等式組是一組對變量x,y的__________，這組約束條件都是關(guān)于x,y的一次不等式，所以又稱為_____________;
4.(a,b是實常數(shù))是欲達到最大值或_________所涉及的變量x,y的解析式，叫做______________。由于又是x,y的一次解析式，所以又叫做_________;
5.求線性目標(biāo)函數(shù)在_______下的最大值或____________的問題，統(tǒng)稱為_________問題。滿足線性約束條件的解叫做_________，由所有可行解組成的集合叫做_________。分別使目標(biāo)函數(shù)取得____________和最小值的可行解叫做這個問題的___________.
典型例題
例1.(課本題)畫出下列不等式(組)表示的平面區(qū)域，
1)2)3)
4)5)6)
例2.
1)畫出表示的區(qū)域，并求所有的正整數(shù)解
2)畫出以A(3，-1)、B(-1，1)、C(1，3)為頂點的的區(qū)域(包括各邊)，寫出該區(qū)域所表示的二元一次不等式組，并求以該區(qū)域為可行域的目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值。
例3.1)已知，求的取值范圍
2)已知函數(shù)，滿足求的取值范圍
例4(04蘇19)制定投資計劃時，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損。某投資人打算投資甲、乙兩個項目，根據(jù)預(yù)測，甲、乙項目可能的最大盈利率分別為100%和50%，可能的最大虧損率為30%和10%，投資人計劃投資金額不超過10萬元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過1.8萬元，問投資人對甲、乙兩個項目各投資打算多少萬元，才能使可能的盈利最大?
例5.某人承攬一項業(yè)務(wù)，需做文字標(biāo)牌4個，繪畫標(biāo)牌6個，現(xiàn)有兩種規(guī)格原料，甲種規(guī)格每張3m，可做文字標(biāo)牌1個，繪畫標(biāo)牌2個;乙種規(guī)格每張2m，可做文字標(biāo)牌2個，繪畫標(biāo)牌1個,求兩種規(guī)格的原料各用多少張，才能使總的用料面積最小?
例6.某人上午時乘摩托艇以勻速V海里/小時從A港出發(fā)到相距50海里的B港駛?cè)?，然后乘汽車以勻速W千米/小時自B港向相距300km的C市駛?cè)?，?yīng)該在同一天下午4點到9點到達C市。設(shè)汽車、摩托艇所需時間分別為小時，如果已知所要經(jīng)費P=(元)，那么V、W分別是多少時走得最經(jīng)濟?此時需花費多少元?
鞏固練習(xí)
1.將目標(biāo)函數(shù)看作直線方程,z為參數(shù)時，z的意義是()
A.該直線的縱截距B。該直線縱截距的3倍
C.該直線的橫截距的相反數(shù)D。該直線縱截距的
2。變量滿足條件則使的值最小的是()
A.(B。(3，6)C。(9，2)D。(6，4)
3。設(shè)式中變量和滿足條件則的最小值為()
A.1B。-1C。3D。-3
4。(05浙7)設(shè)集合A={是三角形的三邊長}，則A所表示的平面區(qū)域(不含邊界的陰影部分)是()
5。在坐標(biāo)平面上，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為()
A。B。C。D。2
6.(06全國ⅰ14)設(shè)，式中變量和滿足下列條件則的最大值為__________________;
關(guān)鍵詞：單純形法；循序漸進；教學(xué)模式
中圖分類號：G642.0 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）45-0036-04
運籌學(xué)是二戰(zhàn)期間發(fā)展起來的一門應(yīng)用學(xué)科，它廣泛應(yīng)用現(xiàn)有的科學(xué)技術(shù)知識和數(shù)學(xué)方法，解決實際中提出的一些問題，為決策者選擇最優(yōu)策略提供定量依據(jù)，其內(nèi)容包括：規(guī)劃論（線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃、多目標(biāo)規(guī)劃等）、圖論與網(wǎng)絡(luò)分析、對策論、排隊論、存儲論、決策論、排序與統(tǒng)籌方法等[1]。運籌學(xué)的實際應(yīng)用涉及生產(chǎn)計劃、運輸問題、人事管理、庫存管理、市場營銷、財務(wù)和會計等方面。另外，還應(yīng)用于設(shè)備維修、更新和可靠性分析，項目的選擇與評價、工程優(yōu)化設(shè)計、環(huán)境保護等問題中。據(jù)統(tǒng)計，50%數(shù)學(xué)建模問題與運籌學(xué)內(nèi)容相關(guān)，可以用運籌學(xué)的方法解決。另外，為各大高校數(shù)次爭得榮譽的建模隊伍，長期以來一直接受運籌學(xué)相關(guān)知識的培訓(xùn)。
