時(shí)間：2023-05-29 17:51:13
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇概率公式，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
引言
隨機(jī)現(xiàn)象存在于我們?nèi)粘Ｉ畹姆椒矫婷婧涂茖W(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域，概率論知識(shí)在生命科學(xué)和醫(yī)學(xué)中有著廣闊的應(yīng)用天地.本文主要利用概率論中的全概率公式與貝葉斯公式，分析臨床診斷上的相關(guān)問題.
一.全概率公式與貝葉斯公式在生物醫(yī)學(xué)上的應(yīng)用
（一）全概率公式與貝葉斯公式
在古典概率中.全概率公式及貝葉斯公式占有重要的地位，它能將復(fù)雜事件的概率通過簡(jiǎn)單事件的概率計(jì)算出來.全概率公式與貝葉斯公式是條件概率的兩個(gè)基本公式.基于條件概率和概率的可加性，可以得到全概率公式和貝葉斯公式.
定理1（全概率公式）
設(shè)，（稱為的一個(gè)剖分），，則對(duì)任
一事件A，有.
定理2（貝葉斯公式）
基于定理1條件，則對(duì)任一事件A（）有
.
（二）全概率公式與貝葉斯公式在臨床鑒別診斷上的應(yīng)用
疾病的診斷主要依據(jù)化驗(yàn)檢查、癥狀、體征，但是有些疾病的癥狀、體征非常相似，該如何鑒別呢？醫(yī)生往往憑直覺和經(jīng)驗(yàn)，但經(jīng)驗(yàn)還需理論的科學(xué)的評(píng)判.
一個(gè)52歲的家庭婦女，甲狀腺腫已6年，近5個(gè)月有增大，咳嗽、氣哽，但無吞咽困難，聲音也不嘶啞，無煩躁，甲狀腺部位無疼痛.經(jīng)檢查，甲狀腺功能正常，腺體小而堅(jiān)硬，結(jié)節(jié)性，易隨吞咽動(dòng)作而上下活動(dòng)，錐體葉未觸及，頸淋巴結(jié)無明顯腫大，血沉52mm/hr，麝香草酚濁度3.9單位，甲狀腺24hr攝取率68%，48hrPBI1.01%（每升血漿）.BEI為93.6%PBI，沉淀試驗(yàn)陰性.試診斷此病為（1）淋巴瘤性（2）單純性（3）甲狀腺癌中那一種甲狀腺病.
解：設(shè){淋巴瘤性甲狀腺腫}，{單純性甲狀腺腫}，{甲狀腺癌}，
記該病例的22個(gè)征候群則分別為，則鑒別的具體做法如下：
（1）制定征候群的條件概率統(tǒng)計(jì)表：用155個(gè)病例資料為標(biāo)準(zhǔn)，按三種進(jìn)行征候群的統(tǒng)計(jì)，頻率作為條件概率的估計(jì).
（2）計(jì)算患者條件概率（B為患者癥狀）如果對(duì)每種甲狀腺 來說，各個(gè)征候彼此獨(dú)立，那么則有；由此可得：10-1；10-1.
（3）比較患者患各病的后驗(yàn)概率：假定三種甲狀腺病互不相容，引用貝葉斯公式.其中為先驗(yàn)概率，可得：，，.顯然 最大，故診斷該病人為淋巴瘤性甲狀腫，手術(shù)結(jié)果也證實(shí)了這個(gè)診斷.
二.總結(jié)
在研究受隨機(jī)影響的醫(yī)學(xué)問題時(shí)，需要用全概率公式和貝葉斯公式研究數(shù)據(jù)有效的收集、整理、分析以及對(duì)生物醫(yī)學(xué)問題做出的推測(cè)和預(yù)測(cè).全概率公式與貝葉斯公式是統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)，為基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)、臨床檢驗(yàn)、臨床醫(yī)學(xué)等采取決策和行動(dòng)提供了重要的依據(jù)及建議，以推進(jìn)生物醫(yī)學(xué)的發(fā)展，從而促進(jìn)社會(huì)進(jìn)步.
參考文獻(xiàn)：
[1] 盛驟，謝式千.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：高等教育出版社，2001.
[2]張仲，劉泗章.醫(yī)藥生物數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].北京：中國(guó)醫(yī)藥科技出版社，1992.
[3]劉定遠(yuǎn)，唐明春.醫(yī)學(xué)數(shù)量分析[M].北京：中國(guó)協(xié)和醫(yī)科大學(xué)出版社.1998.
關(guān)鍵詞：概率；計(jì)算；方法
中圖分類號(hào)：G712 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）53-0198-02
概率的公理化定義方面的公式是概率論古典概型問題中的重要公式，它本身公式繁多，許多問題更夾雜了排列、組合、函數(shù)、不等式等數(shù)學(xué)問題，使得概率問題更加復(fù)雜多變，只有掌握好正確的方法才能使問題快捷求解。
一、概率的公理化定義公式
（一）基本公式
概率的公理化定義中所涉及的概率計(jì)算的基本公式：設(shè)Ω為樣本空間，A為事件，
以上公式再結(jié)合事件與集合的關(guān)系、條件概率、乘法公式、事件的獨(dú)立性、全概率公式或貝葉斯公式后，概率運(yùn)算的問題就變得更加麻煩了，不掌握好處理概率的好的方法，就步履維艱了。
二、求解概率問題的方法和技巧
（一）文氏圖法，利用文氏圖解決兩個(gè)事件概率的運(yùn)算問題
數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中最好用的方法之一，用文氏圖來記憶有關(guān)概率的一些公式會(huì)非常容易，若掌握了文氏圖與概率公式的對(duì)應(yīng)，對(duì)于這么多的公式也沒必要全都裝進(jìn)腦袋，遇到概率的運(yùn)算問題畫畫文氏圖就能輕松解決了，特別是兩個(gè)事件的概率運(yùn)算問題。
例1.對(duì)于任意兩個(gè)事件A和B，則P（A-B）是（ ）。
（A）P（A）-P（B） （B）P（A）-P（B）+P（AB）
（C）P（A）-P（AB） （D）P（A）+P（B）-P（AB）
本題是兩個(gè)事件的差的概率，按照集合的文氏圖畫法可知，左橢圓區(qū)域表示事件A，右橢圓區(qū)域表示事件B，左橢圓中白色區(qū)域?yàn)槭录嗀-B，把事件的概率用對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積來理解，很容易得出C選項(xiàng)是正確的。
（二）轉(zhuǎn)化法，正確理解所求事件的概率，盡量把事件劃分成簡(jiǎn)單易求概率的事件，再利用對(duì)應(yīng)公式求解
在處理概率的問題時(shí)，有些同學(xué)就是找不到問題的突破口，也不知道用哪個(gè)公式來求解問題，特別是對(duì)于復(fù)雜的事件，若是不能把它分解成相互獨(dú)立、不重復(fù)也不遺落的簡(jiǎn)單事件，就很難實(shí)現(xiàn)問題的求解，因?yàn)楹芏喔怕蕟栴}就是通過事件的關(guān)系所對(duì)應(yīng)的公式運(yùn)算來進(jìn)行的。
例2.進(jìn)行一系列獨(dú)立試驗(yàn)的成功率都是p，則在試驗(yàn)成功2次之前已經(jīng)失敗3次的概率是多少？
本題的難點(diǎn)是如何理解“試驗(yàn)成功2次之前已經(jīng)失敗3次”，這說明進(jìn)行了5次試驗(yàn)，第5次試驗(yàn)成功，前4次試驗(yàn)中有一次是試驗(yàn)成功，其他3次都失敗了，那么“試驗(yàn)成功2次之前已經(jīng)失敗3次”等同于“前四次試驗(yàn)只有1次成功且第5次試驗(yàn)成功”，因此記A={第5次試驗(yàn)成功}，B={前4次試驗(yàn)只有1次成功}，A、B為相互獨(dú)立的事件，P（A）=p，B事件的概率為伯努利概型本題中的關(guān)鍵問題就是對(duì)于復(fù)雜事件的分解，這直接決定著問題是否能順利得到結(jié)果，復(fù)雜事件的理解要經(jīng)過認(rèn)真咀嚼，理順?biāo)馑贾邪鯓拥幕臼录约八麄冎g是怎樣的關(guān)系。一些明顯的字眼“且”、“或”、“同時(shí)發(fā)生”、“至少有一個(gè)發(fā)生”、“不發(fā)生”等所表達(dá)的事件的關(guān)系一定要明白，在不含有這些字眼的復(fù)雜事件中再認(rèn)真思考如何分解成簡(jiǎn)單事件。
（三）推演法，根據(jù)題中的條件推演出相應(yīng)的結(jié)論
很多問題中的條件實(shí)際上就是一種概率的運(yùn)算關(guān)系，再通過表達(dá)出的數(shù)學(xué)關(guān)系和表現(xiàn)形式結(jié)合公式進(jìn)行推導(dǎo)就能得到結(jié)論。
例3.若事件A、B、C同時(shí)發(fā)生必導(dǎo)致事件D發(fā)生，試證：P（A）+P（B）+P（C）-P（D）≤2
本題中，由條件可知ABC？奐D，則有P（D）≥P（ABC），這和本題中要證明的不等式不謀而合，再?gòu)墓街袑ふ矣惺录朔ü降模碢（AB∪C）=P（AB）+P（C）-P（ABC），則P（ABC）=P（AB）+P（C）-P（AB∪C），同理：P（AB）=P（A）+P（B）-P（A∪B），則有 P（D）≥P（ABC）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB∪C）-P（A∪B）≥P（A）+P（B）+P（C）-2.
三、小結(jié)
概率的計(jì)算不僅僅是用排列組合的知識(shí)就能解決的了，它加入了概率公理化定義的公式后，變成了比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，需要理解事件、結(jié)合公式的應(yīng)用或是推導(dǎo)，以及應(yīng)用數(shù)學(xué)的思想方法和解題方法。概率問題的求解，也需要我們不斷地去探索和實(shí)踐，我們要勇于面對(duì)困難，勤思考、多總結(jié)，這樣才能成功的解決概率方面的問題。
參考文獻(xiàn)：
關(guān)鍵詞： 概率與統(tǒng)計(jì) 易錯(cuò)點(diǎn) 應(yīng)對(duì)技巧
概率與統(tǒng)計(jì)是高中的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，也是學(xué)生在運(yùn)用中很容易錯(cuò)的一個(gè)知識(shí)點(diǎn).下面我結(jié)合這幾年在教學(xué)過程中的感受，談?wù)劯怕逝c統(tǒng)計(jì)的易錯(cuò)點(diǎn).具體從以下幾點(diǎn)進(jìn)行剖析.
一、易錯(cuò)點(diǎn)分析
1.基本事件的總數(shù)算錯(cuò).
2.錯(cuò)用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式.
3.對(duì)于復(fù)雜的概率問題沒有及時(shí)應(yīng)用對(duì)立事件的性質(zhì)求解.
二、錯(cuò)點(diǎn)應(yīng)對(duì)技巧
1.要以課本概念和方法為主，以熟練技能、鞏固概念為目標(biāo)，查找知識(shí)缺漏，總結(jié)解題規(guī)律.
2.相互獨(dú)立事件首先要概念清楚，善于把所求概率事件劃分為幾個(gè)獨(dú)立的事件.一般地，解答這類問題往往需要綜合運(yùn)用等可能事件的概率公式.
3.對(duì)于互斥事件，要首先搞清概念，然后要善于將一個(gè)事件劃分為若干個(gè)互斥事件的和，能靈活運(yùn)用公式求概率，還要善于靈活運(yùn)用“正難則反”的思想來求復(fù)雜事件的對(duì)立事件的概率.
三、例題剖析
易錯(cuò)點(diǎn)1：基本事件的總數(shù)算錯(cuò)
例1：在一個(gè)口袋中裝有5個(gè)白球和3個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同，從中摸出3個(gè)球，至少摸到2個(gè)黑球的概率等于?搖?搖?搖?搖.
解：從5個(gè)白球和3個(gè)黑球中摸出3個(gè)球，共有C種方法，摸到2個(gè)黑球有CC種方法，摸到3個(gè)黑球有CC種方法.至少摸到2個(gè)黑球的概率p==.
誤區(qū)警示：求等可能事件的概率，首先明確等可能事件中的基本事件是什么，其次要明確由基本事件組成的一般事件中包含基本事件的可能結(jié)果有多少種，最后由定義求解其概率.
易錯(cuò)點(diǎn)2：錯(cuò)用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式
例2：甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)排球比賽，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，單局比賽甲隊(duì)勝乙隊(duì)的概率為0.6.本場(chǎng)比賽采用五局三勝制，即先勝三局為勝，比賽結(jié)束.設(shè)各局比賽相互之間沒有影響，求：
（1）前三局比賽甲隊(duì)領(lǐng)先的概率；（2）本場(chǎng)比賽乙隊(duì)以3∶2取勝的概率.
解：?jiǎn)尉直荣惣钻?duì)勝乙隊(duì)的概率為0.6，乙隊(duì)勝甲隊(duì)的概率為1-0.6=0.4.
（1）記“甲隊(duì)勝三局”為事件A，“甲隊(duì)勝兩局”為事件B，
則P（A）=0.6=0.216,P（B）=C×0.6×0.4=0.432.