運籌學(xué)中最主要的分支是線性規(guī)劃。線性規(guī)劃模型是前蘇聯(lián)著名經(jīng)濟學(xué)家康托羅維奇于1939年提出的，這一重大發(fā)現(xiàn)使他獲得了諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎。1947年G.B.Dantzig提出求解線性規(guī)劃的單純形法。針對退化問題，1952年A.Charner和W.W.Cooper[2]給出了攝動法，1954年G.B.Dantzig，A.Orden和P.Wolfe[3]提出了字典序方法，1976年G.G.Bland[4]提出了Bland法則，這些方法都能避免循環(huán)發(fā)生。線性規(guī)劃理論上已趨于成熟，應(yīng)用也越來越廣泛。事實上，運籌學(xué)中許多問題都可以或需要用線性規(guī)劃模型來描述或近似地描述，如運輸問題――求解運輸問題的表上作業(yè)法本質(zhì)上就是單純形法，并且這種方法充分展示了單純形法的魅力。求最短路、最小費用最大流的問題都可以用線性規(guī)劃模型來解決。求解指派問題的匈牙利法本質(zhì)上也是單純形法[5]。矩陣對策問題最后轉(zhuǎn)化成求解線性規(guī)劃。學(xué)習(xí)運籌學(xué)的先修課程主要有線性代數(shù)、微積分、概率論與數(shù)理統(tǒng)計。事實上，運籌學(xué)不僅應(yīng)用了這些學(xué)科，也從理論上進一步發(fā)展了這些學(xué)科。
單純形法是建立在一系列理論基礎(chǔ)之上的。首先，如果線性規(guī)劃的可行域非空，則它是一個凸集，這個結(jié)論很容易證明。線性規(guī)劃的可行域的頂點與基可行解之間是一一對應(yīng)的，所以其頂點個數(shù)有限，這個結(jié)論與單純形法的關(guān)系不大，其證明可以省略。其次，線性規(guī)劃若有可行解，則一定有基可行解，這個結(jié)論是很重要的，為了更好地理解它的證明，我們先看下面的例子。
進一步講，若線性規(guī)劃有最優(yōu)解，其最優(yōu)解一定可以在其可行域的頂點上找到，也就是在其基可行解中找到，這樣就把一個從無限個可行解中找最優(yōu)轉(zhuǎn)化成在有限個可行解中找最優(yōu)。這是單純形法的理論基礎(chǔ)。為了更好地理解這一重要結(jié)論的證明，我們看下一個例子。
X2的正分量的個數(shù)是2。由于P2，P4線性無關(guān)，所以X2是基可行解。這樣我們就找到了一個最優(yōu)解也是基可行解。一般地，若X2的正分量對應(yīng)的系數(shù)列與線性相關(guān)，繼續(xù)上述過程，直到找到基可行解為止。
從基可行解中找最優(yōu)解所用的方法是單純形迭代法。那么，如何判斷一個線性規(guī)劃是否有最優(yōu)解？如何判斷一個基可行解是否是最優(yōu)解？在一個基可行解不是最優(yōu)的情況下如何迭代到下一個與其相鄰的更好的基可行解？為回答這些問題，我們舉例說明。
先講特例再引入最優(yōu)性判別定理、基可行解的改進定理以及單純形法的迭代步驟，學(xué)生就容易理解。即使針對有些專業(yè)的學(xué)生講解這些定理的證明，也容易接受。
總之，現(xiàn)代社會信息量大，大學(xué)生需要學(xué)習(xí)的課程很多，用于預(yù)習(xí)或復(fù)習(xí)的時間就很少，這樣上課時間就尤為珍貴，教師應(yīng)該如何講，才能使學(xué)生當(dāng)堂聽明白所授內(nèi)容，這是一個必須思考的問題。其實，運籌學(xué)這門學(xué)科更側(cè)重的是應(yīng)用，數(shù)學(xué)理論并不難，之所以有人覺得難學(xué)，是因為沒有把握一種好的學(xué)習(xí)方法。本文針對單純形法給出了一種循序漸進的教學(xué)模式，實踐證明這種模式能使學(xué)生更容易的理解課堂內(nèi)容，有利于激發(fā)學(xué)生的自信心和學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生在輕松掌握數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)上，能更好地探討運籌學(xué)的經(jīng)典案例的建模和求解，加強學(xué)生運用所學(xué)知識解決實際問題的能力和創(chuàng)新能力。
參考文獻：
[1]《運籌學(xué)》教材編寫組.運籌學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2004.