所以前三局比賽甲隊(duì)領(lǐng)先的概率為P（A）+P（B）=0.648.
（2）若本場(chǎng)比賽乙隊(duì)以3∶2取勝，則前四局雙方應(yīng)以2∶2戰(zhàn)平且第五局乙隊(duì)勝.
所以，所求事件的概率為C×0.4×0.6×0.4=0.138.
誤區(qū)警示：第二問中“乙隊(duì)以3∶2取勝”，并不是五局比賽中乙恰好勝了三次，通過該題，明確比賽中求概率的方法，要結(jié)合所學(xué)知識(shí)，靈活地應(yīng)用到實(shí)際中來，不能盲目地套用公式.
易錯(cuò)點(diǎn)3：對(duì)于復(fù)雜的概率問題沒有及時(shí)應(yīng)用對(duì)立事件的性質(zhì)求解.
例3：從10位同學(xué)（其中6女，4男）中隨機(jī)選出3位參加測(cè)驗(yàn)，每位女同學(xué)能通過測(cè)驗(yàn)的概率均為，每位男同學(xué)能通過測(cè)驗(yàn)的概率均為.試求：
（1）選出的3位同學(xué)中，至少有一位男同學(xué)的概率；
（2）10位同學(xué)中的女同學(xué)甲和男同學(xué)乙同時(shí)被選中且通過測(cè)驗(yàn)的概率.
解：（1）解法一：從10位同學(xué)中選出3位參加測(cè)試的選出方法有C=120（種）.至少有一位男同學(xué)可分為以下三種情況：1男2女；2男1女；3男.于是有CC+CC+C=100（種）選法，于是=為所求.
解法二：“至少有一位男同學(xué)”等價(jià)于“不都是女同學(xué)”，而都是女同學(xué)的情況有C種，所以至少有一位男同學(xué)的概率是1-=.
（2）解：10位同學(xué)中女同學(xué)甲和男同學(xué)乙同時(shí)被選中的概率為，他們通過測(cè)驗(yàn)的概率是×，這兩類事件應(yīng)該是相互獨(dú)立的，是同時(shí)發(fā)生的，應(yīng)該使用乘法得，××=.
誤區(qū)警示：“至少有一個(gè)男生”的情況有三種，容易漏掉且計(jì)算量大，通過求對(duì)立事件的概率，則為我們開辟了：正難則反“之門，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.對(duì)于復(fù)雜的概率問題，我們可用P（A）+P（）=P（A+）=1這個(gè)公式，轉(zhuǎn)化為先求其對(duì)立事件的概率，再求所求事件的概率，從而使問題簡(jiǎn)單化.
四．規(guī)律總結(jié)
1.P（A）=是等可能事件的概率，又是計(jì)算這種概率的基本方法，其中n是基本事件的總個(gè)數(shù)，m是事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)，所以求這類事件的概率，首先要明確基本事件是什么，其次要明確由基本事件組成的一般事件中包含基本事件的可能結(jié)果有多少種，最后由定義求其概率.
2.當(dāng)A與B是互斥事件時(shí)，P（A+B）=P（A）+P（B）,所以對(duì)于復(fù)雜的概率通常有兩種常用的解題方法：一是將所求事件化成彼此互斥事件的和；二是先去求事件的對(duì)立事件的概率，然后再求所求事件的概率.
3.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，是在同樣的條件下重復(fù)地，各次之間相互獨(dú)立地進(jìn)行的一種試驗(yàn)，n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率為CP（1-p），使用此公式求概率時(shí)應(yīng)先考查是否滿足下列條件：①在一次實(shí)驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率是一個(gè)常數(shù)P；②n次試驗(yàn)不僅是在完全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)試驗(yàn)，而且各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的；③該公式表示n次試驗(yàn)中恰好發(fā)生了k次的概率.
五、探究與突破
1.熟練應(yīng)用排列組合知識(shí)的基本公式計(jì)算事件的概率.無論是基本事件的總數(shù)，還是由基本事件組成的一般事件的總數(shù)的計(jì)算都是綜合運(yùn)用了排列、組合的知識(shí)，是排列、組合知識(shí)的深化和延伸.這說明排列、組合知識(shí)是解決有關(guān)等可能事件的概率的工具和基礎(chǔ).
關(guān)鍵詞：差分方程；概率；遞推關(guān)系；全概率公式
■差分方程概述
1． 差分的概念
設(shè)函數(shù)y=f（t）中的自變量t取所有的整數(shù)，并記其函數(shù)值為y■．當(dāng)t=…，-2，-1， 0，1，2，…，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為…，y-2，y-1，y0，y1，y2，…，yn，…，差yt+1－yt稱為函數(shù)y■的差分，也稱為一階差分，記為Δyt，則函數(shù)y=f（t）在時(shí)間t的一階差分為Δyt=yt+1－yt．
一階差分的性質(zhì)
（1）若y=C（C為常數(shù)），則Δyt=0；
（2）對(duì)于任意常數(shù)k，Δkyt=kΔyt；
（3）Δ（ayt+bzt）=aΔyt+bΔzt．
函數(shù)y=f（t）在時(shí)刻t的二階差分定義為一階差分的差分，即
Δ2yt=Δ（Δyt）=Δ（yt+1－yt）=Δyt+1－Δyt=（yt+2－yt+1）－（yt+1－yt）=yt+2－2yt+1+yt．
同樣可以定義三階差分、四階差分以及更高階的差分．
一般地，k階差分（k為正整數(shù)）定義為
Δkyt=Δ（Δk-1yt）
=Δk-1yt+1－Δk-1yt
=■（－1）iC■yt+k-1，
這里C■=■．
2. 差分方程的概念
含有自變量、自變量的函數(shù)及其差分的方程，稱為差分方程． 出現(xiàn)在差分方程中的差分的最高階數(shù)，稱為差分方程的階． n階差分方程的一般形式為
F（t，yt，Δyt，…，Δnyt）=0或F（t，yt，yt+1，…，Δyt+n）=0．
3. 差分方程的解
如果將已知函數(shù)y=f（t）代入方程F（t，yt，yt+1，…，Δyt+n）=0，使其對(duì)t=…，-2，-1，0，1，2，…成為恒等式，則稱y=f（t）為方程的解． 含有n個(gè)任意獨(dú)立常數(shù)c1，c2，…，cn的解y=（t，c1，c2，…，cn）稱為n階差分方程的通解．在通解中給任意常數(shù)c1，c2，…，cn以確定的值所得的解，稱為n階差分方程的特解．
4. 線性差分方程及其解
形如yt+n+a1（t）yt+n-1+a2（t）yt+n-2+…+an-1（t）yt+1+an（t）yt=f（t）的差分方程，稱為n階非齊次線性差分方程． 其中a1（t），a2（t），…，an-1（t），an（t）和f（t）都是t的已知函數(shù)，且an（t）≠0，f（t）≠0．
而形如yt+n+a1（t）yt+n-1+a2（t）yt+n-2+…+an-1（t）yt+1+an（t）yt=0的差分方程，稱為n階齊次線性差分方程． 其中a1（t），a2（t），…，an-1（t），an（t）都是t的已知函數(shù)，且an（t）≠0．
如果a1（t），a2（t），…，an-1（t），an（t）均為常數(shù)（an（t）≠0），
則有yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=f（t），?搖?搖
yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+any■=0，分別稱為n階常系數(shù)非齊次線性差分方程和n階常系數(shù)齊次線性差分方程．
5. 一階、二階常系數(shù)線性差分方程的解
引理1 對(duì)于一階常系數(shù)非齊次線性差分方程yn+1=ayn+b，其中a， b為常數(shù)且a≠1，若已知y1=c（c為常數(shù)），則yn+1=anc+■b．
證：（遞推法）
若a≠1，
yn+1=ayn+b
=a（ayn-1+b）+b=a2yn-1+（a+1）b=a2（ayn-2+b）+（a+1）b=a3yn-2+（a2+a+1）b
=any1+（an-1+an-2+…+1）b
=any1+■b
=anc+■b．
引理2 對(duì)于二階常系數(shù)齊次線性差分方程yn+2=ayn+1+byn，其中a，b為常數(shù)，若已知y1=m1，y2=m2（m1，m2為常數(shù)），則yn+1=■+■，其中λ1，λ2是方程λ2-aλ-b=0的兩根．
證：（特征根法）
λ2－aλ－b=0是差分方程yn+2=ayn+1+byn的特征方程．
已知λ1，λ■是方程λ2-aλ-b=0的兩根，則差分方程的解為
yn+1=c1λ■+c2λ■．
已知y1=m1，y2=m2，代入上式得
m1=c1λ1+c2λ2，m2=c1λ■+c2λ■，
解得
c1=■，c2=■，
yn+1=■+■．
■將概率問題轉(zhuǎn)化為差分方程問題
1. 概率問題與差分方程二者間的關(guān)系
由差分方程的定義可知，差分方程是研究函數(shù)在一給定點(diǎn)x=k上的函數(shù)值f（k）與在x=k附近的N個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值之間的關(guān)系的方程，因而其適用于解決概率中一些涉及離散型隨機(jī)變量的問題．
2． 將概率問題轉(zhuǎn)化為差分方程問題的途徑
利用差分方程巧解概率問題的關(guān)鍵是如何將概率問題轉(zhuǎn)化為差分方程問題．常見的有兩條途徑：一、借助遞推公式建立差分方程；二、借助全概率公式建立差分方程．
（1）借助遞推公式建立差分方程
遞推公式：是指可以通過給出數(shù)列的第1項(xiàng)（或前若干項(xiàng)），并給出數(shù)列的某一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前若干項(xiàng)）的關(guān)系式來表示數(shù)列，這種表示數(shù)列的式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式． 遞推公式實(shí)質(zhì)即為差分方程，建立遞推公式就是先設(shè)所需求的函數(shù)值，再確定該函數(shù)值與其前面項(xiàng)間的關(guān)系．
例1 A、B兩人拿兩顆骰子做拋擲游戲，規(guī)則如下：若擲出的點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù)，原擲骰子的人再繼續(xù)擲，若擲出的點(diǎn)數(shù)之和不是3的倍數(shù)，就由對(duì)手接著擲，第一次由A開始擲． 求第N次由A擲的概率為pn，求pn．
解：A、B兩人擲出的點(diǎn)數(shù)和為3的倍數(shù)的情況有：1+2，2+1，3+3，4+2，2+4，5+1，1+5，5+4，4+5，6+3，3+6，6+6共12種情況，A、B兩人擲骰子所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)是6×6=36種，則事件“A、B兩人擲出的點(diǎn)數(shù)和為3的倍數(shù)”的概率為■=■；事件“A、B兩人擲出的點(diǎn)數(shù)和不為3的倍數(shù)”的概率為1－■=■．
第N次由A擲有兩種可能：（1）第N-1次由A擲且擲出的點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù)，則第N次仍由A擲；（2）第N-1次由B擲且擲出的點(diǎn)數(shù)之和不為3的倍數(shù)，則第N次由A擲．
第1種情況的概率為■pn-1；第2種情況的概率為■（1-pn-1）． 由分類計(jì)數(shù)原理得
pn=■pn-1+■（1－pn-1）=－■pn-1+■，這是一個(gè)一階常系數(shù)非齊次線性差分方程．
由引理1知
pn=an-1c+■b，其中a=－■，b=■，c=p1=1， 則pn=－■n-1+■?■=■+■－■n-1．
例2 求N位二進(jìn)制數(shù)中，數(shù)字0與1相鄰的二進(jìn)制數(shù)的個(gè)數(shù)．
解：設(shè)N位二進(jìn)制數(shù)中，數(shù)字0與1相鄰的二進(jìn)制數(shù)的個(gè)數(shù)為f（n）． 對(duì)于二進(jìn)制數(shù)而言，其第一位上的數(shù)只有0或1兩種可能性．若第一位上的數(shù)為0，則要求滿足條件的二進(jìn)制數(shù)，第二位上的數(shù)必須為1，且后面的N-2位上的數(shù)0與1必須相鄰，其個(gè)數(shù)為f（n-2）；同理，若第一位上的數(shù)為1，則要求滿足條件的二進(jìn)制數(shù)，第二位上的數(shù)必須為0，且后面的N-2位上的數(shù)0與1必須相鄰，其個(gè)數(shù)為f（n-2）． 由分類計(jì)數(shù)法得：f（n）=f（n-2）+ f（n-2）=2 f（n-2）， 這是一個(gè)二階常系數(shù)齊次線性差分方程．