[2]Charnes，A.And Cooper W.W.，The stepping stone method of explaining linear programming calculations in thansportation problems，Management Science，1954，（1）：49-69.
[3]Dantzig，G.B.，Orden.A.and Wolfe.P.，Note on linear programming，Pacific J.Math.1955，（5）：183-195.
[4]Bland，G.G.，New finite pivoting rules of Simplex method，Math.Of Operations Research，1977，（2）：103-107.
[5]Hamdy，A.Taha，Operations Research-An Introduction[M].北京：人民郵電出版社，2007.
關(guān)鍵詞：非線性規(guī)劃；企業(yè)營銷；Lingo
中圖分類號：F274 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1673-291X（2016）04-0059-02
一、非線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型
對實際非線性規(guī)劃問題做定量分析，首先要選定適當(dāng)?shù)哪繕?biāo)變量和決策變量，并建立起目標(biāo)變量與決策變量之間的函數(shù)關(guān)系，即目標(biāo)函數(shù)，并建立約束條件。非線性規(guī)劃問題的一般數(shù)學(xué)模型可表述為求未知量x1，x2...，xn，使?jié)M足約束條件：
gi（x1，...，xn）≥0，i=1，...，m
hj（x1，...，xn）=0，j=1，...，p
并使目標(biāo)函數(shù)f（x1，...，xn）達到最小值（或最大值）。其中g(shù)i（x1，...，xn）和hj（x1，...，xn）均是定義在n維向量空間Rn上的某子集D（定義域）上的實值函數(shù)，且f（x1，...，xn）、gi（x1，...，xn）、hj（x1，...，xn）中至少有一個是非線性函數(shù)。記x=（x1，...，xn），則上述模型可以簡記為：
minf（x）或maxf（x）
s.t.gi（x）≥0，i=1，...，mhj（x）=0，j=1，...，p
定義域D中滿足約束條件的點稱為問題的可行解，全體可行解所組成的集合稱為問題的可行集。對于一個可行解x*，如果存在x*的一個領(lǐng)域，使目標(biāo)函數(shù)在x*處的函數(shù)值f（x*）不大于（或不小于）該領(lǐng)域中任何其他可行解處的函數(shù)值，則稱x*為問題的局部最優(yōu)解，如果f（x*）不大于（或不小于）一切可行解處的目標(biāo)函數(shù)值，則稱x*為該模型的整體最優(yōu)解。
二、應(yīng)用舉例
（一）案例介紹
宏宇電器公司計劃生產(chǎn)三類10種小家電，其中包括：熱水壺（1.5升、1.8升、2升）、豆?jié){機（0.9升、1.1升、1.3升）、電飯煲（2升、2.5升、3升、3.5升）。三類小家電的年最大生產(chǎn)能力分別為：熱水壺5萬個、豆?jié){機6.5萬個、電飯煲6.2萬個。制定使公司利潤最大的的生產(chǎn)、銷售方案（數(shù)據(jù)來源：2010年東北三省數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽A題）。
（二）案例求解
公司的收入和支出來自計劃內(nèi)銷售和計劃外銷售兩部分，公司所承擔(dān)的計劃內(nèi)成本應(yīng)該根據(jù)計劃內(nèi)的產(chǎn)品數(shù)量占總產(chǎn)品數(shù)量的比值確定，即：
公司承擔(dān)的生產(chǎn)成本=總成本×
公司利潤的表達式：
公司總利潤=已簽約合同的銷售額+意向簽約合同的銷售額+計劃外營銷部上繳利潤-計劃內(nèi)成本-經(jīng)費
第1種小家電的銷售額與訂購量的函數(shù)關(guān)系為：
f1（x）=-0.26713x2+11.418x+1.3873
同理可以得到，第2至10種家電銷售額與其訂購量的函數(shù)關(guān)系。記fi（x）為第i種小家電的銷售額，i=1，2，...，10，x代表訂購量。
同理，記gi（y）為計劃外銷售第i種小家電營銷部向企業(yè)繳納的利潤，i=1，2，...，10，y代表銷售量；記mi（z）為第種小家電的經(jīng)費，i=1，2，...，10，z代表產(chǎn)量；記ni（y）為第種小家電的經(jīng)費，i=1，2，...，10，y代表銷售量；記ni（y）為第i種小家電的經(jīng)費，i=1，2，...，10，y代表產(chǎn)量。
1.每個產(chǎn)品的訂購量不能超過客戶的最大意向簽約量。xij≤Mij，其中xij代表第j個顧客對第i種小家電的訂購量，i=1，2，...，10，j=1，2，3，4，5，Mij代表第j個客戶對第i種產(chǎn)品的最大簽約量。
2.計劃外產(chǎn)品的訂購量不能超過其最大可能訂購量。xi6≤Ni6，其中xi6代表計劃外的第i種小家電的訂購量，i=1，2，...，10，Ni6代表計劃外第i種產(chǎn)品的最大可能訂購量。
3.所有產(chǎn)品的訂購量均不能為負(fù)數(shù)。xij≥0，i=1，2，...，10，j=1，2，3，4，5，6。
4.各類產(chǎn)品的訂購量不能與超過其最大生產(chǎn)能力。∑3 i=1∑6 j=1xij≤12，∑6 i=4∑6 j=1xij≤20，∑3 i=7∑6 j=1xij≤19。
運用Lingo軟件得到最大值t=697.33萬元，目標(biāo)函數(shù)取得最大值時的各變量取值。為使公司利潤達到最大時的生產(chǎn)方案為：1至10種小家電分別對應(yīng)的生產(chǎn)數(shù)量（千件）為：11.59、24.54、13.87、14、29、20、12、24.3、14.3、8.4。
一、線性規(guī)劃求解
在線性約束的條件下，對于線性目標(biāo)函數(shù)進行最值問題的求解的過程，稱為線性規(guī)劃.最優(yōu)解指的是，在目標(biāo)函數(shù)z=f（x，y）取得最大值或者最小值的時候，x與y的值的大?。▁，y）就成為最優(yōu)解.其中若得到的最優(yōu)解皆為整數(shù)，則對應(yīng)的點（x，y）對應(yīng)的橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)，可以將這個解稱為整點.最優(yōu)解的求解方式是高中教材中的重要內(nèi)容.經(jīng)常見到的題型有：（1）題目中給出了一定量的人力、物力資源，以及一些已知條件，讓學(xué)生求解：如何安排，才能在一定的時間內(nèi)完成最多的任務(wù)或者取得最大的收益.（2）給出一項任務(wù)，以及一些已知的條件，讓學(xué)生求解：怎樣安排，才能在完成任務(wù)的情況下投入盡可能少的人員、物力資源.這部分內(nèi)容在教材中屬于新增加的內(nèi)容，介紹的比較籠統(tǒng)，使學(xué)生難以理解與掌握.調(diào)整優(yōu)值法是經(jīng)常采用的一種求解方式，通過這種方式，能得到最優(yōu)值，從而求得答案.
二、優(yōu)值調(diào)整方式
1.帶數(shù)值比較法.對于線性規(guī)劃的最優(yōu)解的調(diào)整，首先要找到一個范圍.在最優(yōu)解存在于可行域中時，對最優(yōu)值進行調(diào)整是比較簡單的一種情況，此時只需要在可行域的范圍內(nèi)尋找出所有的可行解，然后將每一個解都帶入到目標(biāo)函數(shù)中進行驗證即可.通過比較代入解值得出來的結(jié)果值，便可得到調(diào)整后的最優(yōu)值.這種調(diào)整方式，需要將每一個值都依次代入，適用于可行域中最優(yōu)解較少的情況.
2.調(diào)整理論值.這種對最優(yōu)值進行調(diào)整的方式，就是首先根據(jù)理論上的分析得出最優(yōu)值存在的一個范圍區(qū)間，然后在計算出理論上的最優(yōu)解對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值的前提下對于目標(biāo)函數(shù)值進行逐步調(diào)整，同時需要作出對應(yīng)的直線，在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖象，并且在可行域內(nèi)的直線上尋找可能存在的最優(yōu)解.如果存在則最優(yōu)解就此找到，否則就需要對理論上的這個值進行繼續(xù)調(diào)整，直到能夠出現(xiàn)最優(yōu)解為止.
3.根據(jù)范圍求解.這種對最優(yōu)解進行調(diào)整的方式，就是在理論最優(yōu)解的基礎(chǔ)上計算出目標(biāo)函數(shù)值，并且對目標(biāo)函數(shù)值進行逐步調(diào)整.在這樣的前提下，將最優(yōu)解帶入到線性約束條件中進行消元處理，能夠求出未知量x和y的范圍，然后在這個范圍內(nèi)尋找最優(yōu)解，并且進行調(diào)整.
4.逐步調(diào)整法.這種方式是在得出理論上最優(yōu)值的基礎(chǔ)上求出對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值，并且對目標(biāo)函數(shù)值進行逐步調(diào)整.在調(diào)整時，將其看作是一個二元的不定方程，從而確定出這個方程的解值，然后對其進行判斷是否為可行解.