λ2－2=0是f（n）=f（n-2）+f（n-2）=2f（n-2）的特征方程，解得λ1=■，λ2= －■，則
f（n）=c1（■）n+c2（-■）n．
又因?yàn)閒（1）=2，f（2）=2，代入上式得■c1-■c2=2，2c1+2c2=2，
解得
c1=■，c2=■，
f（n）=■（■）n+■?（-■）n．
例3 有人玩擲硬幣走跳棋的游戲．已知硬幣1出現(xiàn)正反面的概率都是■，棋盤上標(biāo)有第0站，第1站，第2站，……，第100站． 一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次硬幣棋子向前跳動(dòng)一次，若擲出正而，棋子向前跳一站（從k到k+1）；若擲出反面，棋子向前跳二站（從k到k+2），直到棋子到第99站（勝利大本營(yíng)）或跳到第100站（失敗集中營(yíng)）時(shí)，該游戲結(jié)束． 求棋子跳到第N站的概率．
解：設(shè)棋子跳到第N站的概率為Pn． 由題意知，P0=1，P1=■．
棋子跳到第N站有兩種可能：（1）先跳到第N-1站，擲出正面，再跳到第N站；（2）先跳到第N-2站，擲出反面，再跳到第N站．
第1種情況的概率為■Pn-1；第2種情況的概率為■Pn-2． 由分類計(jì)數(shù)原理得Pn=■Pn-1+■Pn-2，這是一個(gè)二階常系數(shù)齊次線性差分方程．
λ2－■λ－■=0是Pn=■Pn－1+■Pn－2的特征方程，解得λ1=1，λ2=－■，則
Pn=c1+c2－■n
又因?yàn)镻0=1，P1=■；代入上式得
c1+c2=1，c1-■c2=■，
解得c1=■，c2=■，
則Pn=■+■－■n．
（2）借助全概率公式建立差分方程
設(shè)實(shí)驗(yàn)E的樣本空間為S，A為E的事件，B1，B2，…，Bn為S的一個(gè)劃分，兩兩互不相容，且P（Bi）>0 （i=1，2，…n），則
P（A）=P（B1）P（AB1）+P（B2）P（AB2）+…+P（Bn）P（ABn）
上式稱為全概率公式．
全概率公式在概率論中占有極其重要的作用，通過應(yīng)用全概率公式可把概率論中一些極其復(fù)雜的事件的求解分解成若干個(gè)互不相容的簡(jiǎn)單事件的求解． 同時(shí)借助全概率公式可以構(gòu)造等式，建立起差分方程，從而為概率問題的求解尋求了另一個(gè)途徑．
例4 一布袋中裝有黑、白色的乒乓球各一只，每次從布袋中任取一球，取出的球不放回，同時(shí)放入一黑球，求第N次取到黑球的概率．
解：記An=第N次取到黑球；■=第N次取到白球． 設(shè)第N次取到黑球的概率為Pn．
顯然，An∪■=Ω（必然事件），An∩■=■，則An，■是空間Ω的一個(gè)劃分，且P（An）>0，P（■）>0，則由全概率公式知：P（An）=P（An－1）P（AnAn－1）+P（■）?P（An■）
其中P（AnAn－1）=■，P（An■）=1，
則Pn=■Pn－1+（1－Pn－1）=1－■Pn－1，這是一個(gè)一階常系數(shù)非齊次線性差分方程．
λ+■=0是Pn=■Pn－1+（1－Pn－1）=－■?Pn－1的特征方程，解得λ=－■，則
Pn=c1－■n+■是差分方程的齊次解．
又因?yàn)樽杂身?xiàng)為1，所以設(shè)特解為D．
代入Pn=■Pn－1+（1－Pn－1）=1－■Pn－1得，D=■，
則差分方程的通解為Pn=c1－■n+■．
將P1=■代入Pn=c1－■n+■，
解得
c1=■，
則
Pn=■－■n+■．
例5 設(shè)電子在整數(shù)點(diǎn)集｛0，1，2，…，n｝上作隨機(jī)游動(dòng)． 已知質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的位置是a，由于受外力的作用，電子的位置會(huì)發(fā)生變動(dòng)． 假設(shè)電子以概率p移動(dòng)到a+1，以概率1-p移動(dòng)到a-1． 求質(zhì)點(diǎn)從a出發(fā)在0被吸收的概率．
解：記B=質(zhì)點(diǎn)從k點(diǎn)移動(dòng)到k+1點(diǎn)，P（B）=p；■=質(zhì)點(diǎn)從k點(diǎn)移動(dòng)到k-1點(diǎn)，P（■）=1－p． 設(shè)Ak=質(zhì)點(diǎn)從k出發(fā)在0處被吸收，P（Ak）=Pk．
顯然，B∪■=Ω（必然事件），B∩■=■，則B，■是空間Ω的一個(gè)劃分，且P（B）>0，P（■）>0，則由全概率公式知：P（Ak）=P（B）P（AkB）+P（■）P（AkB）
=P（B）P（Ak+1）+P（■）P（Ak－1），
即Pk=pPk+1+（1－p）Pk－1，這是一個(gè)二階常系數(shù)齊次線性差分方程．
pλ2－λ+（1－p）=0是Pn=■Pn－1+（1－Pn－1）=－■Pn－1的特征方程，解得λ1=■，λ2=■，則
Pn=c11+■n+c21-■n．
例6 在N重貝努利實(shí)驗(yàn)中，設(shè)事件A出現(xiàn)的概率為p，求在N次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)偶次的概率．
解：記Bk=第K次實(shí)驗(yàn)時(shí)事件A出現(xiàn)偶次，P（Bk）=Pk；■=第K次實(shí)驗(yàn)時(shí)事件A出現(xiàn)奇次，P（■）=1－Pk． C=第K次實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件A出現(xiàn)，P（C）=p；■=第K次實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件A不出現(xiàn)，P（■）=1－p．
顯然，Bk-1∪■=Ω（必然事件），Bk-1∩■=■，則Bk－1，■是空間Ω的一個(gè)劃分，且P（Bk－1）>0，P（■）>0，則由全概率公式知：P（Bk）=P（Bk－1）P（BkBk－1）+P（■）P（Bk■）
=P（Bk－1）P（■）+P（■）P（C），
即Pk=Pk－1（1－p）+p（1－Pk－1）=p+（1－2p）Pk－1，這是一個(gè)一階常系數(shù)非齊次線性差分方程．
由引理1知
Pn=an-1c+■b，其中a=1－2p，b=p，c=p1=0，
則
Pn=■．
3． 總結(jié)
【關(guān)鍵詞】貝葉斯公式；數(shù)據(jù)挖掘；條件概率；先驗(yàn)概率
數(shù)據(jù)挖掘是從現(xiàn)實(shí)生活中收集數(shù)據(jù)，對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行科學(xué)分析研究進(jìn)而解決，共分為三個(gè)部分，分別是數(shù)據(jù)收集部分、模型設(shè)計(jì)部分和問題解決部分.數(shù)據(jù)收集是通過查閱文獻(xiàn)資料、網(wǎng)絡(luò)搜索等途徑尋找解決問題所需要的各種原始數(shù)據(jù)，進(jìn)而通過對(duì)原始數(shù)據(jù)內(nèi)容的甄別、過濾，獲取有效信息并最終運(yùn)用到自己設(shè)計(jì)的模型中.模型設(shè)計(jì)需要針對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行建模，并利用已收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行問題求解.可以利用已有的數(shù)學(xué)算法、數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)或者設(shè)計(jì)新的方法來解決問題，其中可能需要一定程度的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和計(jì)算機(jī)編程.數(shù)據(jù)挖掘通常通過數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)、在線分析處理、情報(bào)檢索分類等諸多方法來實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo).
在貝葉斯法則中，每個(gè)名詞都有約定俗成的名稱：P（A）是A的先驗(yàn)概率或邊緣概率.P（A|B）是已知B發(fā)生后A的條件概率，也由于得自B的取值而被稱作A的后驗(yàn)概率.P（B|A）是已知A發(fā)生后B的條件概率，也由于得自A的取值而被稱作B的后驗(yàn)概率.P（B）是B的先驗(yàn)概率或邊緣概率，也作標(biāo)準(zhǔn)化常量.按這些術(shù)語，貝葉斯法則可表述為：后驗(yàn)概率=似然度×先驗(yàn)概率標(biāo)準(zhǔn)化常量.P（B|A）P（B）稱為可能性函數(shù)，這是一個(gè)調(diào)整因子，使得預(yù)估概率更接近真實(shí)概率.所以，條件概率可以理解成這樣的式子：后驗(yàn)概率=先驗(yàn)概率×調(diào)整因子.
這就是貝葉斯推斷的含義.我們先預(yù)估一個(gè)“先驗(yàn)概率”，然后加入實(shí)驗(yàn)結(jié)果，看這個(gè)實(shí)驗(yàn)到底是增強(qiáng)還是削弱了“先驗(yàn)概率”，由此得到更接近事實(shí)的“后驗(yàn)概率”.在這里，如果“可能性函數(shù)”P（B|A）P（B）>1，意味著“先驗(yàn)概率”被增強(qiáng)，事件A的發(fā)生的可能性變大；如果“可能性函數(shù)”=1，意味著B事件無助于判斷事件A的可能性；如果“可能性函數(shù)”
貝葉斯公式看起來很簡(jiǎn)單，但是在自然科學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用范圍極其廣泛.同時(shí)理論本身蘊(yùn)含了深刻的思想.在大數(shù)據(jù)時(shí)代，從海量的數(shù)據(jù)中進(jìn)行數(shù)據(jù)挖掘進(jìn)而解決相關(guān)問題，貝葉斯公式也有著廣泛的應(yīng)用.比如，要設(shè)計(jì)一款疾病自我預(yù)診斷系統(tǒng)，從自己身體的各種不舒適體征來判斷是否患有某種疾病，那么要從面對(duì)龐大的各種疾病數(shù)據(jù)中，尋找自己需要的數(shù)據(jù)并設(shè)計(jì)模型進(jìn)行判斷.下面我們以發(fā)燒為例，用貝葉斯公式建立簡(jiǎn)單自我肺炎自我預(yù)診斷判斷系統(tǒng).
數(shù)據(jù)挖掘主要有數(shù)據(jù)準(zhǔn)備、規(guī)律尋找和規(guī)律表示3個(gè)步驟.首先，是數(shù)據(jù)準(zhǔn)備階段.數(shù)據(jù)準(zhǔn)備是從相關(guān)的數(shù)據(jù)源中選取所需的數(shù)據(jù)并整合成用于數(shù)據(jù)挖掘的數(shù)據(jù)集；規(guī)律尋找是用某種方法將數(shù)據(jù)集所含的規(guī)律找出來；規(guī)律表示是盡可能以大眾可理解的方式將找出的規(guī)律表示出來.數(shù)據(jù)挖掘牽涉了大量的準(zhǔn)備工作與規(guī)劃工作，事實(shí)上許多專家都認(rèn)為整套數(shù)據(jù)挖掘的過程中，有80%的時(shí)間和精力是花費(fèi)在數(shù)據(jù)預(yù)處理階段，其中包括數(shù)據(jù)的凈化、數(shù)據(jù)格式轉(zhuǎn)換、變量整合，以及數(shù)據(jù)表的鏈接.可見，在進(jìn)行數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)的分析之前，還有許多準(zhǔn)備工作要完成.
首先，要盡可能找到所有會(huì)引起l燒的疾病，這個(gè)難度比較大，不過現(xiàn)在計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)發(fā)達(dá)，使得大數(shù)據(jù)的處理成為可能.為了方便敘述，我們不妨把從網(wǎng)上查找到的有關(guān)發(fā)燒的資料以模型的方式簡(jiǎn)單化處理，設(shè)所有引起發(fā)燒的疾病有A1，A2，A3，…，An種，并且這n種病相互之間是獨(dú)立的互不影響的.通過數(shù)據(jù)挖掘得知，n種疾病的發(fā)病率分別為P（A1），P（A2），P（A3），…，P（An），發(fā)燒表示為事件S，n種疾病發(fā)病時(shí)發(fā)燒的概率分別為P（S|A1），P（S|A2），P（S|A3），…，P（S|An），根據(jù)貝葉斯公式可知發(fā)燒是由A1疾病引起的概率為
同樣可以算出發(fā)燒是由其他疾病引起的概率，最可能的當(dāng)然就是概率最大的那個(gè).僅僅有一個(gè)癥狀判斷疾病是不準(zhǔn)確的，對(duì)于其他癥狀，比如，咳嗽事件W，我們用同樣方法可以算出P（A1|W），根據(jù)P（S∪W）=P（S）+P（W）-P（SW）等相關(guān)公式，可以算出同時(shí)發(fā)燒咳嗽時(shí)患A1疾病的概率，當(dāng)多個(gè)癥狀同時(shí)計(jì)算時(shí)，顯著性一定會(huì)增大，判斷當(dāng)然也會(huì)更準(zhǔn)確.最后，還可以對(duì)判斷結(jié)果給出置信區(qū)間，做相關(guān)的假設(shè)檢驗(yàn)，這里就不再一一累述.