三、典型例題分析
例假如你需要開一家小店，小店里主要經(jīng)營衣服和褲子.由于你的存款有限，所以在經(jīng)營過程中受到很多限制.（1）由于金額不足，你每次只能最多進50件衣服；（2）最多只能進30件褲子；（3）為了保證你的小店能正常營業(yè)，你必須要有衣服和褲子一共40件；（4）你的小店在進貨時，每件衣服的進價為36元，每條褲子的進價為48元.現(xiàn)在你只有2400元錢，假如說小店中每賣一件衣服就會增加利潤18元，而一條褲子的利潤是在20元.那么，你需要怎樣進貨，才能使小店獲得最大的收益？
解：設(shè)小店進貨時，進了x件衣服和y件褲子，取得的利潤為z元.根據(jù)題中的條件，能得出如下方程式：0≤x≤50，0≤y≤30，
x+y≥40，
36x+48y≤2400.
【關(guān)鍵詞】線性規(guī)劃；模型；最優(yōu)化；應(yīng)用
由于煉化企業(yè)具有生產(chǎn)規(guī)模龐大、工藝結(jié)構(gòu)復(fù)雜、產(chǎn)品品種繁多、市場變化快等特點，所以制定生產(chǎn)計劃時要考慮的因素很多，人腦很難考慮周全。如果采用傳統(tǒng)的經(jīng)驗和方法，就難以對企業(yè)擁有的各種資源的作用、產(chǎn)品價格的突然變化以及市場對企業(yè)的需求等進行綜合分析的處理，當(dāng)企業(yè)生產(chǎn)和經(jīng)營過程突然遇到問題時，很難及時而準(zhǔn)確地提出解決方案，從而嚴(yán)重影響企業(yè)經(jīng)濟效益的提高。而在新煉化企業(yè)建立過程當(dāng)中，規(guī)劃環(huán)節(jié)起著非常重要的作用。而傳統(tǒng)的規(guī)劃方法不僅需要長時間的現(xiàn)場數(shù)據(jù)調(diào)研，耗費大量的人力資源，面對生產(chǎn)條件臨時改變的應(yīng)對也顯得十分不靈活，計劃加工原油品種的改變，加工量的變化以及產(chǎn)品結(jié)構(gòu)的調(diào)整，都會使得之前進行的規(guī)劃變成無用功。煉化線性規(guī)劃通用模型（以下簡稱通用模型）是以煉廠計劃優(yōu)化軟件為基礎(chǔ)，利用線性優(yōu)化原理對煉廠生產(chǎn)流程進行模擬，同時可以根據(jù)不同約束條件自動選擇最優(yōu)生產(chǎn)方案的一種線性規(guī)劃模型。
1.通用模型的建設(shè)
原油數(shù)據(jù)采用2012年11月份最新的原油評價數(shù)據(jù)，切割溫度按照通常的原油切割溫度，原油切割方案中包含原油各餾分的收率信息及各側(cè)線的主要物性信息，如石腦油餾分的芳潛，渣油的殘?zhí)?、金屬含量等?/p>
模型為煉化一體化模型，煉油部分涵蓋目前所用主流加工裝置及采用的技術(shù)手段，C1-C2組分加工裝置有制氫及PSA裝置，C3組分主要加工裝置有聚丙烯，C4組分主要加工裝置有MTBE及烷基化，石腦油組分、汽油組分加工裝置主要為重整裝置、汽油加氫、醚化裝置，航煤組分加工裝置為航煤加氫，柴油組分加工裝置主要有柴油加氫及柴油改質(zhì)；蠟油加工裝置有蠟油加氫、加氫裂化及催化裂化裝置，減渣加工裝置有延遲焦化、渣油加氫、溶劑脫瀝青、瀝青氧化及催化裂化（部分摻煉）；廢氣、廢水回收裝置主要為硫磺回收裝置；另外煉油部分還有汽油調(diào)和池，柴油調(diào)和池及其他相關(guān)組分的調(diào)和匯流裝置。
油部分涵蓋酮苯脫蠟、糠醛精制、白土精制、石蠟白土、石蠟加氫及油加氫整套油及石蠟生產(chǎn)路線。
化工部分涵蓋乙烯裂解及芳烴聯(lián)合，其中乙烯加工路線中C2線主要加工裝置為聚乙烯及乙二醇，C3加工路線主要為聚丙烯及丙烯腈，C4加工路線主要有丁二烯抽提，化工MTBE及順丁橡膠，C5-C10加工路線主要為裂解汽油加氫，芳烴抽提。芳烴聯(lián)合裝置主要有重整、芳烴抽提、PX、PTA以及后續(xù)的順丁橡膠及ABS裝置。
綜合考慮裝置對進料物性的要求、同一裝置不同進料性質(zhì)對應(yīng)的產(chǎn)品收率的差異，以及同一裝置不同進料同一產(chǎn)品物性的不同，建立各加工裝置的裝置模型，以催化重整、催化裂化、加氫裂化及乙烯裂解為例進行相關(guān)模型結(jié)構(gòu)的介紹。
模型中重整料主要包括直餾石腦油、加裂石腦油及各類加氫裝置產(chǎn)生的加氫石腦油。產(chǎn)品分布是與進料的芳潛含量相關(guān)的，芳潛越高，三苯收率越高，進料的芳潛含量依據(jù)進料的物性及所占的比例計算而來。該模型會通過進料的芳潛含量自動計算出相應(yīng)的產(chǎn)品分布。
在催化裂化不同加工工藝中，一為普通的催化裂化工藝技術(shù)，一為采用MIP的催化裂化工藝技術(shù)，一為采用ARGG的催化裂化工藝技術(shù)。不同工藝技術(shù)反映在模型中的區(qū)別主要是產(chǎn)品分布及產(chǎn)品性質(zhì)不同，以普通的催化裂化技術(shù)與ARGG技術(shù)為例列舉各工藝的收率相關(guān)數(shù)據(jù)。表1所示為兩種催化裂化汽油性質(zhì)對比。
采用不同的催化裂化技術(shù)生產(chǎn)的汽油性質(zhì)不同，主要體現(xiàn)在辛烷值、硫含量、烯烴含量及芳烴含量方面。
加氫裂化裝置建立了三套生產(chǎn)方案，分別為航煤方案、柴油方案及石腦油方案，不同方案下石腦油、航煤及柴油的收率不同，模型可以優(yōu)化計算出不同條件下，何種方案最優(yōu)。
此外，為了方便前臺展示，通用模型還開發(fā)了報表展示系統(tǒng)，通過后臺的數(shù)據(jù)選取自動生成所需報表。
2.通用模型的應(yīng)用
模型建立之后，對各裝置進行約束條件控制，包括生產(chǎn)能力，加工天數(shù)等，并在原料購入表及產(chǎn)品銷售表中進行定量定價，選擇不同的原油及裝置路線，就可以計算出加工不同原油的不同的最優(yōu)加工方案及加工某一種原油的最優(yōu)加工路線及裝置開停方案。
下面首先以A煉廠加工某兩種原油1、2為例。
A煉廠加工某種原油1的流程如下：
將通用模型中裝置與該煉廠匹配后，進行優(yōu)化運算得出該原油最優(yōu)加工路線：常減壓+渣油加氫+催化裂化+加氫裂化+大重整+小乙烯，走多產(chǎn)芳烴加工路線。
最優(yōu)路線配套流程為：常壓蒸餾加工量1000萬噸，減壓蒸餾457萬噸，渣油加氫192萬噸，催化裂化165萬噸，加氫裂化303萬噸，乙二醇乙烯處理量15萬噸，連續(xù)重整151萬噸，柴油加氫精制加工量147萬噸，航煤加氫加工量52萬噸，汽油加氫加工量34萬噸，氣體分離加工量30萬噸，MTBE3萬噸，烷基化加工量15萬噸，制氫加工量10萬噸，硫磺回收4萬噸，PSA加工量5萬噸，乙烯裂解加工量56萬噸，聚乙烯加工量39萬噸，苯乙烯加工量8萬噸，丙烯腈加工量24萬噸，丁二烯抽提加工量12萬噸，丁苯橡膠加工量29萬噸，丁苯3000線加工量29萬噸，裂解汽油加氫加工量37萬噸，化工MTBE6萬噸，聚丙烯能力8萬噸。
A煉廠加工某種原油2的流程如下：
原油2最優(yōu)加工路線：常減壓+油+催化裂化+加氫裂化+重整+乙烯。
最優(yōu)路線配套流程為：常壓蒸餾加工量1000萬噸，減壓蒸餾688萬噸，催化裂化471萬噸，加氫裂化161萬噸，乙二醇乙烯處理量15萬噸，連續(xù)重整加工量84萬噸，柴油加氫精制127萬噸，汽油加氫加工量96萬噸，氣體分離加工量86萬噸，MTBE加工量10萬噸，烷基化加工量43萬噸，制氫加工量6萬噸，硫磺回收1萬噸，PSA加工量3萬噸，油高壓加氫加工量100萬噸，乙烯裂解加工量21萬噸，聚乙烯加工量5萬噸，苯乙烯裝置加工量3萬噸，丙烯腈加工量9萬噸，丁二烯抽提加工量5萬噸，丁苯橡膠加工量11萬噸，丁苯3000線加工量11萬噸，PX裝置能力12萬噸，裂解汽油加氫加工量14萬噸，化工MTBE加工量2萬噸，聚丙烯能力24萬噸。