【參考文獻(xiàn)】
目前大學(xué)生普遍存在兩個(gè)問題:一是概率論中的全概率公式與貝葉斯公式及大數(shù)定理與中心極限定理學(xué)生難于理解，學(xué)生普遍對(duì)統(tǒng)計(jì)中的參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、回歸分析等概念感到太抽象、思維難于開展、解題方法難以掌握;二是學(xué)生完成這門課程學(xué)習(xí)后仍不能真正地理解所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)概念，也很難運(yùn)用所學(xué)的概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)討論具體問題。究其原因是我們傳統(tǒng)教學(xué)中沒有將本課程與實(shí)際問題相結(jié)合，沒有通過案例培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題和處理數(shù)據(jù)的能力。隨著概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本原理在各個(gè)領(lǐng)域的廣泛滲透，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程越來越受到重視。研究生入學(xué)數(shù)學(xué)考試題中，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)所占比例已達(dá)20%～25%。為了盡早培養(yǎng)學(xué)生的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的思維方式，一些簡(jiǎn)單的古典概型概率、期望與方差，以及抽樣等也已出現(xiàn)在中學(xué)課程里，各省市高考試題中，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)所占比例上升，2010年達(dá)10%～16%。為此本文探討如何根據(jù)目前學(xué)生的具體情況，調(diào)整教學(xué)內(nèi)容，改進(jìn)教學(xué)方法，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題和處理數(shù)據(jù)的能力，提高教學(xué)效果。
一、調(diào)整教學(xué)內(nèi)容
教學(xué)內(nèi)容應(yīng)該改變以往“重概率、輕統(tǒng)計(jì)”和“重運(yùn)算技巧、輕數(shù)學(xué)思想”的傳統(tǒng)教學(xué)思想，刪減其中一些復(fù)雜的計(jì)算，加強(qiáng)統(tǒng)計(jì)中基本理論和基本數(shù)學(xué)方法的教學(xué)。減少概率論課時(shí)，加大統(tǒng)計(jì)內(nèi)容，增加統(tǒng)計(jì)課時(shí)。
1.概率方面，古典概型概率、期望與方差等內(nèi)容在中學(xué)接觸過，學(xué)生接受較快故可以弱化;減少概率論課時(shí)，將重點(diǎn)放在條件概率、乘積公式、全概率公式與貝葉斯公式上，加強(qiáng)隨機(jī)變量的內(nèi)容。
2.統(tǒng)計(jì)方面，突出“厚基礎(chǔ)”“重應(yīng)用”的特色，增加統(tǒng)計(jì)課時(shí)，強(qiáng)調(diào)假設(shè)檢驗(yàn)和回歸分析等原理的分析與實(shí)際應(yīng)用，著重培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用統(tǒng)計(jì)中的基本原理去解決實(shí)際問題的能力。
二、改進(jìn)教學(xué)方法
概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是一門在解決實(shí)際問題的過程中發(fā)展起來的學(xué)科，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的思想方法、原理、公式的引入，最能激發(fā)學(xué)生的興趣，并印象深刻的是從貼近生活的問題及案例引入。教師在授課過程中可從每個(gè)概念的直觀背景入手，精心選擇一些跟我們的生活密切相關(guān)而又有趣的實(shí)例，從而激發(fā)學(xué)生的興趣．調(diào)動(dòng)他們學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性。
1.概率論部分的教學(xué)。(1)概率論內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，學(xué)生一般不能很好地理解全概率公式與貝葉斯公式的原理。舉例:某大學(xué)學(xué)生對(duì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的興趣程度可分為四個(gè)層次:很感興趣，較感興趣，一般，沒有興趣。最近的一項(xiàng)調(diào)研統(tǒng)計(jì)表明此四個(gè)層次的學(xué)生數(shù)之比為:1∶3∶4∶2。而這在四類同學(xué)中該課程一次性能通過的可能性分別為:0．98，0．88，0．50，0．20。1)考試在即，在即將參加此門課程考試的學(xué)生中任抓一學(xué)生考察，試問該生此次考試該門課程一次性通過的可能性為多大?2)考試結(jié)束，閱卷老師發(fā)現(xiàn)某名學(xué)生順利通過此次考試，試問該生對(duì)此課程興趣層次是屬于一般的可能性有多大?身邊的例子激起了學(xué)生的興趣，通過1)的解答很快讓學(xué)生理解全概率公式，通過2)的分析讓學(xué)生理解貝葉斯公式的原理。(2)大數(shù)定理的教學(xué)。大數(shù)定理是概率論中非常重要的定理，在教學(xué)中如果僅僅將定理的內(nèi)容告訴學(xué)生，很多學(xué)生不能理解。講課時(shí)舉例子:在裝有7白球與3黑球的盒子里任意抽取一個(gè)記下結(jié)果再放回去，當(dāng)抽取白球時(shí)計(jì)1，抽到黑球時(shí)計(jì)0，不停地重復(fù)下去，就得到一組由1、0構(gòu)成的數(shù)字，如一人抽取得到:10010111010111000101111111100000001010010111011000從數(shù)據(jù)中你看不出任何特征與規(guī)律，換一個(gè)人來重復(fù)這一試驗(yàn)，他也會(huì)得到這樣一串由1、0構(gòu)成的數(shù)據(jù)，同樣雜亂無章，但結(jié)果與第一人的結(jié)果不同。雖然如此，當(dāng)做的試驗(yàn)次數(shù)越來越多時(shí)，這一串串雜亂的數(shù)中1所占的比例隨做的試驗(yàn)次數(shù)的增加愈來愈穩(wěn)定到一個(gè)值上，這個(gè)值就是盒子內(nèi)白球的比率7/10。比率的穩(wěn)定性只有在數(shù)串長(zhǎng)度足夠大(實(shí)驗(yàn)的次數(shù)足夠多)時(shí)才能表現(xiàn)出來，這就是大數(shù)定理這個(gè)名稱的由來。歷史上概率論方面重要的學(xué)者雅各布•伯努利證明了在一定條件下“當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)愈來愈大時(shí)，頻率愈來愈接近于概率”，這個(gè)結(jié)論稱為伯努利大數(shù)定理。此定理的意義在于對(duì)經(jīng)驗(yàn)規(guī)律的合理性給出了一個(gè)理論上的解釋。在現(xiàn)實(shí)生活中，很難甚至于不可能達(dá)到伯努利大數(shù)定理中的理想化條件，但大部分的情況下與之非常接近，因此伯努利證明的結(jié)論“基本上”能適應(yīng)。
2．統(tǒng)計(jì)部分的教學(xué)。學(xué)生經(jīng)常覺得統(tǒng)計(jì)部分的參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、回歸分析等內(nèi)容雜、頭緒亂。在教學(xué)過程中，可以引入案例，對(duì)每一個(gè)案例進(jìn)行分析:(1)要解決什么問題?(2)有些什么方法，而這些方法的基本思想是什么?合理性?(3)運(yùn)用這些方法解決問題的基本步驟是什么?(4)如何將這些方法運(yùn)用于實(shí)際問題中?這樣能使學(xué)生理清思路，從整體上把握統(tǒng)計(jì)的基本思想，如假設(shè)檢驗(yàn)可以用食品生產(chǎn)線上的產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)的案例分析;回歸分析可以用資源評(píng)估的案例來分析等。
3.加強(qiáng)與其他學(xué)科的聯(lián)系，提高學(xué)生運(yùn)用能力。在教學(xué)中，通過一些實(shí)際案例將教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生所學(xué)的專業(yè)相結(jié)合，讓他們運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法解決一些專業(yè)上的統(tǒng)計(jì)分析問題，如對(duì)生物、食品專業(yè)的學(xué)生可以讓他們將自己做的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)以統(tǒng)計(jì)的方法處理，對(duì)于海洋專業(yè)的學(xué)生可以讓他們進(jìn)行海洋環(huán)境數(shù)據(jù)分析;對(duì)于金融專業(yè)的學(xué)生，可以讓他們了解一些基于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的經(jīng)濟(jì)與管理模型。讓學(xué)生真正感到學(xué)有所用，不僅可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又可以在實(shí)際應(yīng)用中掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)，學(xué)會(huì)運(yùn)用這些知識(shí)解決實(shí)際問題，一改“授之以魚”為“授之以漁”。
4.開設(shè)上機(jī)實(shí)驗(yàn)課，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件來解決問題的能力。許多學(xué)生完成概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)后，在專業(yè)課程中，面對(duì)大量數(shù)據(jù)，需要運(yùn)用統(tǒng)計(jì)思想方法分析時(shí)往往出現(xiàn)無從下手的現(xiàn)象，造成這種現(xiàn)象的原因有兩方面:(1)缺乏靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力;(2)數(shù)據(jù)量大，計(jì)算過于繁，手工難以實(shí)現(xiàn)。對(duì)于第一種情況我們通過案例將教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生所學(xué)的專業(yè)相結(jié)合來提高學(xué)生的運(yùn)用能力。針對(duì)于第二種情況開設(shè)上機(jī)實(shí)驗(yàn)課，讓學(xué)生掌握相關(guān)的計(jì)算機(jī)統(tǒng)計(jì)分析軟件，訓(xùn)練學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件來解決問題。這不僅提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也加強(qiáng)了學(xué)生運(yùn)用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)原理解決實(shí)際問題的能力。總之，根據(jù)學(xué)生的具體情況，適當(dāng)?shù)卣{(diào)整教學(xué)內(nèi)容，通過貼近生活、與學(xué)生所學(xué)的專業(yè)相關(guān)的案例分析，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引入上機(jī)課程，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件來解決問題的能力，有效地提高教學(xué)質(zhì)量。
關(guān)鍵詞：列車；地鐵列車運(yùn)行圖；運(yùn)行時(shí)間偏離；緩沖時(shí)間；列車區(qū)間
中圖分類號(hào)：U231文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A
當(dāng)前地鐵列車在實(shí)際運(yùn)行過程中，區(qū)間運(yùn)行時(shí)間以及停站時(shí)間都會(huì)出現(xiàn)不可避免的波動(dòng)，而且這種運(yùn)行時(shí)間相比較圖定時(shí)間來說，其時(shí)間偏離性會(huì)呈現(xiàn)出一定隨機(jī)性。為了能夠確保列車運(yùn)行質(zhì)量，需要我們?cè)诰幹频罔F列車運(yùn)行圖時(shí)，加入一定量的緩沖時(shí)間，以用來緩解當(dāng)前一輛列車運(yùn)行出現(xiàn)時(shí)間偏離后對(duì)后續(xù)列車所造成的干擾。但從提高地鐵線路高峰小時(shí)通過能力角度講，可在其運(yùn)營(yíng)高峰期內(nèi)選擇較小緩沖時(shí)間，以實(shí)現(xiàn)晚點(diǎn)列車的相關(guān)恢復(fù)工作能順利延伸到平峰期內(nèi)進(jìn)行。這時(shí)就需要對(duì)非晚點(diǎn)的列車區(qū)間運(yùn)行時(shí)間偏離以及停站時(shí)間偏離進(jìn)行相應(yīng)的研究。
一、追蹤列車時(shí)間
以深圳地鐵2、5號(hào)線卡斯柯移動(dòng)閉塞信號(hào)系統(tǒng)為例，并進(jìn)行以下設(shè)定：移動(dòng)閉塞信號(hào)系統(tǒng)；列車為AMC （Automatic Mode Controlled with Driver）自動(dòng)駕駛模式；雙線線路；列車每站停車并停于正線站臺(tái)。
在該地鐵系統(tǒng)中，列車經(jīng)過車站的實(shí)際運(yùn)行間隔通常大于在區(qū)間的實(shí)際運(yùn)行間隔時(shí)間。所以在對(duì)線路通過能力進(jìn)行計(jì)算時(shí)，其列車間隔時(shí)間應(yīng)該以列車經(jīng)過車站的實(shí)際間隔時(shí)間為準(zhǔn)。
在列車經(jīng)過車站時(shí)主要包括以下內(nèi)容：即進(jìn)站運(yùn)行、制動(dòng)停車、停站作業(yè)以及起動(dòng)出站等。而對(duì)列車間隔時(shí)間（h）進(jìn)行追蹤時(shí)也由以下作業(yè)時(shí)間組成：
即h=t運(yùn)行+t制動(dòng)+t停站+t起動(dòng) （1）
其中，公式里t運(yùn)行主要代表列車從區(qū)間勻速運(yùn)行到進(jìn)站制動(dòng)開始的時(shí)間（s）；而t制動(dòng)則代表列車從最初施加制動(dòng)到車站內(nèi)實(shí)際停車時(shí)間（s）；t停站代表著列車入站后停留時(shí)間（s）；t起動(dòng)則代表著車從起動(dòng)后到離開車站的實(shí)際運(yùn)行時(shí)間（s）。
車站站臺(tái)中心線
_____________________________________________________
t起動(dòng) t制動(dòng)t運(yùn)行
(t停站）
圖1追蹤列車間隔時(shí)間組成
此外，列車在2個(gè)相近車站間的實(shí)際運(yùn)行時(shí)間，即列車區(qū)間運(yùn)行時(shí)間t區(qū)間組成如下圖所示：