表2 最優(yōu)加工路線邊際貢獻對比情況： 單位：元/噸
項目 原油1 原油2 差異
噸油邊際貢獻 205 538 -333
原油成本 5293 5021 272
原油運費 105 0 105
綜商 93.6% 92.3% 1.3%
成品油收率 62.0% 67.3% -5.3%
芳烴收率 7.9% 1.2% 6.7%
由此看出，該企業(yè)加工原油2的效益要遠遠大于加工原油1，從而可以為其生產(chǎn)計劃提供參考。
其次，以A、B、C三家煉廠同時加工原油1為例：
A煉廠原油1最優(yōu)路線：
常壓蒸餾加工量1000萬噸，減壓蒸餾457萬噸，渣油加氫192萬噸，催化裂化182萬噸，加氫裂化231萬噸，連續(xù)重整248萬噸，柴油加氫精制加工量224萬噸，汽油加氫加工量37萬噸，氣分加工量33萬噸，MTBE4萬噸，烷基化加工量17萬噸，制氫加工量5萬噸，硫磺回收加工量4萬噸，PSA加工量8萬噸，聚丙烯能力9萬噸。
B煉廠原油1最優(yōu)路線：
常壓蒸餾加工量850萬噸，減壓蒸餾加工量388萬噸，渣油加氫加工量163萬噸，催化裂化加工量140萬噸，加氫裂化加工量196萬噸，連續(xù)重整加工量164萬噸，柴油加氫精制加工量186萬噸，汽油加氫加工量29萬噸，醚化裝置加工量9萬噸，氣分加工量25萬噸，MTBE3萬噸，烷基化加工量13萬噸，制氫加工量6萬噸，硫磺回收加工量4萬噸，PSA加工量6萬噸，乙烯裂解加工量20萬噸，聚乙烯加工量6萬噸，乙二醇乙烯處理量13萬噸，化工聚丙烯加工量10萬噸，PX能力35萬噸，裂解汽油加氫加工量13萬噸，煉油聚丙烯能力7萬噸。
C煉廠原油1最優(yōu)路線：
常壓蒸餾加工量850萬噸，減壓蒸餾加工量388萬噸，渣油加氫加工量163萬噸，催化裂化加工量140萬噸，加氫裂化加工量203萬噸，連續(xù)重整加工量60萬噸，柴油加氫精制加工量38萬噸，汽油加氫加工量29萬噸，醚化裝置加工量12萬噸，氣分加工量25萬噸，烷基化加工量15萬噸，制氫加工量7萬噸，硫磺回收加工量4萬噸，PSA裝置加工量2萬噸，乙烯裂解加工量85萬噸，聚乙烯加工量70萬噸，乙二醇乙烯處理量10萬噸，苯乙烯處理量16萬噸，化工聚丙烯加工量35萬噸，丙烯腈能力4萬噸，丁二烯抽提加工量16萬噸，丁苯橡膠加工量15萬噸，ABS加工量18萬噸，裂解汽油加氫加工量53萬噸，芳烴抽提加工量25萬噸，化工MTBE加工量8萬噸，煉油聚丙烯能力7萬噸。
表3 現(xiàn)有加工路線優(yōu)化后邊際貢獻對比情況：
單位：元/噸
項目 A煉廠 B煉廠 C煉廠
現(xiàn)狀 -64 -123 -153
優(yōu)化后 4 89 15
差異 68 212 168
可以看出，優(yōu)化之后的生產(chǎn)路線與原生產(chǎn)路線相比，效益都有了大幅提升，而A煉廠加工此種原油效益最高，因此可以考慮減少B、C兩煉廠此種原油加工量，增加A煉廠加工量。
3.通用模型的意義
研究通用模型主要有以下意義：
（1）新煉廠的建立流程在其規(guī)劃環(huán)節(jié)缺少模型支持，規(guī)劃時間長，不利于快速決策，而通用模型可以在輸入原油配比之后快速給出最優(yōu)產(chǎn)品結(jié)構(gòu)及裝置配比；在老煉廠的改擴建過程中，通用模型可以在原有裝置基礎(chǔ)上快速計算出新裝置的最優(yōu)加工能力及進出料情況，從而能大大節(jié)省時間與人力。
（2）近些年來，原油資源日益緊缺，原油種類更加復(fù)雜，現(xiàn)存的適用于單個油種的煉化模型很難適應(yīng)更多種類油品的優(yōu)化方案，通用模型可以分析單油種在不同企業(yè)的最優(yōu)加工情況，來確定哪家企業(yè)更適合加工；同時可以分析不同原油在同一企業(yè)的加工情況，為企業(yè)加工何種原油提供優(yōu)化指導(dǎo)。
參考文獻
[1]王一冠，蔣決根.RPMS在煉化企業(yè)中的應(yīng)用[M].石油化工技術(shù)經(jīng)濟，2007，1.