車站中心 車站中心
________________________________________________________________
t起動(dòng)
t制動(dòng) t運(yùn)行t起動(dòng)
t區(qū)間
其中t區(qū)間=t制動(dòng)+t運(yùn)行 +t起動(dòng)（2）
先假設(shè)各站列車的t起動(dòng)相同，依據(jù)公式（1）以及公式（2）可以得出：
h=t區(qū)間+t停站（3）
二、列車運(yùn)行時(shí)間偏離
一般來講，基于列車非晚點(diǎn)情況下，其區(qū)間運(yùn)行時(shí)間偏離主要存在于列車進(jìn)站制動(dòng)過程中，也就是列車區(qū)間運(yùn)行時(shí)間即t區(qū)間實(shí)際與停站時(shí)間即t停站實(shí)際都會(huì)與圖定時(shí)間相偏離。這種情況下的偏離可以用以下公式來表示：
t區(qū)間實(shí)際=t區(qū)間+1 （4）
T停站實(shí)際=t停站+2 （5）
其中公式中的1代表著區(qū)間運(yùn)行時(shí)間隨機(jī)干擾變量（s）；而2 代表著停站時(shí)間隨機(jī)干擾變量（s）。
在對(duì)地鐵列車運(yùn)行圖進(jìn)行鋪畫時(shí)，為了有效確保列車運(yùn)行圖的實(shí)際彈性，我們需要在對(duì)列車間隔時(shí)間進(jìn)行計(jì)算時(shí)，增加相應(yīng)的偏離緩沖時(shí)間即t偏離緩沖，而在此過程中，h’代表著圖定運(yùn)營(yíng)列車間隔時(shí)間。
即h’=h+t偏離緩沖 （6）
先假設(shè)后續(xù)列車的實(shí)際運(yùn)行時(shí)間并未出現(xiàn)偏離，那么前列列車的實(shí)際運(yùn)行時(shí)間與后續(xù)列車的實(shí)際時(shí)間出現(xiàn)偏離時(shí)的間隔時(shí)間即h實(shí)際可以用以下公式表示：
h實(shí)際=h’－1－ 2（7）
而前列列車對(duì)后續(xù)列車不會(huì)造成干擾的基本條件是
h實(shí)際-h≥0 （8）
由上述公式可得
t偏離緩沖－1－2≥0 （9）
所以，可以利用前列列車對(duì)于后續(xù)列車所形成的干擾概率p來表示t偏離緩沖取值對(duì)于運(yùn)行列車的影響情況：
即 p=p（1 +2 －t偏離緩沖>0） （10）
假設(shè)隨機(jī)干擾變量=1+2那么可將公式（10）改寫成為：
P=p（-t偏離緩沖>0） （11）
該公式利用概率模型形式來對(duì)干擾概率p以及隨機(jī)干擾變量還有t偏離緩沖這幾個(gè)變量之間關(guān)系。
三、列車運(yùn)行時(shí)間偏離
先假設(shè)（11）公式中的隨機(jī)干擾變量服從于某種概率分布，且其實(shí)際概率密度函數(shù)用f（x）表示，那么前列列車對(duì)后續(xù)列車所造成的干擾概率p則為：
P=p（-t偏離緩沖>0）= （12）
對(duì)于既定的干擾概率上限po，可以利用以下方式來對(duì)最小偏離緩沖時(shí)間進(jìn)行計(jì)算：
P=p（-t偏離緩沖>0）==Po（13）
其中公式里的（13）解法需要依據(jù)具體分布函數(shù)的實(shí)際類型來確定。
由（4）、（5）公式可以得出
即=t區(qū)間實(shí)際+t停站實(shí)際-t區(qū)間-t停站=t-to） （14）
其中，t=t區(qū)間實(shí)際+t停站實(shí)際
t0=t區(qū)間+t停站
由上述（14）公式可以得出，的實(shí)際概率分布主要是受到列車實(shí)際停站時(shí)間以及列車區(qū)間運(yùn)行時(shí)間的影響。
而在列車運(yùn)行過程中，相關(guān)負(fù)責(zé)人可以通過慢行方式將即將到站的列車偏離時(shí)間控制在允許范圍內(nèi)。但當(dāng)前對(duì)于列車晚點(diǎn)之后的實(shí)時(shí)恢復(fù)則缺少有效控制手段。為了能夠減少與控制列車晚點(diǎn)情況，列車在實(shí)際運(yùn)營(yíng)過程中普遍存在“趕早不趕晚”的情況，所以列車區(qū)間的實(shí)際運(yùn)行時(shí)間多成偏態(tài)分布。這種情況下就可以選擇使用偏態(tài)特征的分布函數(shù)進(jìn)行表示，比如通過分布或者是對(duì)數(shù)正態(tài)分布進(jìn)行相應(yīng)的表示。
此外，由于收到車站客流發(fā)送等隨機(jī)因素的影響，大多數(shù)列車停站時(shí)間也多呈偏態(tài)分布，這種情況下，也可以選擇使用分布或者是對(duì)數(shù)正態(tài)分布進(jìn)行相應(yīng)的表示。
四、算例
以深圳某一地鐵線為例，選擇該地鐵線某天全天次列車從A站到相鄰B站實(shí)際區(qū)間運(yùn)行和在B站所實(shí)際停戰(zhàn)時(shí)間，將相應(yīng)晚點(diǎn)列車數(shù)據(jù)刪除后，保留該278列列車的實(shí)際運(yùn)行時(shí)間，并將其作為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。
先設(shè)定總運(yùn)行時(shí)間為t=t區(qū)間實(shí)際+t停戰(zhàn)實(shí)際，同時(shí)選取各次列車相應(yīng)的總運(yùn)行時(shí)間ti（i=1,2,....n）作統(tǒng)計(jì)樣本，并選擇對(duì)數(shù)正態(tài)分布函數(shù)對(duì)其t頻數(shù)分布進(jìn)行擬合。
對(duì)數(shù)正態(tài)分布概率分布密度函數(shù)g（x；u，）為：
g（x；u，）=e-(lnx-u)2/22t>0
通過對(duì)數(shù)正態(tài)分布函數(shù)g（x；u，）參數(shù)以及極大似然估計(jì)值是：
U==5.16
而2==0.00193
而=0.044
那么其t的實(shí)際概率分布密度函數(shù)約是
G（x）=e-（lnx-5.16）2/0.00386x>0 （16）
此外其相應(yīng)的擬合優(yōu)度判定系數(shù)約是
R2=1-=0.963
通過相應(yīng)的調(diào)查，該線路在對(duì)當(dāng)天列車從A站運(yùn)行至B站的實(shí)際圖定實(shí)際時(shí)間是123s，而在B站的實(shí)際圖定停站時(shí)間約是60s。那么其圖定列車的總運(yùn)行時(shí)間約是t0=123+60=183s。而其樣本均值t=174.04
先設(shè)定=t-173.53，那么由上述公式（16）可以推導(dǎo)出其實(shí)際的概率函數(shù)為：
f（x）=xx>-173.53 （17）
通過將公式（17）代入上述所講公式（13），可以得計(jì)算出干擾概率上線即Po所取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的最小偏離緩沖時(shí)間。而通過相關(guān)的研究數(shù)據(jù)顯示，待Po=0.010時(shí)，那么該列車的最小偏離緩沖時(shí)間實(shí)際約是19s，而當(dāng)前行列車處于非晚點(diǎn)情況下時(shí)，其最終的運(yùn)行偏離時(shí)間會(huì)對(duì)后行列車產(chǎn)生影響的實(shí)際概率將小于0.010.
總結(jié)：
近些年，隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展以及城市化進(jìn)程的加快，地鐵運(yùn)營(yíng)受到人們?cè)絹碓蕉嗟年P(guān)注。本文就根據(jù)地鐵系統(tǒng)對(duì)于列車運(yùn)營(yíng)間隔時(shí)間的組成，來分析和研究列車區(qū)間運(yùn)行時(shí)間與停站時(shí)間以及追蹤相應(yīng)列車的間隔時(shí)間關(guān)系，以此來構(gòu)建偏離緩沖時(shí)間概率模型，并據(jù)此對(duì)列車運(yùn)行時(shí)間偏離下的地鐵列車運(yùn)行圖緩沖時(shí)間進(jìn)行分析。就此為日后進(jìn)一步研究基于列車運(yùn)行時(shí)間偏離的地鐵列車運(yùn)行圖緩沖時(shí)間提供了一定理論支持。
參考文獻(xiàn)：
[1] 劉海東,毛保華,何天健,丁勇,王璇.不同閉塞方式下城軌列車追蹤運(yùn)行過程及其仿真系統(tǒng)的研究[J]. 鐵道學(xué)報(bào). 2005(02)
下面我們就2008年各省市的概率與統(tǒng)計(jì)部分試題的設(shè)置及考查的要點(diǎn)加以評(píng)述。
概率與統(tǒng)計(jì)部分的題目除幾個(gè)特殊的地區(qū)，如江蘇、寧夏、海南、上海為填空題外，其余地區(qū)對(duì)這部分內(nèi)容的考查大部分放在了解答題部分。從這些題目的設(shè)置看位置相對(duì)靠前一些，按規(guī)律屬于得分題目，考查的知識(shí)點(diǎn)不外乎是求某一事件發(fā)生的概率P，隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ，偶爾也會(huì)考查到方差Dξ的問題。
有些概率的題目會(huì)結(jié)合現(xiàn)代科技問題或是現(xiàn)實(shí)生活常見問題，考生只要透過現(xiàn)象抓本質(zhì)，那么每一道題都在掌控之中，下面以2008年全國(guó)卷（一）的第20題為例“現(xiàn)題說法”。
已知五種動(dòng)物中有一種患有某種疾病，需要通過化驗(yàn)血液來確定患病的動(dòng)物，血液的化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的即為患病動(dòng)物，呈陰性的即沒有患病，下面是兩種化驗(yàn)方案：
方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到確定患病動(dòng)物為止。
方案乙：先任取3只，將它們的血液混合在一起化驗(yàn)，若結(jié)果呈陽性則表明患病動(dòng)物為這3之中的1只，然后逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止；若結(jié)果呈陰性，則在另外2只中任取一只化驗(yàn)。
（I）求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率；
（II）ξ為依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，求ξ的期望。
此題看似復(fù)雜，又是化驗(yàn)又是陰性陽性，還有甲乙方案，實(shí)際仔細(xì)分析就會(huì)發(fā)現(xiàn)并不是很困難。由題意分析知：依甲方案可能需化驗(yàn)1次、2次、3次、4次，而依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)為2次或3次。任取3只混合化驗(yàn)為1次，若呈陽性則需再化驗(yàn)1次或2次的結(jié)果，故此時(shí)共需化驗(yàn)2次或3次；若成陰性，則需再化驗(yàn)1次可的結(jié)果，此時(shí)共需化驗(yàn)2次。分析出這些，題目就很明了了。
在第（I）問中方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于方案乙的情況包括大于和等于兩種情況，而從它的反面考慮就是方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)少于方案乙，從而求出概率。第（II）中所問的ξ的期望先要求出它的分布列，然后根據(jù)數(shù)學(xué)期望的（II）ξ的可能取值為2、3。
即ξ的分布列為
如果再增加一問，那么考查的內(nèi)容就齊了。比如增加求的方差。
到這我們就把高考中概率與統(tǒng)計(jì)的設(shè)計(jì)題目題型都涉及了，而從分析的過程看題目不難，屬于中檔題，題目的做法大致不再累述。
一、認(rèn)識(shí)古典概型，`興致盎然
先認(rèn)識(shí)古典概型：（1）定義：如果試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)，并且每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等，則稱此概率為古典概型．
（2）特點(diǎn)：①試驗(yàn)結(jié)果的有限性；②所有結(jié)果的等可能性．
（3）古典概型的解題步驟：①求出試驗(yàn)的總基本事件數(shù)n；②求出事件A所包含的基本事件數(shù)m；③代入公式P=mn即可解答．
（4）基本事件是事件的最小單位，所有事件都是由基本事件組成的，基本事件有下列兩個(gè)特點(diǎn)：①任何兩個(gè)基本事件都是互斥的；②任何事件都可以表示成基本事件的和（不可能事件除外）．
例1 已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)f（x）=ax2－bx+1，設(shè)集合P={1，2，3}，Q={－1，1，2，3，4}，分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b．（1）求函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)的概率；（2）求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［1，+∞）上是增函數(shù)的概率．
分析：本題是古典概型問題，要抓住求出基本事件數(shù)和基本事件總數(shù)，從而解決上述問題．
解：（a，b）共有（1，－1），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，－1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，－1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），15種情況．
（1）若函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)，則需Δ=b2－4ac≥0，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），6種情況，所以函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)的概率為615=25．
（2）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［1，+∞）上是增函數(shù)，需對(duì)稱軸x=b2a≤1．
有（1，－1），（1，1），（1，2），（2，－1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，－1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），13種情況．所以函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［1，+∞）上是增函數(shù)的概率為1315．
點(diǎn)評(píng)：利用古典概型公式求概率時(shí)，要注意學(xué)會(huì)把事件轉(zhuǎn)化，如事件函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)等價(jià)于Δ≥0，即b2－4ac≥0，事件“函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［1，+∞）上是增函數(shù)”則等價(jià)于事件“對(duì)稱軸x=b2a≤1．”
二、認(rèn)識(shí)幾何概型，情趣盎然
認(rèn)識(shí)幾何概型的定義：對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣，而一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn)，這里的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形等，用這種方法處理隨機(jī)試驗(yàn)，稱為幾何概型．
幾何概型的基本特點(diǎn)是：（1）在每次試驗(yàn)中，不同的試驗(yàn)結(jié)果有無窮多個(gè)，即基本事件有無窮多個(gè)；（2）在這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等即基本事件的發(fā)生是等可能的．當(dāng)然，在計(jì)算幾何概型的概率時(shí)，則應(yīng)該注意相應(yīng)問題的著眼點(diǎn)．
例2 設(shè)點(diǎn)（p，q）在|p|≤3，|q|≤3均勻分布出現(xiàn)，求方程x2+2px－q2+1=0的兩根都是實(shí)數(shù)的概率．
分析：根據(jù)一元二次方程有實(shí)數(shù)根的充要條件找出p、q的約束條件，進(jìn)而確定區(qū)域的測(cè)度．
解：由于|p|≤3，|q|≤3，所以（p，q）的點(diǎn)集組成了邊長(zhǎng)為6的正方形，所以面積=62=36，
由方程x2+2px－q2+1=0的兩根都是實(shí)數(shù)，得到Δ=（2p）2－4（－q2+1）≥0，則p2+q2≥1，所以當(dāng)點(diǎn)（p，q）落在如圖所示的陰影部分時(shí)，方程的兩根都是實(shí)數(shù)．則由圖象可知道區(qū)域
d=S正方形ABCD－SO=36－π，所以原方程兩根都是實(shí)數(shù)的概率P=36－π36=1－π36．
點(diǎn)評(píng)：對(duì)于與方程相結(jié)合的問題，則同樣可以構(gòu)造圖形進(jìn)行解決．
三、把握事件關(guān)系，正難則反
例3 甲、乙、丙三人將參加某項(xiàng)測(cè)試，他們能達(dá)標(biāo)的概率分別是0.8、0.6、0.5，三人中至少有一人達(dá)標(biāo)的概率是_____________．
分析：若從正面考慮至少有一人達(dá)標(biāo)有七種情形，三人中恰好有一人達(dá)標(biāo)、三人中恰好有二人達(dá)標(biāo)和三人全部達(dá)標(biāo)，很繁，所以可運(yùn)用正難反易思想，進(jìn)行反面考慮．
解：先求三人無一人達(dá)標(biāo)的概率．設(shè)甲、乙、丙分別達(dá)標(biāo)為事件A、B、C，則P（A）=0.8，P（B）=0.6，
P（C）=0.5，且A、B、C相互獨(dú)立，所以三人無一人達(dá)標(biāo)的概率為P（）·P（）·P（）=0.2×0.4×0.5
=0.04，則所求的概率為1－0.04=0.96．
點(diǎn)評(píng)：有些問題當(dāng)從正面求解繁瑣或無法求解時(shí)，可從其反面進(jìn)行思考，通過否定結(jié)論的反面來肯定結(jié)論正確，這就是正難則反的思想，運(yùn)用這一數(shù)學(xué)思想解決問題，往往能收到化難為易，化繁為簡(jiǎn)的奇效．
當(dāng)然，對(duì)于概率及其應(yīng)用的高考命題方向：主要是二項(xiàng)分布、超幾何分布、條件概率和相互獨(dú)立事件的概率等，它們有各自顯著的特點(diǎn)，各有對(duì)應(yīng)的計(jì)算公式，要能熟練應(yīng)用．
認(rèn)識(shí)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)及其概率公式：一般地，如果在1次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率Pn（k）=CknPk（1-P）n-k．它是［（1-P）+P］n展開式的第k+1項(xiàng)．
同時(shí)要特別注意二項(xiàng)分布問題：二項(xiàng)分布實(shí)際上是對(duì)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)從概率分布的角度作了進(jìn)一步的闡述，與n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)恰有k次發(fā)生的概率與之對(duì)應(yīng)，是概率論中最重要的分布之一，我們不妨來看看二項(xiàng)分布之基本知識(shí)應(yīng)用題．
四、走進(jìn)二項(xiàng)分布，探究關(guān)鍵
例4 100件產(chǎn)品中有3件不合格品，每次取一件，有放回取3次，求取得不合格品的件數(shù)X的分布列．
分析：因?yàn)槊看纬槿〉慕Y(jié)果只有兩種，即合格與不合格，且有放回地抽取三次相當(dāng)于做3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，從而隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布．
解：X可能取的值為0，1，2，3，由于是有放回地取每次取一件，連續(xù)取三次，所以這相當(dāng)于做3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，一次抽取到不合格品的概率p=0.03．因此X～B（3，0.03）．
P（X=0）=C03×0.030×（1－0.03）3=0.912673．
P（X=1）=C13×0.03×（1－0.03）2=0.084681．
P（X=2）=C23×0.032×（1－0.03）1=0.002619．
P（X=3）=C33×0.033×（1－0.03）0=0.000027．
則X的概率分布如下表：
點(diǎn)評(píng)：二項(xiàng)分布的模型是可以快速地寫出隨機(jī)變量的分布列，從而簡(jiǎn)化了求隨機(jī)變量取每一個(gè)具體值的概率的過程．
五、思索超幾何分布，發(fā)現(xiàn)內(nèi)涵
一般地，若一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列為P（X=r）=CrMCn－rN－MChN，其中r=0，1，2，3，……，l，l=min（n，M），則稱X服從超幾何分布，記為X～H（n，M，N），并將P（X=r）=CrMCn－rN－MCrN記為H（r；n，M，N）．
例5 從一批含有13件正品、2件次品的產(chǎn)品中，不放回地任意取3件，求取得次品數(shù)的概率分布，并求至少取得一件次品的概率．
分析：本題是超幾何分布，可利用超幾何分布的概率公式求解．
解：設(shè)隨機(jī)變量ξ表示取出次品的個(gè)數(shù)，則ξ服從超幾何分布，其中N=15，M=2，n=3，則ξ的可能取值為0，1，2，相應(yīng)的概率依次是
P（ξ=0）=C02C313C315=2235，
P（ξ=1）=C12C213C315=1235，
P（ξ=2）=C22C113C315=135，
則ξ的概率分布表如下：
則至少取得一件次品的概率為P（ξ=1）+P（ξ=2）=1335．
點(diǎn)評(píng)：建立超幾何分布的關(guān)鍵是求得P（ξ=k）的組合關(guān)系式，利用超幾何分布的概率公式進(jìn)行驗(yàn)證，然后利用公式求出取其它的值的概率，建立ξ的概率分布．
統(tǒng)計(jì)試題涉及的知識(shí)點(diǎn)主要是抽樣方法、解讀直方圖、判定相關(guān)關(guān)系及了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的含義和運(yùn)用、回歸分析等等，但其考查的形式則是填空題為主，且常常以實(shí)際問題為背景
六、走進(jìn)抽樣問題，分類重點(diǎn)
例6 某政府機(jī)關(guān)有在編人員100人，其中副處級(jí)以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上級(jí)機(jī)關(guān)為了了解政府機(jī)構(gòu)改革意見，要從中抽取一個(gè)容量為20的樣本，試確定用何種方法抽取，請(qǐng)具體實(shí)施抽取．
分析：因?yàn)闄C(jī)構(gòu)改革關(guān)系到各種人的利益，個(gè)體差異較大，故采用分層抽樣方法為妥．
解：因?yàn)?0020＝5，105＝2，705＝14，205＝4，
所以從副處級(jí)以上干部人中抽取2人，從一般干部中抽取14人，從工人中抽取4人，因副處以上干部與工人都人數(shù)較少，他們分別按1～10編號(hào)與1～20編號(hào)，然后采用抽簽法分別抽取2人和4人，對(duì)一般干部70人采用00，01，02，…，69編號(hào)，然后用隨機(jī)數(shù)表法抽取14人．
點(diǎn)評(píng)：分層抽樣的特點(diǎn)是全面考察到各種層次不同代表合理比例，大大提高了樣本的代表性．同時(shí)在利用分層抽樣方法抽樣時(shí)需注意：分層抽樣要將性質(zhì)相近的個(gè)體歸入一層，性質(zhì)差異較大的個(gè)體歸入不同層；分層抽樣中分多少層、如何分層要視具體情況而定．總的原則是，層內(nèi)樣本的差異要小，而層之間的樣本差異要大，且互不重疊．
七、研究莖葉圖，注意轉(zhuǎn)化
例7 隨機(jī)抽取某中學(xué)甲、乙兩班各10名同學(xué)，測(cè)量他們的身高（單位：cm），獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示：（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪個(gè)班的平均身高比較高；（2）計(jì)算甲班的樣本方差；（3）現(xiàn)從乙班這10名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名身高不低于173cm的同學(xué)，求身高至少為173cm的同學(xué)被抽中的概率．
分析：（1）根據(jù)莖葉圖將甲、乙兩組同學(xué)的身高的數(shù)據(jù)還原，結(jié)合平均數(shù)的計(jì)算公式算出10位同學(xué)的平均數(shù)，由此即可估計(jì)這兩個(gè)班的平均身高；
（2）根據(jù)甲班10位同學(xué)身高的數(shù)據(jù)，結(jié)合方差計(jì)算公式算出10位同學(xué)身高的方差，即得甲班的樣本方差；
（3）根據(jù)乙班10名同學(xué)身高的數(shù)據(jù)，找出身高至少為173cm的同學(xué)人數(shù)，結(jié)合隨機(jī)事件的概率公式．
解：（1）由莖葉圖，得甲班的10名同學(xué)的身高分別為
182 179 179 171 170 168 168 163 162 158，
得他們的平均身高為1=110（182+179+179+…+158）=170.0cm．
乙班的10名同學(xué)的身高分別為
181 170 173 176 178 179 162 165 168 159，
得他們的平均身高為2=110（181+170+173+…+159）=171.1cm
（2）甲班的樣本方差為s2=110［（182－170）2+（179－170）2+…+（158－170）2］=57.2cm2
（3）乙班這10名同學(xué)中有5名同學(xué)的身高大于或等于173cm，
從這10名同學(xué)中任意取5名同學(xué)，身高至少為173cm的同學(xué)被抽中的概率為P=410=0.4．
[關(guān)鍵詞]貝葉斯網(wǎng)絡(luò)；中醫(yī)專家系統(tǒng)；信息熵
模擬中醫(yī)專家進(jìn)行診療歷來就是中醫(yī)現(xiàn)代化過程中的一個(gè)重大課題，同時(shí)也是將中醫(yī)辨證的主觀判斷轉(zhuǎn)化為客觀邏輯推導(dǎo)的必由之路。中醫(yī)專家系統(tǒng)，是根據(jù)中醫(yī)專家的“整體思維，辨證論治”的診療特點(diǎn)，在一定的數(shù)學(xué)平臺(tái)之上，根據(jù)“望、聞、問、切”得出的癥狀體征，給出診斷結(jié)果的智能計(jì)算機(jī)程序。迄今為止已經(jīng)出現(xiàn)了上百種中醫(yī)專家系統(tǒng)，這些中醫(yī)專家系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型包括了貝葉斯公式法、最大似然法、模糊數(shù)學(xué)法等等，但是在這些中醫(yī)專家系統(tǒng)中，往往把臨床表現(xiàn)當(dāng)作一個(gè)孤立的癥狀來看待，事實(shí)上，不同的癥狀之間由于中醫(yī)的整體觀念，往往存在著某種形式的因果關(guān)系。我們利用貝葉斯網(wǎng)絡(luò)可以解決這個(gè)問題。
貝葉斯網(wǎng)絡(luò)是1981年由R．Howard和J．Matheson提出來的，20世紀(jì)80年代早期，貝葉斯網(wǎng)絡(luò)成功地應(yīng)用于專家系統(tǒng)中對(duì)不確定性知識(shí)的表達(dá)，中醫(yī)辨證是以大量的不確定性知識(shí)作為判斷基礎(chǔ)的，而貝葉斯網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于中醫(yī)專家系統(tǒng)目前還處于探索階段。
1貝葉斯公式
先驗(yàn)信息是指在抽樣之前有關(guān)統(tǒng)計(jì)問題的一些信息，一般來說，先驗(yàn)信息主要來源于經(jīng)驗(yàn)和歷史資料。如果9是離散隨機(jī)變量，先驗(yàn)分布可以用先驗(yàn)分布列 ，表示。這時(shí)候后驗(yàn)分布也是離散形式：
我們稱這個(gè)公式為貝葉斯公式。如果有一個(gè)病人發(fā)熱(我們?cè)O(shè)發(fā)熱這個(gè)事件為x，醫(yī)生要確定他患有何種疾病，則必須考慮病人可能發(fā)生的疾病θ1，θ2，θ3，…。我們假定θ1，θ2，θ3，…是互斥的，醫(yī)生可以憑借以往的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)出發(fā)病率P(θi)i=1，2，…，n)，我們稱P(θi)為先驗(yàn)概率。我們要進(jìn)一步考慮一個(gè)人在發(fā)熱的情況下患病θi的可能性，就是P(θi|x)(i=1，2，…，n)的大小，它可以由貝葉斯公式算出，這個(gè)概率P(θi|x)是在獲得新的信息(發(fā)熱)后，病人得θ1，θ2，θ3，…的可能性，我們稱P(θi|x)是后驗(yàn)概率。如果我們把x視為觀察的結(jié)果，把θ1，θ2，θ3，…理解為原因，則貝葉斯公式反映了因果的概率規(guī)律，并作出“由果溯因”的推斷。應(yīng)當(dāng)說，貝葉斯公式結(jié)合了主觀的先驗(yàn)知識(shí)和客觀的概率統(tǒng)計(jì)結(jié)果，形成了一個(gè)主客觀可以接受的條件概率。
中醫(yī)診斷的本質(zhì)就是根據(jù)病人體現(xiàn)出的癥狀的集合得出“證”來。不可否認(rèn)，不同的癥狀之間有可能存在一定的因果關(guān)系，這就需要引入貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的理論，建立起基于信息熵的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)，并且在此基礎(chǔ)上探討中醫(yī)專家系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。
2貝葉斯網(wǎng)絡(luò)
貝葉斯網(wǎng)絡(luò)(BayesianNetworks,BN)又稱為概率網(wǎng)絡(luò)或者因果網(wǎng)絡(luò)，它是用來表示不確定性變量集合聯(lián)合概率分布的圖形模式，它反映了變量間潛在的依賴關(guān)系，它主要由兩個(gè)部分組成，一部分是有向無環(huán)圖(directed acyclic gragh．DAG)，有向無環(huán)圖中的每一節(jié)點(diǎn)表示一個(gè)隨機(jī)變量，圖中兩節(jié)點(diǎn)若存在著一條弧，則表示這兩節(jié)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量是概率相依的，兩節(jié)點(diǎn)間若沒有弧則說明這兩個(gè)隨機(jī)變量是相對(duì)獨(dú)立的。按照貝葉斯網(wǎng)的這種結(jié)構(gòu)。顯然網(wǎng)中的任一節(jié)點(diǎn)Xi均和非Xi的父節(jié)點(diǎn)的后裔節(jié)點(diǎn)的各節(jié)點(diǎn)相對(duì)獨(dú)立。網(wǎng)中任一節(jié)點(diǎn)Xi均有一相應(yīng)的條件概率表CPT(conditionalprob―abilitytable,CPT)，用以表示節(jié)點(diǎn)Xi在其父節(jié)點(diǎn)取各可能值時(shí)的條件概率。若節(jié)點(diǎn)Xi無父節(jié)點(diǎn)，則Xi的CPT為其先驗(yàn)概率分布。貝葉斯網(wǎng)的結(jié)構(gòu)及各節(jié)點(diǎn)的CPT定義了網(wǎng)中各變量的概率分布。