關(guān)鍵詞： 線性規(guī)劃； 目標(biāo)函數(shù)； 最優(yōu)解
中圖分類號： G622 文獻標(biāo)識碼： A 文章編號： 1009-8631（2012）07-0159-01
一、最優(yōu)解的確定方法
線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+by取最大值時的最優(yōu)解與b的正負(fù)有關(guān)，當(dāng)b>0時，最優(yōu)解將ax+by=0在可行域內(nèi)向上方平移到端點（一般是兩直線的交點）的位置得到的.當(dāng)b0時的情況相反.筆者把這樣的結(jié)論寫成了這樣一句話：“z=ax+by，b>0上移時z的值增大，下移z的值減?。籦
二、線性規(guī)劃問題應(yīng)用的多樣性
（一）求目標(biāo)函數(shù)的最值
例1、若變量x、y滿足約束條件x-y+2≥25x-y-10≤0x≥0，y≥0，則z=2x+y的最大值是________.
解析： 步驟如下：
作出可行域（如圖1）
----作直線2x+y=0
----找最優(yōu)解
----求最值；
目標(biāo)函數(shù)y前的系數(shù)b>0則上移
時z的值增大，由x-y+2=05x-y-10=0
得A（3，5），所以， zmax=2×3+5=11.
例2、已知x、y滿足x+y-4≤0x-2y-3≤04x+y-4≥0，y≥0，則使目標(biāo)函數(shù)z=4x+y-10取得最小值的最優(yōu)解有（ ）.
A、1個 B、2個 C、3個 D、無數(shù)個
解析：可行域（如圖2），由于4x+y-10=0與4x+y-4=0平行且z=4x+y-10中b>0，于是下移是 z的值減小，所以最優(yōu)解有無數(shù)個，選D.
（二）含參數(shù)的線性規(guī)劃問題
例3、設(shè)不等式組x-y+5≥0y≥a0≤x≤2，所表示的平面區(qū)域是一個三角形區(qū)域，則a的取值范圍為________.
解析：可行域（如圖4），由x-y+5=0x=2的A（2，7）陰影部分為x-y+5≥0與0≤x≤2共同表示的平面區(qū)域，要使平面區(qū)域為一個三角形區(qū)域，則y=a應(yīng)在l1與l2之間，由于B（0，5），所以5≤a
例4、在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組x+y-1≥0ax-y+1≥ax-1≤0，（a為常數(shù)）所表示的平面區(qū)域的面積為2，則a的值為（ ）.
A、-5 B、1 C、2 D、3
解析：可行域（如圖5），根據(jù)約束條件先作出x+y-1≥0與x-1≤0所表示的平面區(qū)域，然后再去處理含參數(shù)的二元一次不等式ax-y+1=0即y=ax+1，則直線恒過A（0，1），假設(shè)y=ax+1所表示的直線為l，與x=1交于C，過A作BC垂線交BC于D，由ABC的面積為2，則BC=4，所以C（1，4），因為C在l上，于是由4=a+1，得a=3，則選D.
（三）與向量有關(guān)的線性規(guī)劃問題
例5、已知P（x，y）在由不等式組x+y-3≤0x-y-1≤0x-1≥0確定的平面區(qū)域內(nèi)，O為坐標(biāo)原點，點A（-1，2），則■cos∠AOP的最大值為______.
解析：可行域（如圖7），要求■cos∠AOP的最大值，則自然考慮數(shù)量積及幾何意義，■·■=■■cos∠AOP因為■=（-1，2），■=（x，y），■=■，所以■cos∠AOP=■=■，要求■cos∠AOP最大，需要（-x+2y）的值最大，令z=-x+2y，于是轉(zhuǎn)化為求目標(biāo)函數(shù)最值問題，由x+y-3=0x-1=0得B（1，2），所以zmax=-1×1+2×2=3.（■cos∠AOP）max=■=■■.