貝葉斯網(wǎng)絡(luò)能表示任意概率分布，它們?yōu)檫@些能用簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)表示的分布提供了可計(jì)算優(yōu)勢(shì)。
假設(shè)對(duì)于頂點(diǎn)xi，其雙親節(jié)點(diǎn)集為Pai，每個(gè)變量xi的條件概率為P(xi|Pθai)，則頂點(diǎn)集合X={x1，x2，……，xn)的聯(lián)合概率分布可如下計(jì)算：
貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)學(xué)致有兩種算法，一種是基于搜索或者打分的方法，這類方法的缺點(diǎn)是時(shí)間復(fù)雜度高，計(jì)算量大，效率低；第二種方法是根據(jù)因果獨(dú)立性分析，由專家或者資料分析，給出相應(yīng)的因果模型和相應(yīng)的分布概率。我們采用貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的第二種構(gòu)建方法。
在貝葉斯結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)的過程中，我們可以將信息熵的大小作為判斷兩個(gè)癥狀之間是否具有因果關(guān)系的依據(jù)。
3信息熵
信息熵是信息論中對(duì)不確定性的一種度量。仙農(nóng)信息論認(rèn)為，如果某一個(gè)信息源中某種信號(hào)出現(xiàn)的概率是只，則它所帶來的信息熵就是：I(xi；yi)為交互信息量(簡(jiǎn)稱互信息量)，表示信宿(消息傳送的對(duì)象和接收者)收到一個(gè)消息yi后所獲得的關(guān)于xi的信息量。也就是說，信宿收到一個(gè)消息后所獲得的平均信息量等于信源不確定性減去信宿收到一個(gè)消息后對(duì)信源尚存在的不確定性。
如果我們認(rèn)為癥狀i存在的概率是xi，癥狀i存在的概率是xj，在癥狀i存在的前提下癥狀i存在的概率是P(xi|yi)，則癥狀xj從癥狀xj那里獲得的信息量是
我們可以適當(dāng)設(shè)定閾值，當(dāng)I(xi；yi)的值大于閾值時(shí)我們便認(rèn)為xi和yi具有因果關(guān)系。
算法1：貝葉斯網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建
輸入：癥狀數(shù)據(jù)集，證數(shù)據(jù)集
輸出：反映癥狀之間、癥證之間因果依賴關(guān)系的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)步驟：
creatarcfrom證to癥狀ifP(癥狀證)exist；P(癥狀|證)//如果存在，則構(gòu)建從證到癥狀的弧k=count(癥狀)；//計(jì)算所有涉及的癥狀的總個(gè)數(shù)
fori=l to k
forj=l tok
{if≠ij}
{if I(癥狀i；癥狀j)>w)
{creatarcfrom癥狀ito癥狀j}；//構(gòu)建癥狀之間的因果依賴關(guān)系
arc(i，j)=；P(j|i)//描述癥狀i和癥狀j之間的概率分布
算法2：貝葉斯網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)
輸入：算法1構(gòu)建的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)，給定癥狀集D
輸出：分類m
步驟：
t=max(i)；//求出最大概率的類別
數(shù)學(xué)科考試旨在測(cè)試中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本方法，考查數(shù)學(xué)思維能力，包括空間想象直覺猜想、歸納抽象、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、演繹證明、體系構(gòu)建等，以及運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法分析問題和解決問題的能力。考試分為理工農(nóng)醫(yī)和文史財(cái)經(jīng)兩類理工農(nóng)醫(yī)類。復(fù)習(xí)考試范圍包括代數(shù)、三角、平面解析幾何、立體幾何和概率與統(tǒng)計(jì)初步五部分。文史財(cái)經(jīng)類復(fù)習(xí)考試范圍包括代數(shù)、三角、平面解析幾何和概率與統(tǒng)計(jì)初步四部分。考試中可以使用計(jì)算器，考試內(nèi)容的知識(shí)要求和能力要求作如下說明：
1.知識(shí)要求
本大綱對(duì)所列知識(shí)提出了三個(gè)層次的不同要求，三個(gè)層次由低到高順序排列，且高一級(jí)層次要求包含低一級(jí)層次要求三個(gè)層次分別為，了解要求考生對(duì)所列知識(shí)的含義有初步的認(rèn)識(shí)，識(shí)記有關(guān)內(nèi)容，并能進(jìn)行直接運(yùn)用理解、掌握、會(huì)要求考生對(duì)所列知識(shí)的含義有較深的認(rèn)識(shí)，能夠解釋、舉例或變形、推斷，并能運(yùn)用知識(shí)解決有關(guān)問題靈恬運(yùn)用：要求考生對(duì)所列知識(shí)能夠綜臺(tái)運(yùn)用，并能解決較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題
2.能力要求
邏輯思維能力：舍對(duì)問題進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括，會(huì)用演繹、歸納和類比進(jìn)行推理，能準(zhǔn)確、清晰、有條理地進(jìn)行表述運(yùn)算能力理解算理，會(huì)根據(jù)法則、公式、概念進(jìn)行數(shù)式、方程的正確運(yùn)算和變形，能分析條件，尋求與設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑，能根據(jù)要求對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)，能運(yùn)用計(jì)算器進(jìn)行數(shù)值計(jì)算空間想象能力：能根據(jù)條件畫出正確圖形，根據(jù)圖形想象出直觀形象;能正確地分析出圖形中基本元素及其相互關(guān)系，能對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合、變形分析問題和解決問題的能力：能閱讀理解對(duì)問題進(jìn)行陳述的材料，能綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決問題，包括解決在相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)、生活中的數(shù)學(xué)問題，并能用數(shù)學(xué)語言正確地加以表述。
一、復(fù)習(xí)考試內(nèi)容
理工農(nóng)醫(yī)類
第一部分 代 數(shù)
(一)集合和簡(jiǎn)易邏輯
1.了解集合的意義及其表示方法了解空集、全集、子集、交集、并集、補(bǔ)集的概念及其表示方法，了解符號(hào)?，=,∈，?的含義，并能運(yùn)用這些符號(hào)表示集合與集臺(tái)、元素與集臺(tái)的關(guān)系
2.理解充分條件、必要條件、充分必要條件的概念
(二)函數(shù)
1.理解函數(shù)概念，會(huì)求一些常見函數(shù)的定義域
2.了解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的概念,會(huì)判斷一些常見由數(shù)的單詞性和奇偶性。
3.理解一次函數(shù)、反比例函數(shù)的概念，掌握它們的圖象和性質(zhì)，會(huì)求它們的解析式。
4.理解二伙函數(shù)的概念，掌握它的圖象和性質(zhì)以及函數(shù)y=ax2÷bx+c(a≠0)與y=ax2(a≠0)的圖象間的關(guān)系，會(huì)求二次函數(shù)的解析式及值或最小值，能靈活運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)解決有關(guān)問題
5.了解反函數(shù)的意義，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的反函數(shù)
6.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)。
7.理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、掌握對(duì)散函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)。
(三)不等式和不等式組
1.理解不等式的性質(zhì)，會(huì)用不等式的性質(zhì)和基本不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)， |a+b|≤|a2+b2|(a,b∈R)解決一些簡(jiǎn)單的問題。
2.會(huì)解一元一次不等式、一元一次不等式組和可化為一元一次不等式組的不等式、會(huì)解一元一次不等式、會(huì)表示不等式或不等式組的解集
3.了解絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，會(huì)解形如|ax+b|≥c和|ax+b|≤c的絕對(duì)值不等式
(四)數(shù)列
1.了解數(shù)列及其通項(xiàng)、前n項(xiàng)和的概念
2.理解等差數(shù)列、等差中項(xiàng)的概念，會(huì)靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式解決有關(guān)問題。
3.理解等比數(shù)列、等比中項(xiàng)的概念，會(huì)靈活運(yùn)用等比數(shù)列的通頊公式、前n項(xiàng)和公式解決有關(guān)問題。
(五)復(fù)數(shù)
1.了解復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的代數(shù)表示和幾何意義
2.會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的加、減、乘、除運(yùn)算
(六)導(dǎo)數(shù)
1.了解函數(shù)極限的概念，了解函數(shù)連續(xù)的意義
2.理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義
3.會(huì)用基本導(dǎo)數(shù)公式(y=c，y=x2(n為有理數(shù))，y=sinx，y=cosx,y=c2的導(dǎo)數(shù))，掌握兩個(gè)函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則。
4.理解極大值、極小值、值、最小值的概念，并會(huì)用導(dǎo)數(shù)求有關(guān)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極大值、極小值及閉區(qū)間上的值和最小值
5.會(huì)求有關(guān)曲線的切線方程，會(huì)用導(dǎo)數(shù)求簡(jiǎn)單實(shí)際問題的值與最小值
第二部分 三 角
(一)三角函數(shù)及其有關(guān)概念
l.了解任意角的概念，理解象限角和終邊相同的角的概念 。
2.理解弧度的概念，會(huì)進(jìn)行弧度與角度的換算
3.理解任意角三角函數(shù)的概念，了解三角函數(shù)在各象限的符號(hào)和特殊角的三角函數(shù)值。
(二)三角函數(shù)式的變換
l.掌握同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式，會(huì)用它們進(jìn)行計(jì)算、化簡(jiǎn)和證明
2.掌握兩角和、兩角差、二倍角的正弦、余弦、正切的公式，會(huì)用它們進(jìn)行計(jì)算、化簡(jiǎn)和證明。
(三)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)
l.掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，會(huì)用這兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)(定義域、值域、周期性、奇偶性和單調(diào)性)解決有關(guān)問題
2.了解正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)
3.了解函數(shù)y=Asin(ωx+θ)與y=sinx的圖象之間的關(guān)系,會(huì)用‘"五點(diǎn)法”畫出它們的簡(jiǎn)圖，會(huì)求函數(shù)y=Asin(ωx+θ)的周期、值和最小值
4.會(huì)由已知三角函數(shù)值求角，井會(huì)用符號(hào)arcsinx，arccosx，arctanx表示。
(四)解三角形
l.掌握直角三角形的邊角關(guān)系，會(huì)用它們解直角三角形及應(yīng)用題。
2.掌握正弦定理和余弦定理，會(huì)用它們解斜三角形及簡(jiǎn)單應(yīng)用題。
第三部分 平面解析幾何
(一)平面向量
l.理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念。
2.掌握向量的加、減運(yùn)算，掌握數(shù)乘向量的運(yùn)算，了解兩個(gè)向量共線的條件。
3.了解平面向量的分解定理，掌握直線的向量參數(shù)方程。
4.掌握向量數(shù)量積運(yùn)算，了解其幾何意義和在處理長(zhǎng)度、角度及垂直問題的應(yīng)用。掌握向量垂直的條件。
5.掌握向量的直角坐標(biāo)的概念，掌握向量的坐標(biāo)運(yùn)算
6.掌握平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式、線段的中點(diǎn)公式和平移公式
(二)直線
l.理解直線的傾斜角和斜率的概念，會(huì)求直線的斜率平行垂直夾角等幾何問題
(三)多面體和旋轉(zhuǎn)體
l.了解直棱柱正棱柱的概念、性質(zhì)，會(huì)計(jì)算它們的體積
2.了解棱錐、正棱錐的概念、性質(zhì)，會(huì)計(jì)算它們的體積
3.了解球的概念、性質(zhì)，會(huì)計(jì)算球面面積和球體體積
第四部分 概率與統(tǒng)計(jì)初步
(一)排列、組臺(tái)與二項(xiàng)式定理
1.了解分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理
2.理解排列、組合的意義，掌握排列數(shù)、組合數(shù)的計(jì)算公式
3.會(huì)解排列、組合的簡(jiǎn)單應(yīng)用題
4.了解二項(xiàng)式定理，會(huì)用二項(xiàng)展開式的性質(zhì)和通項(xiàng)公式解次簡(jiǎn)單問題
(二)概率初步
1.了解隨機(jī)事件及其概率的意義
2.了解等可能性事件的概率的意義，會(huì)用計(jì)數(shù)方法和排列組合基本公式計(jì)算一些等可能性事件的概率
3.了解互斥事件的意義，會(huì)用互斥事件的概卑加法公式計(jì)算一些事件的概率
4.了解相互獨(dú)立事件的意義，會(huì)用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算～些事件的概率
5.會(huì)計(jì)算事件在n獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率
6.了解離散型隨機(jī)變量及其期望的意義，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出期望值
(三)統(tǒng)計(jì)初步
了解總體和樣本的概念，會(huì)計(jì)算樣本平均數(shù)和樣本方差
文史財(cái)經(jīng)類
第一部分 代 數(shù)
(一>集合和簡(jiǎn)易邏輯
1 .了解集臺(tái)的意義及其表示方法,了解空集、全集、子集、交集并集、補(bǔ)集的概念及其表示方法，了解符號(hào)?，=,∈，?的含義，并能運(yùn)用這些符號(hào)表示集合與集合、元素與集合的關(guān)系
2.了解充分條件、必要條件、充分必要條件的概念
(二)函數(shù)
1.了解函數(shù)概念，會(huì)求一些常見函數(shù)的定義域
2.了解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的概念，會(huì)判斷一些常見函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性
3.理解一次性函數(shù)、反比例函數(shù)的概念，掌握它們的圖象和性質(zhì)，會(huì)求它們的解析式。
4.理解二次函數(shù)的概念，掌握它的圖象和性質(zhì)以及函數(shù)y=ax+bx+c(a≠0)與y=ax2 (a#0)的圖象間的關(guān)系，會(huì)求二次函數(shù)的解析式及值或最小值，能運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)解決有關(guān)問題
5.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)。
6.理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)
(三)不等式和不等式組
l.了解不等式的性質(zhì)，會(huì)解一元-次不等式、一元一次不等式組和可化為一元一次不等式組的不等式，舍解一元二次不等式。會(huì)表示不等式或不等式組的解集
2.會(huì)解形如|ax+b|≥c和|ax+b|≤c的絕對(duì)值不等式
(四)數(shù)列
1.了解數(shù)列及其通項(xiàng)、前n項(xiàng)和的概念
2.理解等差數(shù)列、等差中項(xiàng)的概念，會(huì)運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和公式解決有劃題
3.理解等比數(shù)列、等比中項(xiàng)的概念，會(huì)運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式解決有關(guān)問題
(五)導(dǎo)數(shù)
1.理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義
2.掌握面數(shù)y=c(c為常數(shù)).y=x2“(n∈N+)的導(dǎo)數(shù)公式，會(huì)求多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
3.了解極大值、極小值、值、最小值的概念，并會(huì)用導(dǎo)數(shù)求多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極大值、極小值及閉區(qū)間上的值和最小值
4.會(huì)求有關(guān)曲線的切線方程，會(huì)用導(dǎo)數(shù)求簡(jiǎn)單實(shí)際問題的值與最小值
第二部分 三 角
(一)三角函數(shù)及其有關(guān)概念
1.了解任意角的概念，理解象限角和終邊相同的角的概念
2.了解弧度的概念，會(huì)進(jìn)行弧度與角度的換算
3.理解任意角三角函數(shù)的概念，了解三角函數(shù)在各象限的符號(hào)和特殊角的三角函數(shù)值
(二)三角函數(shù)式的變換
l.掌握同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式，會(huì)運(yùn)用它們進(jìn)行計(jì)算、化簡(jiǎn)和證明。
2.掌握兩角和兩角差、二倍角的正弦、余弦、正切的公式，會(huì)用它們進(jìn)行計(jì)算、化簡(jiǎn)和證明
(三)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)
1.掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，會(huì)用這兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)(定義域、值域、周期性、奇偶性和單調(diào)性)解決有關(guān)問題
2.了解正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)
3.會(huì)求函數(shù)y=Asin(ωx+θ)的周期、值和最小值，會(huì)由已知二角函數(shù)值求角，并會(huì)用符號(hào)arcsinx，arccosx，arctanx.
(四)解三角形
l.掌握直角三角形的邊角關(guān)系，會(huì)用它們解直角三角形
2.掌握正弦定理和余弦定理，會(huì)用它們解斜三角形
第三部分 平面解析幾何
(一)平面向量
1.理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念
2.掌握向量的加、減運(yùn)算掌握數(shù)乘向量的運(yùn)算了解兩個(gè)向量共線的條件
3.了解平面向量的分解定理
4.掌握向量的數(shù)量積運(yùn)算，了解其幾何意義和在處理長(zhǎng)度、角度及垂直問題的應(yīng)用 了解向最垂直的條件
5.了解向量的直角坐標(biāo)的概念，掌握向量的坐標(biāo)運(yùn)算
6.掌握平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式、線段的中點(diǎn)公式和平移公式
(二)直線
1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，會(huì)求直線的斜率。
2.會(huì)求直線方程，會(huì)用直線方程解決有關(guān)問題
3.了解兩條直線平行與垂直的條件以及點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)用它們解決簡(jiǎn)單的問題
(三)圓錐曲線
1.了解曲線和方程的關(guān)系，會(huì)求兩條曲線的交點(diǎn)
2.掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程以及直線與圓的位置關(guān)系，能靈活運(yùn)用它們解決有關(guān)問題
3.理解橢圓、雙曲線、拋物線的概念，掌握它們的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)，會(huì)用它們解決有關(guān)問題
第四部分 概率與統(tǒng)計(jì)初步
(一)排列、組臺(tái)
l.了解分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理
2.了解排列、組合的意義，會(huì)用排列數(shù)、組合數(shù)的計(jì)算公式
3.會(huì)解排列、組合的簡(jiǎn)單應(yīng)用題
(二)概率初步
1.了解隨機(jī)事件及其概率的意義
2.了解等可能性事件的概率的意義，會(huì)用計(jì)數(shù)方法和排列組合基本公式計(jì)算一些等可能性事件的概率
3.了解互斥事件的意義，會(huì)用互斥事件的概率加j去公式計(jì)算一些事件的概率
4.了解相互獨(dú)立事件的意義，會(huì)用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算一些事件的概率
5.會(huì)計(jì)算事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率
1.通過對(duì)幾個(gè)試驗(yàn)的觀察分析，經(jīng)歷幾何概型的建構(gòu)過程;
2.通過問題情境，總結(jié)歸納幾何概型的概念和幾何概型的概率公式;
3.會(huì)用幾何概型的概率公式對(duì)簡(jiǎn)單概率問題進(jìn)行計(jì)算，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想;
4.能根據(jù)古典概型與幾何概型的區(qū)別判別某種概型是古典概型還是幾何概型;
5.通過大量生活實(shí)例，感受生活中處處有數(shù)學(xué)，樹立數(shù)學(xué)服務(wù)于生活的觀點(diǎn).
二、教學(xué)重點(diǎn)
1.掌握幾何概型的基本特點(diǎn);
2.會(huì)用幾何概型的概率公式對(duì)簡(jiǎn)單概率問題進(jìn)行計(jì)算.
三、教學(xué)難點(diǎn)
判斷一個(gè)試驗(yàn)是否為幾何概型;如何將實(shí)際背景轉(zhuǎn)化為幾何度量.
四、教學(xué)方法
引導(dǎo)啟發(fā)式、對(duì)話式.
五、教學(xué)過程
活動(dòng)一 游戲中的幾何概型
1.教師給出問題情境：甲乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲（轉(zhuǎn)盤如右圖所示），規(guī)定當(dāng)指針指向B區(qū)域時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝. 在這種情況下求甲獲勝的概率是多少？
（設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)問題情境，旨在激起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，調(diào)動(dòng)學(xué)生主體參與學(xué)習(xí)活動(dòng)的積極性，并讓學(xué)生體會(huì)身邊的幾何概率模型.）
2.學(xué)生會(huì)很快得到答案：.教師提出問題：“有什么方法可以說明概率為■？”學(xué)生分小組完成轉(zhuǎn)盤實(shí)驗(yàn)，填寫《實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄表》。
3.教師用計(jì)算機(jī)模擬轉(zhuǎn)盤實(shí)驗(yàn).
教師小結(jié)：我們發(fā)現(xiàn)，指針指向B區(qū)域的頻率有大于0.5的，有小于0.5的，但總是在0.5附近擺動(dòng). 實(shí)驗(yàn)次數(shù)越多，頻率在概率附近的擺動(dòng)幅度越小.
（設(shè)計(jì)意圖：一方面是調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，以最快的速度進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài).另一方面，讓學(xué)生再次完成大量重復(fù)隨機(jī)試驗(yàn)，進(jìn)一步理解概率的統(tǒng)計(jì)定義. 而計(jì)算機(jī)的模擬實(shí)驗(yàn)也讓學(xué)生再次感受到信息技術(shù)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的意義.）
活動(dòng)二 感受情境，建構(gòu)新知
問題情境1：從1984年洛杉磯奧運(yùn)會(huì)開始，韓國(guó)射箭女隊(duì)就開始了在奧運(yùn)舞臺(tái)上的稱霸之路. 直到2008年北京奧運(yùn)會(huì)，中國(guó)箭手張娟娟成為第一個(gè)打破堅(jiān)冰的“勇者”，先后戰(zhàn)勝韓國(guó)箭手闖入決賽，并且在決賽中以一環(huán)的優(yōu)勢(shì)絕殺韓國(guó)箭手樸成賢，打破了韓國(guó)隊(duì)在這一項(xiàng)目上二十多年的稱霸，向世界證明了韓國(guó)女隊(duì)并非不可戰(zhàn)勝，堪稱最有價(jià)值的一次突破.
奧運(yùn)會(huì)射箭比賽的靶面直徑是122cm，黃心直徑是12.2cm，假設(shè)箭都等可能射中靶面內(nèi)任何一點(diǎn)，那么如何計(jì)算射中黃心的概率？
（設(shè)計(jì)意圖：通過張娟娟的成就，培養(yǎng)學(xué)生的愛國(guó)之情，增強(qiáng)民族自豪感，進(jìn)行情感教育. ）
問題情境2：有一杯800ml的水，其中含有1個(gè)細(xì)菌，用一個(gè)小杯從這杯水中取出100ml，求小杯水中含有這個(gè)細(xì)菌的概率？
問題情境3：某人在7U00 ～ 8U00的任意時(shí)刻隨機(jī)到達(dá)單位，求他在7U10 ～ 7U20之間到達(dá)單位的概率.
（設(shè)計(jì)意圖：三個(gè)問題情境讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到概率與我們的生活息息相關(guān)，激發(fā)了學(xué)生的興趣. 對(duì)具體情境進(jìn)行仔細(xì)分析，讓學(xué)生跨越“古典概型”，體驗(yàn)試驗(yàn)結(jié)果在等可能發(fā)生的前提下，從少到多，從疏到密，從有限到無限，從量變到質(zhì)變，培養(yǎng)學(xué)生的理性精神和辯證思想. 同時(shí)，問題情境覆蓋長(zhǎng)度、面積、體積三個(gè)層面，為后續(xù)教學(xué)做好鋪墊.）
教師提出思考問題：
問題1：上述三個(gè)問題有哪些共同特點(diǎn)？與之前所學(xué)的古典概型一樣嗎？
教師板書：①無限性;②等可能性.
問題2：上述三個(gè)問題中的概率，你是怎樣計(jì)算的？能不能模仿古典概型的計(jì)算公式，得到一個(gè)一般性的結(jié)論呢？
（設(shè)計(jì)意圖：明確指令，幫助學(xué)生從直觀感受上升到理性認(rèn)識(shí)，為后續(xù)教學(xué)埋下伏筆.）
活動(dòng)三 形成定義，對(duì)比辨析
定義：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概型.
幾何概型的概率公式：
教師提出問題：幾何概率模型和古典概率模型的區(qū)別有哪些？請(qǐng)同學(xué)分組討論，填寫下表.
（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生明確幾何概型和古典概型的區(qū)別與聯(lián)系，進(jìn)一步理解和掌握幾何概型.）
活動(dòng)四 理論遷移 學(xué)以致用
例一海豚在水池中自由游弋，水池的橫剖面為長(zhǎng)30m，寬為20m的長(zhǎng)方形. 求此海豚嘴角離岸邊不超過2m的概率.
教師提出以下問題，引導(dǎo)學(xué)生分析題意，正確選擇幾何度量.
①試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域是什么？其幾何度量是什么？
②記事件A：“此海豚嘴角離岸邊不超過2m”，構(gòu)成事件A的區(qū)域是什么？其幾何度量是什么？
學(xué)生很快給出答案：
（設(shè)計(jì)意圖：給出幾何概型的簡(jiǎn)單例題，通過引導(dǎo)分析，幫助學(xué)生建構(gòu)起解決幾何概型問題的一般方法和步驟.答題的格式和規(guī)范表述，將解題教學(xué)落到實(shí)處.）
活動(dòng)五 小結(jié)歸納 布置作業(yè)
教師提問：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲呢？
作業(yè)
